线性控制第12章课件.ppt

1、 第第1212章章 线性时不变系统的能控性和能观性线性时不变系统的能控性和能观性 12.0 12.0 引言引言第第1212章章 线性时不变系统的能控性和能观性线性时不变系统的能控性和能观性 12.1 12.1 系统的能控性及其判别系统的能控性及其判别 12.2 12.2 系统的能系统的能观观性及其判别性及其判别 12.12.3 3 能控性能控性与能观测性的对偶关系与能观测性的对偶关系 12.4 12.4 若当型方程的能控性、能观性若当型方程的能控性、能观性2 12.5 12.5 线性离散系统的能控性与能观测性线性离散系统的能控性与能观测性11111111 12.6 12.6 线性时不变系统结构

2、分解线性时不变系统结构分解 12.7 12.7 线性时不变系统的标准型与最小实现线性时不变系统的标准型与最小实现12.0 引言引言 在系统的内部描述（状态空间描述）中，状态方程（动态方程）描述了 系统状态与系统输入间的关系；输出方程（静态方程）描述了系统状态、输入与系统输出间的代数关系。与系统外部描述（传递函数描述）的直接输入输出关系相比，由于引入了反映系统内部动力学行为的系统状态，系统的内部描述中系统输入输出的关系由两组方程联合给出。这就使得探寻系统内部结构特征与性质成为可能，于是产生出许多新概念。系统的能控性、能观测性就是其中的两个基础性概念，也是系统分析、综合设计的关键性概念和基础。12

3、.0 引言引言4 系统的能控性、能观测性是1960年由卡尔曼（R.E.Kalman）提出的。意在回答线性系统控制设计中两个基本而关键的问题：一、对已知系统，把系统从任意状态驱动到另一任意状态对已知系统，把系统从任意状态驱动到另一任意状态的控制信号是否存在？的控制信号是否存在？即，使系统具有希望动力学行为的控制信号是否存在。这就是系统能控性问题。由于它只涉及系统状态与系统输入，故其解答完全由系统状态方程的结构确定，即由系统矩阵和输入矩阵的结构确定。另一方面，要形成控制律，首先需要获得系统的动力学信息。而这些信息包含在系统的状态变量中。实际中，出于对系统模型和设计经济性考虑，通常只有系统的输出信息

4、可以检测，故无法由此获取系统控制所需的完整动力学信息。12.0 引言引言 二、能否通过对系统输出信号的检测来估计出系统的状态信能否通过对系统输出信号的检测来估计出系统的状态信息？息？这就是所谓的系统能观测性问题。由于系统输入是人为施加给系统的，可认为是已知量。故问题的解答完全由系统矩阵与输出矩阵的结构确定。综合上述，能控性反映了系统输入对系统状态的制约能力；能观性反映了系统输出对系统状态的判断能力。它们描述了系统的重要结构特性。正确理解相关概念、掌握相关性能判别方法是系统分析、综合设计优良控制系统的前提。12.0 引言引言 限于篇幅，本章只讨论下述时不变系统（定常系统）情形：(12-1)其中各

5、符号的定义如前。为由定义在0,+)上分段连续函数组成输入向量，称为允许控制。6 本章对系统进行定性分析。首先给出系统能控性、能观测性定义及判别方法。通过对偶系统概念和对偶原理的介绍，阐明系统能控性与能观测性的关系。针对线性系统的典型形式，给出基于对角型、约当型系统的能控性能观测性判据。在此基础上，介绍了系统结构分解的相关定理，阐明了系统传递函数描述与状态空间描述间的关系。最后，本章介绍了系统的能控或能观标准型，以及变换的方法；最小实现的概念和求取方法。12.1 系统的能控性及其判别系统的能控性及其判别 12.1.1 能控性定义能控性定义 12.1.2 能控性判据能控性判据12.1 系统的能控性

6、及其判别系统的能控性及其判别 如前言中所述，系统的能控性完全由系统矩阵和输入矩阵确定。本节的内容围绕矩阵对的结构与系统能控性的关系研究展开。12.1.1 12.1.1 能控性定义能控性定义 在给出系统能控性定义之前，先研究下列几个例子。812.1.1 12.1.1 能控性定义能控性定义 如图上图所示网络，选取电容的端电压 作为系统的状态变量。假定 为网络任意初始状态，由于网络结构网络结构的对称性的对称性，无论施加怎样的输入电压 ，都无法改变网络的状态。即始终有 ，表明输入电压 对网络状态 不能产生任何作用。故称此网络的状态不能控或此网络为不能控网络。xx12.1.1 12.1.1 能控性定义能

