线性代数复习五章课件.ppt

1、线性代数复习（四、五章）第四章矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量0000,nAnRAAA 设 是 阶方阵 如果对于数存在非零列向量使得则称 为 的一个特征值为 属于特征值 的特征向量.n1、特征值、特征向量：2、定理4.1求特征值特征向量0000,0()0.AAEAEA X是 的特征值是 的属于 的特征向量为特征方程的根,是齐次线性方程组的非零解nA的特征值可有可无；nA对应于一个特征值的特征向量必有无穷多个，且加上零向量后构成向量空间（A的对应特征值的特征子空间）；n特征子空间的维数不会超过 作为特征多项式根的重数。3、特征值和特征向量的性质、定理n定理4.2,.TAnAA设 是 阶

2、矩阵 则 与有相同的特征值定理4.3N阶矩阵可逆的充要条件是，它的任一特征值不等于0。1111,.mmmmAnAmA定理4.4设 为 阶矩阵是 的 个不同的特征值分别是 的属于的特征向量 则线性无关例、求矩阵A的特征值和特征向量。其中212332420242332422(1)(8)04231,8.AEA 解12123123,4240()21204240424212212000,22,424000 xEA Xxxxxx 当=-1时21231120,2,00101xx 令分别取12112212,(,)Accc c于是的属于=-1的全部特征向量为不全为零 常数312313238,5240()2820

3、4250524101282021,2425000 xEA Xxxxxxx 当时33221,2x 令3333,8(0,)Acc于是的属于的全部特征向量为常数二、相似矩阵11,1.2.,()0;3.,;4.;5.P APBABAAAnAEA XnPP AP若则称能否与一个对角阵相似?如何找出这个对角阵?能对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量求出 的所有特征值;对应特征值求出的基础解系若所有基础解系向量个数总和等于 即可对角化以各基础解系中的向量作为列向量构成方阵即为以相应特征值为对角线元素的对角阵.1、相似矩阵及求法123112122111313233121122312123123,;:,

4、TTTTTT 把线性无关向量组正交化:单位化例1123121233222214241,.03,63,()0(2,1,0),(2,0,1)6,()0(1,2,2).TTTAQQ AQEAEA XEA X 设矩阵求正交矩阵使为对角阵解特征根对于解基础解系对于解基础解系123112122111333121231231231,;(,3(,),36TTQQ AQ 把正交化已与正交)再将,单位化,得=,令矩阵,则2、相似矩阵的性质11111.:2.:,3.:,4.7:5.()()6.,mmAAABBAAB BCACABABABABmABABABr Ar BABABAB反身性对称性 如果则传递性 如果则定理

5、与 具有相同的特征值;定理4.8:,其中 为正整数.4.若则存在存在 且3、关于实对称矩阵n实对称矩阵可对角化n实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交。4、实对称矩阵对角化方法11.2.,()0;3.;4.;5.AEA XQQ AQ求出 的所有特征值;对应特征值求出的基础解系将所有基础解系向量构成的向量组正交化,再单位化以这些向量作为列向量即构成正交矩阵即为以相应特征值为对角线元素的对角阵.第五章 二次型一、二次型概念n1、1212211 1121213 1311221212222323222112233,(,)()nnnnnnnnnnnnnnnTTx xxf x xxa xa x x

6、a x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa xX AXAA称关于变量的如下二次齐次函数为二次型11111221221122221122122221122,0(,)nnnnnnnnnnTnTnnTxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yXCYCf x xxX AXY BYd yd yd yBC AC2、用正交线性替换将二次型化为标准形的步骤：1212122221122(,)(1),;(2),(,)(3)TnnTnnnf x xxX AXAC ACdiagXCYfyyy 二次型求出 的全部特征值求出正交阵C 使作正交线性替换则例用配

7、方法化二次型为标准形22211213223322112323222232233222123223322222123223333222123233222123222852()()()285()64()6994()()55fxx xx xxx xxxx xxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxyyy二、二次型的正定性n1、正定121212(,)(),(,)0,(,)0.TTnTnTnf x xxX AXAAXx xxf x xxX AXA设实二次型如果对于任意的有则称该二次型为正定二次型矩阵 称为正定矩阵2、实二次型正定的充要条件是以下条件之一成立：n（1）正惯性指数为n；n（2）A的特征值全大于零；n（3）A的所有顺序主子式全大于零；n（4）存在可逆矩阵n（5）TCAC C使1212(,)0,(,)0TnTnXx xxf x xxX AX对于任意的有3、惯性定理12(,),nf x xxXCY任一二次形都可通过可逆线性替换化为规范形 且规范形是唯一的.即，对于任一二次型，不论选取怎样的可逆线性替换使它化为仅含平方项的标准形，其正负惯性指数与所选变换无关。222211()pprfyyyyprn