教学配套课件：金融数学(第四版).ppt

1、1 如何度量速度？距离/时间 瞬时速度？如何度量利率？利息/本金 利息力（连续复利）？2 借用他人资金需支付的成本，或出让资金获得的报酬。利息存在的合理性 资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力1.1 利息的基本函数 利息（interest）的定义：3 本金（principal）：初始投资的资本金额。累积值（accumulated value）：一段时期后收到的总金额。利息（interest）累积值与本金之间的差额。关于利息的几个基本概念4积累函数(Accumulation function)累积函数：时刻0的1元本金在时刻 t 的累积值,记为a(t)。性质：a(0)=1；a(t)通常是时间的增函

2、数；当利息是连续产生时，a(t)是时间的连续函数。注：一般假设利息是连续产生的。5例：常见的几个积累函数（1）常数：a(t)=1（2）线性：a(t)=1+0.1 t（3）指数：a(t)=(1+0.1)t6a(t)(1 0.1)t a(t)1 0.1t 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20()1a t -104230517对应哪些实例？累积函数？a(t)t018请计算时刻 1 的500元在时刻 2 的累积值是多少。解：例 假设累积函数为500 =500 2.5=1250a(t)=1+t29 实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末获得的利息：i a(1)a(0)实

3、际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：i 金息本利初期期当1.2 实际利率（effective rate of interest）10 实际利率经常用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整个时期视为常数；通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无 特别说明，实际利率是指年利率。注：11把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？i1 2%i2 2.94%问题：整个存款期间的实际利率是多少？整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）例：121.3 单利(simple interest)假设在

4、期初投资1，在每个时期末得到完全相同的利息金 额 i，这种计息方式称为单利，i 称为单利率。特点：只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息。单利的积累函数满足下述性质：a(0)1a(1)1 ia(t)1 it13单利的累积函数14 常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！a(n)a(n 1)n a(n 1)(1 in)1 i(n 1)1 i(n 1)i1 (n 1)i因此，实际利率是 n 的递减函数。问题:为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际 利率却越来越小呢？单利与实际利率的关系：i15例若每年单利为8，求投资2000元在4年后的积累值和利息。累积值为：20

5、00(1 4 8%)2640所得利息的金额为2640 2000 640 2000 8%4利息金额本金 利率 时期16（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/actual）：投资 天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（2）银行家规则(bankers rule)，记为“实际/360”：投资 天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。（3）“30/360”规则：每月按30天计算,每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：360(Y2 Y1)30(M2 M1)(D2 D1)其中支取日为Y2年M2 月D2 日，存入日为Y1年M1 月D1 日。单利

6、的应用:t 的确定,t=投资天数/每年的天数17 若在1999年6月17日存入1000元，到2000年3月10日取 款，年单利利率为8，试分别按下列规则计算利息金 额：（1）“实际/实际”规则（2）“30/360”规则（3）“实际/360”规则例：18（1）从1999年6月17日到2000年3月10日的精确天数为267 （应用EXCEL），因此利息金额为1000 0.08 58.52（2）根据“30/360”规则，投资天数为360 1 30 (3 6)(10 17)263因此利息金额为1000 0.08 58.44（3）根据“实际/360”规则计算的利息金额为1000 0.08 59.3319

7、a(t1)a(t2)(1 it1)(1 it2)1 it i2 t1t2(1 it)a(t)分两段投资将产生更多利息。分段越来越多，产生的利息是否会趋于无穷大？单利的缺陷：不满足一致性 含义：问题：令 t=t 1 +t2则20 复利：利息收入计入下一期的本金，即所谓的“利滚利”。例：假设年初投资1000元，年利率为5，则年末可获利50 元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050元来计算，将在次年末获得利息为52.5元，比只按照1000元投资要多获得利息2.5元。1.4 复利(compound interest)在单利情形下，前期的利息没有在后期产生利息。21 余额1i可以在第二年