7、控性定义 如图上图所示网络，选取两个电容的端电压 作为系统的状态变量。显然，通过施加不同的输入电压 ，能使状态变量 或 转移到任意值。但由于此网络结构的对称性网络结构的对称性，输入电压 不能任意转移系统的状态。若网络初始状态为，无论施加怎样的输入电压，始终有 。即通过施加输入电压 无法任意改变网络的状态。故此网络也是不能控的。21,xx1x2xuu 021,tttxtxu12.1.1 12.1.1 能控性定义能控性定义 以上两个网络都是不能控的例子。下面给出能控性的定义能控性的定义。定义定义12-112-1 对于系统对于系统(12-1)(12-1)，如果任意给定的两个状态，如果任意给定的两个状

8、态 和和 ，均存在一个输入向量，均存在一个输入向量 ，能够在有限的时间区间，能够在有限的时间区间 内把内把系统由初态系统由初态 驱动到终态驱动到终态 ,则称系统则称系统(5-1)(5-1)是状态完全是状态完全能控的，简称系统能控。否则，称系统状态不能控或不完全能控。能控的，简称系统能控。否则，称系统状态不能控或不完全能控。对定义5-1作几点说明。定义只要求输入 能在有限时间内将系统从任意初始状态驱动到任意终态，并未对系统从初态到终态的运动轨迹作任何指定；也未对输入 的形式做任何规定，只要求 是允许输入。若对系统状态空间中的某个状态 ，把其驱动到任意状态的输入不存在，则状态 能控，称 为系统的一

9、个不能控状态。按照定义，此时系统不能控。不能控系统状态空间的状态可能一部分是不能控状态，而另一部分状态是能控状态。但能控系统意味着，其系统状态空间的每一个状态都是能控状态。u0 x1x tu10,tt 00 xtx 11xtxuu00 xtx0 x0 x12.1.1 12.1.1 能控性定义能控性定义 严格说来，若定义中的初态为系统任意非零状态，终态是系统的零状态，才属能控性问题；而若初态为零状态，而终态为任意非零状态，则属于状态能达问题。但是，对于线性系统而言，由于其状态转移的可逆性，能控性与能达性是等价的。故定义中不加区别。例例12-112-1 设一阶系统用定义判断系统的任意初态为 。用定

10、义判断系统能控性。因为这个系统状态方程的解为任取 ，令将其代入 ,求得 。这说明系统能控。01tt tx12.1.2 12.1.2 能空性判据能空性判据 上小节中的例子分析提示出系统能控性的判别规律。定理12-1 由式(12-1)描述的系统能控的充分必要条件是 定理定理12-1 12-1 揭示了系统能控性与条件(1)和(2)是相互依存的关系，便于对系统结构深入研究。作为判据，其面临系统状态转移矩阵计算困难的问题。对定理12-1的条件作进一步分析可得与其等价的定理。定理定理12-212-2 系统(12-1)能控的充分必要条件是系统的能控性矩阵行满秩，即 式中，表示矩阵的秩。证明如下：1.若满秩，

11、则系统状态能控。BAABBMnc1,2.若系统能控，则 满秩。例12-2 给定系统的状态方程试判别系统的能控性。12.2 系统的能观性及其判别系统的能观性及其判别 12.2.1 能观性定义能观性定义 12.2.2 能观性判据能观性判据12.2 系统的能观性及其判别系统的能观性及其判别12.2.1 12.2.1 能观性定义能观性定义 定义定义12-212-2 如果对于系统如果对于系统(12-1)(12-1)的任意一个初始状态的任意一个初始状态 ，均，均能根据系统输入向量和输出向量在有限时间能根据系统输入向量和输出向量在有限时间 内的量测值，唯一内的量测值，唯一地确定地确定 ，则称系统，则称系统(

12、12-1)(12-1)是状态完全能观测的，简称状态能观。是状态完全能观测的，简称状态能观。否则，称系统状态不能观（或不完全能观）否则，称系统状态不能观（或不完全能观）。对定义的几点说明：由于系统输入引起的输出响应是已知的，可以从系统总的输出响应中扣除。因此，能观性定义中也可不涉及输入向量。虽然定义中要确定的只是系统的初始状态 ，若知道了初态，就可根据系统方程求得 任何时刻的系统状态，从而达到根据输出估计系统状态的目的。若系统不能观测，仍然可能有部分状态能观，而另一部分完全不能观。严格地说，对于任意的初始状态 ，系统零输入响应 时，称是系统的不能观状态。显然，是系统的不能观状态。例例12-312

13、-3 若系统状态空间描述为设系统初态 。试用定义判断系统能观测性。此例表明，由对系统输出的测量信息，经过有限时间的积累之后可以唯一确定出系统的初始状态。即此系统输出对系统的初始状态具有判断能力。当系统初始状态确定之后，系统的任何时刻的状态可由系统状态转移矩阵确定。因此称此系统能观。注意，使方程(12-3)有惟一解的条件是 非奇异。而 的奇异性完全由系统矩阵、输出矩阵惟一决定。故系统的能观性完全由系统矩阵对 惟一确定。12.2.2 12.2.2 能观性判据能观性判据 对于系统能观性也有与系统能控性判别类似判据。定理定理12-312-3 系统(12-1)状态完全能观的充分必要条件是下面的任一条件成

14、立：(1)Gram矩阵非奇异。或者 (2)对任意 列线性无关同样的，定理12-3也不是计算最简判据。定理12-4 系统(12-1)状态完全能观的充分必要条件是其能观性矩阵 列满秩。即，。例例12-412-4 设系统方程为判断系统的能观性。解 由已知求得则系统能观性矩阵计算得 ，故系统能观。12.3 12.3 能控性与能观测性的对偶关系能控性与能观测性的对偶关系 前两节介绍了系统能控性、能观性的定义及判据。观察、分析这些定义及判据，会发现系统能控性与能观性存在某种关系，这种关系称为对偶关系。本节以系统结构的观点，介绍揭示系统能控性与能观性关系的对偶原理。12.12.3 3.1 .1 对偶系统对偶

15、系统 如果两系统的方程分别为 由于系统结构存在式(1)，(2)所述关系，则可得下面的定理。1 12.2.3 3.2 .2 对偶原理对偶原理 定理定理12-5 12-5（对偶原理）对上述系统(1)、(2)，若系统(1)状态能控，则系统(2)状态能观测；若系统(1)状态能观测，则系统(2)状态能控。对偶原理的意义在于，它揭示了系统能控性与能观性之间的关系。即揭示了线性系统控制与系统估计间的关系。据此，对应线性系统能控性的结果，存在系统能观性的相应结果。故上节省略了对能观性判别相关定理的证明。12.4 若当型方程的能控性、能观性若当型方程的能控性、能观性 系统矩阵是一个 的方阵，其最简形式为约当型（

16、对角型是特殊的约当型）。这种形式下，它的阶数及对角线上的元素，包含着系统重要的动态信息。如果对一般系统施行相应的线性变换，将其化为对角型或约当型，会使系统性能变得更加直观，使对系统性能的分析大为简化，也使对系统状态空间的结构的了解变得更加方便。12.4.1 12.4.1 线性变换不改变系统的能控性、能观性判据线性变换不改变系统的能控性、能观性判据 线性变换可以将系统化为对角型或约当型，但这是否会改变系统的能控能观性呢？对此，有下面的定理。定理定理12-612-6 对系统对系统(12-1)(12-1)施行任何的非奇异变换，不改变系统施行任何的非奇异变换，不改变系统的能控性和能观性。的能控性和能观

17、性。当系统经满秩线性变换化为对角型或约当型后，其能控能观性的判别变得很简单。对此，不加证明地给出以下定理。12.4.2 12.4.2 若当型方程的能控性、能观性判据若当型方程的能控性、能观性判据 定理定理12-712-7 对于系统(12-1)，其状态能控（能观）的充分必要条件是，系统经非奇异变换后所得到的约当型约当型 中，的特特征值相同征值相同的各约当块最后一行最后一行（首列）所对应的矩阵 的行（行（列）线性无关列）线性无关。以下结合几个例子对定理及运用作一些说明。例12-5 判断下列系统的能控能观性。在(1)中系统矩阵共有两个约当块，一个一阶，一个二阶。对应特征值分别为-2，3。且各约当块的

18、最后一行（首列）所对应的输入矩阵的行（输出矩阵的列）均线性无关。根据定理可知，系统既能控、又能观。在(2)中系统矩阵共有三个约当块，分别是：特征值为-3的左上角的二阶约当块和右下角的二阶约当块，特征值为2的一阶约当块。两个二阶约当块最后一行（首列）所对应的输入（输出）矩阵的行（列）虽然都非零，但对应特征值相同。两行（列）又线性相关；另外，一阶约当块所对应的输入（输出）矩阵的行（列）都为零，即都是线性相关的量。根据定理，系统状态既不完全能控，也不完全能观测。即，系统既不能控，也不能观。运用定理不仅可判别约当型系统的能控能观性，也可了解系统状态空间的结构。例例12-612-6 系统方程如下式，试判

19、断系统空间中哪些状态能控，哪些能观测。根据定理12-7可知：系统状态既不完全能控，也不完全能观测。那么，系统状态空间中哪些状态不能控（观），哪些状态能系统状态空间中哪些状态不能控（观），哪些状态能控（观）呢？控（观）呢？观察可知，系统状态分量 与系统输入 既无直接的联系，也无间接地联系。因此，状态分量 不受系统输入 控制。而系统状态分量 与系统输入 有直接的联系，受控于系统输入 。故系统的能控状态可表为其中，为任意实数。这一结果表明，系统所有的能控状态都落在四维空间中两个单位正交向量张成的一个二维平面上。即这一平面上所有的点都代表着系统的能控状态。因此，称此平面为系统状态空间中的能控子空间，记