8、初再投资，在第二年末积累值为(1+i)+(1+i)i=(1+i)2;在第三年末累积值为(1+i)2+(1+i)2 i=(1+i)3 持续，在第 t 年末，累积函数为a(t)(1 i)t复利的积累函数 考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1i;22复利的累积函数23复利与实际利率的关系 常数的复利率意味着实际利率也为常数a(n)a(n 1)n a(n 1)(1 i)n (1 i)n 1(1 i)n 11 i(1 i)1i24单利与复利之间的关系（假设单利和复利的年利率相等）单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。当 0 t 1时，复利比单利产生更大的积累值。当 t=0 或 1 时，单利

9、和复利产生相同的累积值。复利单利5.554.543.532.521.510.51.5250126 It is known that 1000 invested for 4 years will earn 250.61 ininterest,i.e.,that the value of the fund after 4 years will be 1250.61.Determine the accumulated value of 3500 invested at the same rate of compound interest for 13 years.Exercise27Solution

10、:28 累积：在时刻零投资1，在时刻 t 的累积值是多少？贴现：在时刻零投资多少，才能在时刻 t 累积到 1?时刻 t 的1单位在时刻0的价值称为贴现函数，用a-1(t)表示。0 t1 a(t)a-1(t)11.5 贴现（discount）29贴现函数(discount function)注：除非特别申明，今后一概使用复利。单利的贴现函数 复利的贴现函数a 1(t)(1 it)1a 1(t)(1 i)t30贴现因子：discount factort 年贴现因子：t-year discount factor累积因子：accumulation factort 年累积因子：t-year accumu

11、lation factor几个术语：v vt (1+i)(1 i)t31实际贴现率 期末 本金实际利率 期末累 初本金期初本金金期本-初值期积值初积期累值-末积期累实际贴现率：d(effective rate of discount with compound interest)实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：利息=期末累积值-期初本金（期末比期出多百分之几？）（期初比期末少百分之几？）期末累积值32 假设年实际贴现率为 d，请计算期末的1相当于期初的多少？解：令其等于X，则由贴现率的定义，有X 1 d1 X1X=1-d例d01133实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（1

12、）1当期利息：i1 1+ii d 1 i根据贴现率的定义：034实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（2）期末的1元在期初的现值为：1-d1-d 11当期利息：dd i 1 d根据利率的定义：035注：把期末支付的利息 i 贴现到期初，等于在期 初支付的 d。换言之，期末的 i 相当于期初的d。证明：d i i v实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（3）d iv36v（1 d）贴现函数可表示为累积函数可表示为a 1(t)=t (1 d)ta(t)=t (1 d)t证明：d 1 1 v1 i 1 i实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（4）解释：期末的1在期初的现值可以表示为 v，或1

13、d。v=1 di 101137本金（Principal）利息（interest）累积值（Accumulated value）1i1+i1-dd1解释：1元本金在期末有 i 元利息，(1 d)元本金在期末有d元利息。产生(i d)元利息差额。原因：原始本金有d元差额，赚取的利息正好是id。实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（5）本金之差:d 利息之差 di证明：d i v i (1 d)i id利息之差:i d 38i d=id例:i=5%=1/20,d=1/21实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（6）i d 1/n 1 1 1/n n 1证明：1 idi39 问题：（1）贴现率随着利率

14、变化的规律？（2）利率随着贴现率变化的规律？401 i利率问题：如果利率等于-1？利率 i 和贴现率d 的关系 d 贴现率i41贴现率问题：如果贴现率等于1？贴现率 d 和利率 i 的关系 i 1 dd利 率42 面额为100元的一年期零息债券的价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25，如何进行投资选择?存款还是 购买债券？例43解：比较贴现率：零息债券的贴现率 d 5%储蓄的贴现率 d i/(1+i)=4.988 392 i(4)a(4)1 4 i（4）3.52%4 44 44 44 4if 0 t 3if t 30.02tt 0.054 tdt a(4)e0 ，a(4)e0.14 t

15、 dt 0.02tdt 0.05dt 0.14Solution:93440033 Bruce deposits 100 into a bank account.His account is credited interest at a nominal rate of interest i convertible semiannually.At the same time,Peter deposits 100 into a separate account.Peters account is credited interest at a force of interest of .After 7

16、.25 years,the value of each account is 200.Calculate(i-).Exercise：94Bruces account after 7.25 years is worth:i 2 7.25100 1 200 i 9.79285%Peters account after 7.25 years is worth:100e7.25 200 9.56065%so i 0.2322%2 95 At time 0,K is deposited into Fund X,which accumulates at a force of interest t=0.00

17、6t2.At time m,2K is deposited into Fund Y,which accumulates at an annual effective interest rate of 10%.At time n,where n m,the accumulated value of each fund is 4K.Determine m.Exercise96Solution:For the fund X,So,n=8.8499.For the fund Y,ln2ln1.1m=8.8499 7.2725=1.5775n 2K e 0 0.006t dt 4K2K (1 10%)n

18、 m 4Kn m 7.272597Exercise Tawny makes a deposit into a bank account which credits interest at a nominal interest rate of 10%per annum,convertible semiannually.At the same time,Fabio deposits 1000 into a different bank account,which is credited with simple interest.At the end of 5 years,the forces of

19、 interest on the two accounts are equal,and Fabios account has accumulated to Z.Determine Z.98For Fabios account,a(t)=1+it and t=i/(1+it).At time t=5,2 ln(1.05)=i/(1+i5).So,2ln(1.05)1-10 ln(1.05)Z 1000 1 5 (0.1905)1952.7599 Solution：For Tawnys bank account,a(t)1 0.1 (1.05)2tddt2t2t2t2t2t2t 2 and the

20、 force of interest is t lna(t)2 ln(1.05)i 0.1905 例：在2000年1月1日,A在银行账户存入X，按单利10%计息；在同一天，B在另一个银行账户也存入X，按利息力 2t 计息。从第四年末到第八年末，两个账户t t2 k赚取的利息相等，请计算 k。100从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为A(8)A(4)0.4XA(4)X1 4(0.10)1.4XA(8)X1 8(0.10)1.8X解：令2000年1月1日为零时刻，对A的账户有：101从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为48XA(8)A(4)k16 kk64 kk2tkA(4)A(8)对B的

21、账户有：XXee4t dt08t dt0XX102t2t由题意可知，这两个利息金额相等，即48X0.4Xk故有 k=120。103 Jennifer will repay her loan by making one payment of 800 at the end of year 10.Brian will repay his loan by making one payment of 1120 at the end of year 10.The nominal semi-annual rate being charged to Jennifer is exactly onehalf th

22、e nominal semiannual rate being charged to Brian.Calculate X.(X=568.14)Exercise Brian and Jennifer each take out a loan ofX.104令 i(2)/2 i，即得下页的方程(2)2(2)2解：直接根据题意写出方程为：X 1120 1X 800 12i(2)(2)10 210 2jji105x(1+i)20=800 x(1+2i)20=1120Dividing these equations(1+2i)/(1+i)20=1120/800=1.4i=(1.4)1/20 1/2 (1

23、.4)1/20=0.017259x=800/(1+0.017259)20=568.14106 例：t 1 t基金B以利息力函数 t (t 0)累积。分别用 aA(t)和 aB(t)表示它们的累积函数。令 h(t)aA(t)aB(t)，计算使 h(t)达到最大的时刻T。基金A以利息力函数 1 (t 0)累积；107 h(t)=t 2t2，h(t)=1 4t，因此当t 1/4 时，h(t)达到最大。aB(t)exp(0 1 2s2 ds)1 2taA(t)exp(0 1 sds)1 tt 4s 2解：t 1108Find m,the equivalent annual compound inter

24、est rate,and the equivalent annual compound discount rate.Solution:Exercise：109110孟生旺中国人民大学统计学院http:/ annuity）永续年金（Perpetuity）每年支付m次的年金（mthly payable annuity）连续年金（continuous payable annuity）112最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列 款项。现在的含义：一系列的付款（或收款）。年金（annuity）113年金的类型按支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险