20、为 。反观系统状态中如下的状态 其中，为任意实数。结果表明，这样的状态也构成了四维空间中的一个二维平面，其上的点代表的状态完全不受输入控制。因此，称此平面为系统状态空间中的不能控子空间，记为 。分析子空间 、的构成可知即，。且有其中，任意的 （系统的状态空间）。于是得出结论于是得出结论：按照能控性，系统的状态空间由能控子空间和不能控子空间共同构成，且两个子空间正交。故 （表示 关于 的正交补空间，即有 ，且 的维数+的维数=的维数）。观察系统方程还可知，系统输出中直接包含系统状态的 分量信息，且可通过对系统输入输出有限时间内的测量值来估计；而系统输出与 分量既无直接联系也无间接联系，是不能通过

21、对系统输入输出有限时间内的测量值来估计的。故系统的能观状态可表为而形如的状态完全不能观测（这里，）。分别把 和 所在的空间称为系统能观子空间 和不能观子空间 。同样可得出结论：按照能观性，系统的状态空间由能观子空间和不能观子空间共同构成，且两个子空间正交。故 （表示 关于 的正交补空间）。对于形如(12-1)的一般系统，以上结论仍然成立。在本章12.6节将运用上述结论，对一般系统结构作进一步的讨论。12.5 线性离散系统的能控性与能观测性线性离散系统的能控性与能观测性 对于连续系统经离散化而得到的离散系统，其能控性和能观性与前面连续系统所讨论的完全相似。给定离散系统状态空间描述为 (12-4)

22、其中，分别是 ，的常数矩阵。由第2章讨论可知，系统的状态响应和输出响应分别为 (12-5)(12-6)12.5.1 12.5.1 能控性能控性 假定任意的初态 ，终态 。式(5-)的矩阵形式为 其中，控制序列 。问是否存在一个有限的控制序列 ，在 步内把系统由 驱动到 。如果这样的控制序列 存在，则称系统状态完全能控。否则，系统状态不完全能控。令 则式(12-5)，变为 (12-7)于是，系统状态能控性问题就变为针对未知向量 ，方程(12-7)是否有解的问题。方程(12-7)是否有解，完全决定于系数矩阵 的结构。而 完全由系统矩阵和输入矩阵确定。故能控性反映的是系统的结构特性。这就是系统能控性

23、问题的实质。对此有下述判据。定理定理12-812-8 系统(12-4)状态能控的充分必要条件是系统的能控性矩阵行满秩。即 。即，当矩阵 行满秩时 ，方程(12-5)一定有解。且其最小能量解可表为 (12-8)例例12-712-7 已知系统状态方程为 求把系统从初态 驱动到零状态的控制序列 。解解 求矩阵知系统状态能控，方程(12-5)有解。可求得一控制序列为即，控制序列在两个采样周期就能把系统从 状态驱动到零状态。读者可用Matlab软件绘制系统状态响应曲线，验证结果。与系统状态能控性相对应，对于系统任意的输出信号，是否存在输入信号序列 ，能在有限时间内将系统由初始输出信号 驱动到 ，如果这样

24、的输入信号序列存在，就称系统是输出能控的。为简化推导，在式(12-7)中令 ，得 (12-9)由系统(12-4)的输出方程中可得 (12-10)将式(12-9)代入式(12-10)中得 (12-11)令 ，则式可写为 令 代入上式得 通常 ，故对于 ，上述方程组有解的充分必要条件是：矩阵 行满秩，即 (12-12)这就是系统输出能控的条件。由于初等变换不改变矩阵的秩，习惯上把上述条件改写为 (12-13)将此结果推广到连续线性定常系统可得，系统(12-1)输出能控的判据式是矩阵 (12-14)行满秩。即，。由以上分析可知，线性系统输出能控性也完全由系统结构和参数决定。12.5.2 12.5.2

25、 能观性能观性 如果令输入为零，则式(12-6)变为 (12-15)即，系统初态 引起的系统 时刻的输出响应。令 ，根据式(12-15)，可得由系统初态引起的系统输出响应序列 。若令则得 (12-16)现在的问题是：对于系统任意初态 ，是否均能根据系统输出向量（设输入为零向量）的有限采样序列 来惟一确定。如果是，则称系统(12-4)状态能观测，或系统(12-4)能观。于是，系统状态能观测就意味着方程组(12-16)针对 有惟一解。而式(12-16)是否有惟一解，由矩阵 决定。即完全由系统矩阵和输出矩阵的结构决定。对此，有如下判据。定理12-9 系统(12-4)状态能观的充分必要条件是系统的能观