25、年金(contingent annuity)。按支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和 永续年金（Perpetuity）。按支付时点，分为期初付年金（annuity-due）和期末付年 金（annuity-immediate）。按开始支付的时间，分为即期年金和延期年金（deferred annuity）。按每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。1141 1 1 1 10 1 2 3 n-1 n1、期末付年金（Annuity-immediate）期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个

26、时期末付款1。年金时间115期末付年金的现值因子（annuity-immediate present value factor）an i ：a-angle-n an v(1 vn)1 vn1 vian v v v2 n116期末付年金的累积值（终值）因子annuity-immediate accumulated value factorsn i ：s-angle-nsn an (1 i)n 117含义：初始投资1，在每期末产生利息i，这些利息的现值为ian 。在第n个时期末收回本金1，其现值为vn。一些等价关系式（无需记忆）：（1）1 ian vn011811iii1 1（2）i (下图解释）

27、n n1 isn (1 i)n 1i i(1 i)n i(1 i)n 1证明（可略）：i ii 1 1 vn an a s 119n n n an 0 na a ai+11s i1sn i1s i1sn 120111111inn例：一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为 9，试对下面三种还款方式比较其利息总额。本金和利息在第10年末一次还清；每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。在10年期内，每年末偿还相同的金额。121解：（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36 利息总额为 2367.36-10001367.36（3）设每年的偿还额为R，

28、则 Ra10 1000 R 155.82 利息总额为155.8210 1000558.2（2）每年的利息为90万元，利息总额为 10909001222、期初付年金（annuity-due）含义：在 n 个时期，每个时期期初付款1。annuity-due present value factor:a :a-double-dot-angle-nniniannuity-due accumulated value factor:s :s-double-dot-angle-n0 1 2 3 1 1 1 1 n-1 n1123a 期初付年金的现值因子1-vn 1-vnn n i ds 期初付年金的积累值因

29、子sn an (1 i)n a a (1 i)(1 i)n|in|i124a 和 s 的关系证明（略）：1 d n1 1 dn nd 1 1 vn an dvn1 vn d(1 i)n 1 da s dn|n|s 1250 d1an an an an d1d111sn sn sn dd11111n126Charles has inherited an annuity-due on which there remain 12 payments of 10,000 per year at an effective discount rate of 5%;the first payment is d

30、ue immediately.He wishes to convert this to a 25-year annuity-immediate at the same effective rates of discount,with first payment due one year from now.What will be the size of the payments under the new annuity?（12 payments,d=5%)10000 10000X X(25 payments,d=5%)127Example令X是新年金在每年末的支付额，则10000a12 i=

31、Xa25iX=6695.6062d 0.05 11 d 0.95 19i Solution:d=5%1283、期初付年金和期末付年金的关系(1)an 1 an说明:a 的 n 次付款分解为第1次付款与后面的(n 1)次付款。(2)sn sn+1 -1sn 1 nn 次-1s129111111111nKathryn deposits 100 into an account at the beginning of each4-year period for 40 years.The account credits interest at an annual effective interest r

32、ate of i.The accumulated amount in the account at the end of 40 years is X,which is 5 times the accumulated amount in the account at the end of 20 years.Calculate X.Exercise130SolutionThe effective interest rate over a four-year period is:10 jX=100s =6194.7210j 5 j100s =5 100sj=31.9508%1314、延期年金（def

33、erred annuity）含义：推迟m个时期后才开始付款的年金。mm|n n m n m延期年金现值为 a v a a a 0 1 2 m m+1 m+nan a m|n132111例：某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。s7 (1 i)3 s10 s3 27 9 2v a a a 133a 为期末付永续年金（perpetuity-immediate）的现值。1 vn 1|n n|n i i5、永续年金（Perpetuity）永续年金：无限期支付下去的年金。按利率 i 无限期投资，每期支付利息 i 1 。永续年金：将本金 1a lim