26、性矩阵 满秩，即 。也即，当矩阵 列满秩时 ，方程(12-16)有惟一解。且其解可表为 (12-17)当系统的初态由式(12-17)确定之后，系统在任意时刻的状态就可由系统状态转移矩阵求得。这就是系统能观测性的实质。例12.8 已知系统方程为系统在 的测量序列 ，试估计系统初始状态。解：对此，图12-3解释了这一解的几何意义。与连续系统类似，离散系统的能控、能观性问题归结为对应方程组是否有解的问题。其判别均依据相应矩阵的满秩条件。分析方程组(12-7)、(12-16)可知，当矩阵 、不满秩，系统仍然有部分状态能控（能观）。此时，称系统既不完全能控，也不完全能观测。其中，代表向量 。它与测量序列

27、 线性无关。因此，通常方程组(12-6)没有一般意义下的解。容易验证，。这就是说，是使 成为其所在直线上最接近 的向量的组合系数。即，式(12-16)解的意义是：它使测量序列 与 的距离 为最小。因此，称为系统初态的一个最佳估计值或最佳观测值。12.6 线性时不变系统结构分解线性时不变系统结构分解 研究系统状态空间的构成及性质，寻找能突出系统结构特征的状态空间描述，对于系统分析与设计至关重要的。特别是对于既不完全能控，也不完全能观测的线性系统，全面地掌握它的状态空间结构，才能更好的了解系统的动态性能，设计出合适的控制系统。本节将就此展开讨论。12.6.1 12.6.1 系统状态空间结构及子空间

28、的性质系统状态空间结构及子空间的性质 这里仍以系统为例。经12.4节例12-6的计算和分析知：其状态空间1.按能控性，可分为能控与完全不能控两个子空间。分别是 （12-18）2.按能观性，可分为能观与完全不能观两个子空间。分别是 (12-19)各子空间表示中的向量为相应子空间的一组基向量。分别记为：观察式(12-18)、(12-19)可知：，记为 。即 。表明：在 方向上的点都代表既能控，又能观的系统状态。，记为 。即 。表明：在 方向上的点都代表能控，不能观的系统状态。，记为 。即 。表明：在 方向上的点都代表不能控，能观的系统状态。，记为 。即 。表明：在 方向上的点都代表既能控，也不能观

29、的系统状态。综上所述可得综上所述可得 结论结论1 1.无关向量组 构成了系统状态空间的一组基。即：系统的状态空间由能控、能观子空间，；能控、不能观子空间，；能观、不能控子空间，；不能控、不能观子空间，等四个子空间构成。即 对于一般的线性时不变系统状态空间，这四个子空间的维数不一定都相同。且不一定都出现。例如，对于能控、不完全能观系统的状态空间，其上的每个点都代表能控状态。所以，就只能按能观性分为能观和不能观两个子空间。状态空间的结构是系统结构的反应，而系统结构完全由系统的系数矩阵 的结构和匹配关系确定。例12-6中运用判据分析得到了子系统各子空间的构成。事实上，由已知系统的能控性与能观性矩阵。

30、对 施以列初等变换，得对 施以行初等变换，得 上述结果与式(12-18)、(12-19)的 、表示对比，可得：结论结论2 2.系统能控性矩阵中线性无关的列向量构成了能控子空间的一组基。即，系统的任意能控状态，均在这组基向量所张成的空间中。结论结论3.3.系统能观性矩阵的转置矩阵中线性无关的列向量构成了能观子空间的一组基。也即，系统的任意能观状态，均在这组基向量所张成的空间中。由此，根据例12-8所得系统的能控（观）子空间的正交补空间就是系统的不能控（不能观）子空间的结论，其基向量组可由下列方程组的解得到。(12-20)显然，与 的每个列向量正交；与 的每个行向量正交。其解空间可运行下列matl

31、ab语句得到。Xc1=null(Mc)Xo1=null(Mo)计算结果与式(12-18)、(12-19)的 、表示一致。根据凯勒-哈密尔顿定理有 结合结论2、3，上两式意味着，对于任意的 （），有 （）。于是得 结论结论4.4.系统的 、子空间是关于 的不变子空间。除子空间个数外，本节的结论对于一般的线性时不变系统均成立。12.6.2 12.6.2 系统的结构分解系统的结构分解 对已知系统进行结构分析，有意识地建立突出系统某些结构特征的状态空间描述，这一过程称为系统结构分解过程。实质是实质是：在系统状态空间中，以能控性（能观性）为标准，选择各子空间坐标基的有序组合来描述系统。目的是：目的是：使

32、系统某些结构特征突出出来，以便系统分析和控制器设计。这就如同通过坐标变换获得标准椭圆方程，突出椭圆的几何特征一样。在12.6.1结论的基础上，这一过程可方便地实现。现假定已知线性时不变系统求得 ，。并用分别表示：和 中线性无关的列向量组成的向量组。即得，。再用分别表示，方程 解空间的基向量组。即得，。据此，选取一组具有鲜明结构特征的状态空间基向量组构成变换阵 。代入系统方程，根据12.6.1中结论，即可确定具有相应特征的系统模型。这里列出三种典型的选取方式及变换后的结论。定理定理12-912-9 若选取 ，并令 。代入系统方程(12-21)得cMToM00oocTcxMxM、且有 (1)维子系

33、统 状态完全能控，子系统状态完全不能控；(2)子系统 具有与原系统相同的传递函数。这称为原系统按能控性分解。只要系统 ，均可施行。同时，也可任选 个与 向量组线性无关的向量代替向量组 ，结论仍成立。定理定理12-1012-10 若选取 ，并令 。代入系统方程（12-21）得且有 (1)维子系统 状态完全能观，子系统状态完全不能观；(2)子系统 具有与原系统相同的传递函数。这称为原系统按能控性分解。只要系统 ，均可施行。同时，也可任选 个与 向量组线性无关的向量代替向量组 ，结论仍成立。若在式(12-21)的条件下，还有 。其中 ，。此时，12.6.1结论1提及的四个子空间均存在。各子空间基向量

34、组分别用 ，表示。其中，表示各子空间维数。则系统状态空间及各子空间的关系可用图12-4表示。于是 定理定理12-1112-11 若选取 ，并令 。代入系统方程(12-21)得 且有(1)维子系统 状态既能控，又能观，且与原系统有相同的传递函数；(2)维子系统 状态能控，不能观；(3)维子系统 状态不能控，但能观；(4)维子系统 状态既不能控，也不能观；这称为对原系统的一般分解。这一结论的证明不难由这一结论的证明不难由12.6.112.6.1结论得到，简写如下结论得到，简写如下,以作参考以作参考。变换后系统模型直观地给出了结论。关于定理关于定理12-1112-11分解的具体运算，仍以例分解的具体

35、运算，仍以例12-612-6的系统结构分解的系统结构分解MatlabMatlab程序加以说明。程序加以说明。对例12-6的这种约当型系统，其结构分解变换阵 也可按下法求得 首先，由定理12-7判断可知，系统状态分量 ：不能控，能观；：不能控，不能观；：能控，能观；：能控，不能观。并按能控，能观；能控，不能观；不能控，能观；不能控，不能观顺序重新排列。即 (12-22)上式的系数矩阵的逆矩阵就是分解所需的变换阵 。以上列举了系统状态空间的三种典型结构分解形式。对 于一般系统状态空间并不一定总具有四个子空间，但总是这四种子空间某种组合。读者可按本节的方法推得其结构形式。例12-9 已知系统试对其进

36、行结构分解。按能控性可将系统分为能控、不完全能控两类。对于不完全能控系统，可将其分解为完全能控子系统和不能控子系统。若其不能控子系统所有的特征值均具有负实部，则称原不完全能控系统是可镇定的系统。同样，按能观性可将系统分为能观、不完全能观两类。对于不完全能观系统，可将其分解为完全能观子系统和不能观子系统。若其不能观子系统所有的特征值均具有负实部，则称原不完全能观系统是可检的系统。可镇定性与可检性是系统综合设计的重要概念，在本书第14章中将会涉及。12.7 线性时不变系统的标准型与最小实现线性时不变系统的标准型与最小实现 在系统状态空间中，通过选取不同的坐标基向量组，对系统施行满秩变换，可得到不同

37、形式的系统模型。对于状态能控或能观线性系统，通过适当选取坐标基向量组，对系统施行适当的满秩变换，可将其模型变为一种特殊形式。这些形式突出了系统的能控（或能观）性特征，便于系统分析和设计。故称为系统能控（能观）标准型。本节将介绍此类变换的构造方法。根据系统的微分方程或传递函数（阵），建立系统的状态空间模型，称为实现。在第10章中已指出，同一系统，其实现有无穷多种。这些实现形式各异，甚至实现阶数也不相同。其中阶数最低的一类实现称为系统的最小实现。它深刻地刻画了系统的外部描述与内部描述间的关系。本节将介绍系统最小实现的概念，最小实现应满足的条件以及寻找系统最小实现的方法。12.7.1 化系统状态空间