34、 a lim 134ia 表示期初付的永续年金（perpetuity-due）的现值。1 vn limn da an imnl1 d135第一个每年末付款1，现值为 1 ；i第二个延迟 n 年，从n+1年开始每年支付1，现值为因此 n 年的期末付年金的现值等于期末付年金与永续年金的关系：n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：1 vn 1 vnn i i ia vi136nhas a present value of 20.If this perpetuity isexchanged for another perpetuity paying R at the beginning of

35、 every 2 years,find R so that the values of the two perpetuities are equal.1 1 1 1 ExampleA perpetuity paying 1 at the beginning of each yearRR1371 D (1 d)2 D 1 (1 1/20)2故新的永续年金的现值为 20两年期的实际贴现率D为：R 20 1 (1 1/20)2 R 20D138练习：某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益 人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此 项财产的年

36、实际收益率为7，确定三个受益者的相 对受益比例。139B所占的份额是 7000(a20|a10|)7000(10.5940 7.0236)24993C所占的份额是7000(a|a20)7000(10.5940)25842解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是 7000a10|7000(7.0236)49165A、B、C受益比例近似为49，25和26。140Give an algebraic proof and a verbal explanation for theformula。m nm|n m a a a v a Example141Solution （课后阅读）142 1

37、43m n m n m m|n m|n m a a a v a a a a v a解释：一个永续年金可以分解为三个年金 之和：0 m m+nm nv am|naaam6、可变利率年金Example：Find the accumulated value of a 10-year annuity-immediate of$100 per year if the effective rate of interest is0 6 105%for the first 6 years and 4%for the last 4 years.accumulated value1001001004%5%144解

38、：前六年的投资在第6年末的价值为 100s6|0.05再按4的利率积累到第10年末的价值为100s6|0.05(1.04)4在第10年末的价值为100后四年的投资在第10年末的累积值为 100s4|0.04100s6|0.05(1.04)4 s4|0.04 1220.381001004%5%1006145more than 75 made 1 year after the last regular payment.If the effective annual rate of interest is 5%,find n and the amount of the final irregular

39、 payment.n n+1每次50 每次75 XExercise:A fund of 2500 is to be accumulated by nannual payments of 50,followed by n+1 annual payments of 75,plus a smaller final payment Xof notAccumulatedvalue：2500146令n 10 X 2500 50 sn (1 i)n+2 75 sn 1 (1 i)251.81 75故 n 11Solution：50 sn (1 i)n 2 75 sn 1 (1 i)2500 n 10.739

40、3（负值的含义？）n+1 X 92.92n每次75 147累积：2500（看作期末付款）每次50XExercise:A level perpetuity-immediate is to be shared by A,B,C,and D.A receives the first n payments,B the next 2n payments,C payments#3n+1,5n,and D the payments thereafter.It is known that the present values of Bs and Ds shares are equal.Find the rat

41、io of the present value of the shares of A,B,C,D.148Solution：1 vnA:a vn v3n vn ni i3n nB:a a (1 v2 )a a5n a a C:D:ivn iv v5n 3n3n 5n5ni149A:B:C:D=(1 vn):(vn v3n):(v3n v5n):(v5n)=0.2138:0.3003:0.1856:0.3003v (1 v2n)v i in n n n n n n n n5n5n5nnvn 0.78615B=D150每年复利1次（给出年实际利率），每年支付1次问题：如何计算下述年金？每年复利 k

42、次（给出年名义利率），每年支付1次 每年复利1次，每年支付 m 次（常见）解决途径之一：计算每次付款对应的实际利率，再应用基本公式。解决途径之二：建立新公式（只讨论每年支付m次的年金）回顾前述年金的特点151例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年复利两次的年名义利率为6%，试计算每月末的 付款金额。（应用基本公式）15250000 Xa60|j每年复利两次的年名义利率为6%，所以半年度的实际利率为3%，月实际利率为j=(1+3%)1/6 1=0.49386%所以X 50000 a 965 （元）解：假设月实际利率为j，每月偿还金额为 X，则60|0.004938615

43、37、每年支付 m 次的年金：建立新公式n 表示年数。m 表示每年的付款次数。nm 表示年金的支付总次数。i 表示年实际利率。154期末付年金（annuity-immediate payable mthly）：每年支付m次,每次的付款为1/m元，每年的付款是1元。每年支付 m 次的期末付年金（mthly annuity-immediate）155 v1/m 1 1 vn m (1 i)1/m 11 vn(m)（a-upper-m-angle-n）a )(vm vm 支付n年，每年支付m次，每次支付1/m元。其现值因子为：156 m i(m)m (1 i)1/m 1n 1 v m vn)（分子分

44、母同乘(1+i)1/m)(m)n|a1 i 1 （级数求和）i(m)m m证明：1 2i要求每次的付款额为1/m，每年的付款总额为1元。是以每年的付款等于1计算的。需要已知年实际利率和名义利率。应用上述现值公式的注意事项：a m)例：10年内每月末支付400的现值？例：5年内每4个月末支付200的现值？12 400 a 2)3 200 a157an|的关系（哪个较大？）：a )(m)1 vnn|i(m)1 vni a i(m)i(m)n证明：(m)与in|aaain|158上述年金的累积值可表示为s )(1 i)n a )(1 i)n s(m)s 的关系（哪个较大？）：s )sn|例：10年内

45、每季度末支付400的累积值？4 400 s )例：5年内每4个月末支付200的累积值？3 200 sn|,n|159例：某投资者向一基金存入10000元，基金的年实际利率为5%，如果该投资者希望在今后的5年内每个季度末领取 一笔等额收入，试计算该投资者每次可以领取多大金额。160解：假设在每个季度末可以领取x元，则每年的领取额是 4x元，因此所有领取额的现值为4xa )，故：4xa )=10000 x 2500 a )2500 a5|=566.92 (元)课后练习：请用excel，先求出季实际利率，再求解x，并比较计算的简便性。161练习：某投资者在每月末向一基金存入100元，如果基 金的年实

46、际利率为5%，试计算该投资者在第5年末可以 积累到多少？解：这是一项每年支付12次的期末付年金，每年的支付 额为1200元。因此有i1200s 2)=1200 i(12)s5|=6781.37 （元）162期初付年金（annuity-due payable mthly）每年支付m次的期初付年金（mthly annuity-due）163每年支付m次的期初付年金的现值为：a )（1 i)1 m a )a m)dd(m)na )问题：随着m的增大，期初付年金的现值如何变化？=a 164Find an expression for the present value of an annuity on

47、which payments are 100 per quarter for 5 years,just before the first payment is made,if =0.08.100 100 100 100 100 100 Present value？Example5 years，20 payments165166s )(1 i)n a )(1 i)n 期初付年金的累积值可表示为(1 i)n 1d(m)167Example：payment of$400 per month are made over a ten-year period.Find expression for(1)t

48、he present value of these payments two years prior to the first payment.(2)the accumulated value three years after the final payment.Use symbols based on an effective rate of interest.168解：年付款为400124800。（1）4800v2 a )i 4800a )i a|2i)（2）4800(1 i)3 s )i 4800s )i s|400 400i2)10年，120次付款169永续年金：每年支付m次的永续年

49、金的现值如下a )a )imnl imnla )a )imnl imnla )（1 i)1 m a )（两个年金相差1/m个时期）170例：投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取 100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？解：m=12，每年领取的金额为1200元。假设年实际利率 为i，则：1 12001200 20000 =20000 i 6.1678%i(m)12(1 i)1 12 1171At an annual effective interest rate of i,i 0,the present value of a perpetuity paying 10 at

50、 the end of each 3year period,with the first payment at the end of year 6,is 32.At the same annual effective rate of i,the present value of a perpetuity immediate paying 1 at the end of each 4-month period is X.Calculate X.Exercise172永续年金在第3年末的价值为 10/j永续年金在时间0点 的价值为 令其等于32，即得j=0.25年实际利率i为:Solution:令