38、描述为能控规范型化系统状态空间描述为能控规范型 1.1.单变量情形单变量情形 (1)(1)化为能控规范型化为能控规范型 设有单变量系统设有单变量系统 ，若矩阵，若矩阵 (12-23)(12-23)则可按如下方式来构成一个非奇异变换阵则可按如下方式来构成一个非奇异变换阵 。取的第一行取的第一行 等等于于 的最后一行（第的最后一行（第 行），然后令行），然后令 由于由于 ，且，且 为为 的最后一行，必有的最后一行，必有 (12-24)(12-24)由此可得 (12-25)于是有 (12-26)式中“x”为可能非零的实数。由式(12-26)知因此，式（12-24）的矩阵 确是一个非奇异阵，可以用作变

39、换阵。现在利用 对原系统（按 ）进行非奇异变换，即 (12-27)则有 例例12-1012-10 设有系统 ，试将其化为能控规范型。解 求系统的能控性矩阵可验证它是非奇异的，故系统可化为能控规范型。构成非奇异变换阵 则 所以 按 。对系统进行非奇异变换得 (2)化为能观规范型 若单变量系统 的能观性矩阵则可以采用与前面将系统化为能控规范型完全相似的方法，把系统化为能观规范型。若令 的最后一列，并按如下方式来构成非奇异变换阵。则按 ，对系统进行变换，便可达到目的。例例12-1112-11 给定系统试将其化为能观规范型。解解 求系统的能观性矩阵 可验证它是非奇异的，故系统可化为能观规范型。构成非奇

40、异变换阵则 ，进而可求得非奇异变换阵为 按 ,对系统进行非奇异变换，得 2.2.多变量情形多变量情形 (1)(1)多变量系统的能控型多变量系统的能控型 由于多变量系统的复杂性，即使同样是能控型，形式不是唯一的，而有许多不同的形式，这里给出的只是一种常见而重要的形式，因此去掉“规范”一词。要把多变量系统化为能控型，显然，其演算过程是比较复杂的，但基本原理仍与单变量系统的相似。为了今后引用方便，我们不加证明地把有关结果介绍如下。设有 个输入，个输出的多变量系统 若系统的能控性矩阵 (12-31)行满秩，即 ，我们按下述方法构造一个非奇异变换阵 。自左至右逐列检查矩阵 的列向量，直至找到 个线性无关

41、的列向量为止。由于 有 个列向量，若要从中选取 个线性无关的列向量，显然，可有许多种取法，从而将得到不同的能控型。这里给出的取法是一种最重要的取法，而且所得结果相当有用。把这样选得的个线性无关列向量重新排列成如下矩阵 (12-32)其中整数 称为系统的能控性指数集，且有 ，参数 称为系统的能控性指数，它们在后面的控制器理论中起着重要作用。(12-33)并令 等于矩阵 的第 行()。然后组成如下非奇异变换阵 (12-34)TrrrrAqAqqAqAqqAqAqqQ111221111,21 利用矩阵 ，按 ，对系统进行非奇异变换，便可得到多变量系统的能控型如下 (12-35)式中“”表示可能非零的

42、实数值元素。而矩阵 为 (12-36)矩阵 仍按 计算，无特定形式。显而易见，要把一个系统化为能控型，其所需的运算是比较冗繁的。对此，读者可用Matlab编程，用计算机实现系统能控型求取。(2)(2)多变量系统的能观型多变量系统的能观型 设有 个输入，个输出的多变量系统 ，若系统的能观性矩阵 (12-37)满秩，即 ，同理，可按照与上面完全相似的方法构造非奇异变换阵 ，把系统化为能观规范型。即从 中自上至下地选取 个线性无关的行向量，再重新排列成如下矩阵。(12-38)且设 (12-39)并取 为的第 列，由此组成非奇异变换阵 (12-40)式中 称为系统的能观性指数集，且有 ；参数 称为系统

43、的能观性指数，他们在后面的观测器理论中起着重要的作用。按 ，对系统进行非奇异变换，便可把系统化为能观 型 ，它与能控型具有互相对偶的形式，只是其中各子块的维数不同，后者由能观性指数集所确定。建议读者自己写出能观 型 的详细结构，并与能控型 比较。例例12-12 12-12 设给定系统 为试把它化为能控型。解 设已知矩阵 满秩，并求得矩阵 为于是有 。取变换阵的第一行 及第 行（对本例即为变换阵的第1行及第2行）分别等于 的第 行及第 行，即则得非奇异变换阵于是最后得变换后的能控型为12.7.2 12.7.2 线性时不变系统的最小实现线性时不变系统的最小实现 前面已经讨论过，当给定一个真有理传递

44、函数 或真有理传递矩阵 时，如何求得它的一种实现，或求得它的一种状态空间描述 的方法与步骤。为了便于讨论，这里再次指出，若状态空间描述 为 的一个实现时，它应该满足 (12-41)由第10章可知，对于单变量系统，有能控规范型、能观规范型实现，以及约当或对角规范型实现；对于多变量系统，也有能控型和能观型实现。从这些实现中已清楚地看到，同一个传递函数（阵）可以有无穷多种实现，特别是它们的维数也可以各不相同。但是在众多的实现中，有一种维数最小的实现，称之为 的最小实现或不可约的实现。最小实现是 的多种实现中最重要的一种实现，因为这种实现不包含有与系统无关的讯息，并可以用最小数目的储能元件（例如积分器

45、）来模拟系统。前面讨论过的结构分解定理12-13、12-14、12-15预示着，最小实现与状态能控性及能观性有着密切的联系，并提供了求最小实现的途径，对此有下面定理。定理定理12-12 12-12 真有理传递函数阵 的一种实现是最小实现的充分必要条件是，它既是状态能控,又是状态能观。证明证明 (1)(1)必要性必要性 即证若 是 的一个最小实现，则它必然是既能控又能观。反设最小实现 不能控，则根据定理12-13，可以把它分解为状态能控与状态完全不能控两个子系统，其中能控子系统具有与原系统相同的传递矩阵 ，但却具有较实现低的维数，这与 已是最小实现的已知条件相矛盾；同理，如果最小实 现 不能观，

46、则根据定理12-14也可以把它分解为状态能观与状态完全不能观两个子系统，其中能观子系统具有与原系统相同的传递函数阵 ，但却具有较低的维数，同样与 是最小实现的已知条件相矛盾。因此，必要性得证。(2)(2)充分性充分性 即证若 的一个实现 是状态能控及状态能观，则它必然是 的一个最小实现。设 的一个 维实现 既是状态能控又是状态能观,但反设它的维数不是最小的，而还存在另一个维数为的能控、能观实现 ，且 。由于两个实现具有相同的传递矩阵 ，因而具有相同的脉冲响应矩阵 ，根据式(11-58)，有 对一切 (12-42)显而易见，上式中 。因此，把上式两边分别对 求 阶导数 ，且令 ，则有 (12-4

47、3)注意到实现 的能控性矩阵 与能观性矩阵 的乘积为 (12-44)且根据赛尔凡斯特（sylvester）不等式，得 (12-45)但是，已知实现 是状态既能控又能观，则 ，因此，由式(12-45)得 (12-46)将式(12-43)代入式(12-44)，得 (12-47)由上式得 (12-48)此外，根据不等式(12-45)，同时考虑到实现 也是既能控又能观的，则同理可得 (12-49)以式(12-46)、式(12-49)代入式(12-48)，最后得，这表明，不可能找到维数比更小的实现，因此充分性得证。定理定理12-1312-13 若 与 是真有理传递矩阵 的两个最小实现，那么，必存在唯一的

48、一个非奇异矩阵 ，使 得 。定理指出了最小实现的一个重要性质，即同一个 的任意两个最小实现之间，是由一个非奇异变换阵相联系着。这里省略定理的证明。T 定理12-12、12-13提供了一条求得最小实现的途径，即 (1)求的任何一种能控型或能观型实现。这可以按照第一章介绍的任何一种方法来达到。(2)从所求得的能控型（或能观型）实现出发，利用定理12-10（或定理12-9）对系统进行结构分解，去掉完全不能观（或完全不能控）部分，使得到既能控又能观的实现，这便是最小实现。必要时还可再通过适当的非奇异变换获得所需的规范型最小实现。本章小结本章小结 本章在给出连续及离散系统能控能观性定义的基础上，引入了线

49、性系统能控能观性判别定理12-1、12-2、12-3、12-4、12-8、12-9。对于连续系统，定理12-2、12-4更便于计算；通过对偶系统概念、对偶原理（定理12-5）的介绍，阐明了系统能控性与能观性的关系。由此，叙述中省略了有关能观性判据的证明。对于离散系统，定理12-8、12-9给出了其能控能观性判据，同时以代数与几何的角度，指出系统状态能控能观性实质。并给出了系统输出能控性的概念和判据。定理12-7给出了约当型、对角型系统能控能观性判据。同时，以例12-8系统能控能观性分析，提出系统状态空间结构问题及初步研究结论。在12.6节中，扩展对例12-8系统研究，得出系统状态空间结构的进一步结论。作为这些结论的应用，12.6节给出了系统结构分解的定理12-9、12-10、12-11。定理12-11不仅揭示出一般系统结构特征，还指明了线性系统内部描述与外部描述间的关系。表明线性系统外部描述的局限性和内部描述的深刻性与完整性。作为系统分析、设计和仿真的基础，本章12.7节给出了一种能控（能观）系统转化为能控（能观）规范性的变换阵构造方法；介绍了系统最小实现的概念和求取系统最小实现的方法，它既是对系统结构分解研究结论的细化，同时也是对经典理论中诸多疑惑的解释。Thank you本章结束103