2020年中考数学考点11 二次函数.doc
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1、考点11 二次函数一、二次函数的概念一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数二、二次函数解析式的三种形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)(2)顶点式:y=a(xh)2+k(a,h,k为常数,a0),顶点坐标是(h,k)(3)交点式:y=a(xx1)(xx2),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的横坐标,a0三、二次函数的图象及性质1二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)对称轴x=顶点(,)a的符号a0a0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=时,y最小值=当x=时,y最大值=最点抛物线
2、有最低点抛物线有最高点增减性当x时,y随x的增大而增大当x时,y随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a,b,c的关系字母的符号图象的特征aa0开口向上a0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与x轴有两个交点b24ac0方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有两个交点;(2)b24ac=0方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴有且只有一个交点;(3)b24ac0方程没有实数根,抛物线与x轴没有交点 六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题,一般先假设该点存在,根据该点所在的直线或抛物线的表达式,设出该点的坐标;然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他
3、点的坐标等;最后结合题干中其他条件列出等式,求出该点的坐标,然后判别该点坐标是否符合题意,若符合题意,则该点存在,否则该点不存在2、函数动点问题(1)函数压轴题主要分为两大类:一是动点函数图象问题;二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题(2)解答动点函数图象问题,要把问题拆分,分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式,进而确定函数图象;解答二次函数综合题,要把大题拆分,做到大题小做,逐步分析求解,最后汇总成最终答案(3)解决二次函数动点问题,首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动,运动速度是多少,结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度,最后结
4、合题干中与动点有关的条件进行计算考向一 二次函数的有关概念1二次函数的一般形式的结构特征:函数的关系式是整式;自变量的最高次数是2;二次项系数不等于零2一般式,顶点式,交点式是二次函数常见的表达式,它们之间可以互相转化典例1 (2019北京临川学校初三月考)如果y=(m2)x是关于x的二次函数,则m=A1B2C1或2Dm不存在【答案】A【解析】依题意,解得m=1,故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义,需要注意a.典例2 (2019河北初三期中)下列函数是二次函数的是Ay=2x+2By=2xCy=x2+2Dy=x2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可A、y=2x+2,是一次
5、函数,故此选项错误;B、y=2x,是正比例函数,故此选项错误;C、y=x2+2是二次函数,故此选项正确;D、y=x2,是一次函数,故此选项错误故选C1(2019上饶市广信区第七中学初三月考)二次函数的图像的顶点坐标是A(2,3)B(2,3)C(2,3)D(2,3)2(2019湖北初三期中)将一元二次方程化为一般形式后,常数项为,二次项系数和一次项系数分别为A3,6B3,6C3,1D,考向二 二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线,叫做抛物线,该直线叫做抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3函数y=ax2+bx+a+b(a0)的图象可能是A BC D【答案
6、】C【解析】A,由图象可知,开口向下,则a0,又因为顶点在y轴左侧,则b0,则a+b0,而图象与y轴交点为(0,a+b)在y轴正半轴,与a+b0矛盾,故此选项错误;B,由图象可知,开口向下,则a0,又因为顶点在y轴左侧,则b0,则a+b0,而图象与y轴交点为(0,1)在y轴正半轴,可知a+b=1与a+b0,顶点在y轴右侧,则b0,顶点在y轴右侧,则b0,而图象与x轴的交点为(1,0),则a+b+a+b=0,显然a+b=0与a+b0矛盾,故此选项错误故选C典例4如果二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,那么下列不等式成立的是Aa0 Bb0 Cac0 Dbc0【答案】C【解析】抛物线
7、开口向下,a0,b0,抛物线与y轴的交点在x轴上方,c0,ac0故选C3如果a、b同号,那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是ABCD4已知函数y=ax+b的大致图象如图所示,那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是ABCD5二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论正确的是Aa0Ca+b+c0Db24ac3时,y随x的增大而增大【答案】B【解析】,a=30,抛物线开口向上,故不正确;对称轴为,故正确;顶点坐标为(4,2),故不正确;当时,随的增大而增大,故不正确;故选B【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握抛物线的顶点式是解题的关键,即在中,顶点坐标为,对
8、称轴a决定了开口方向.典例6(2019福建厦门外国语学校初三期中)在函数中,当随的增大而减小时,则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】二次函数的对称轴为直线,时,随的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0),当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小,在对称轴右侧y随x的增大而增大;当a0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根2当=0,即抛物线与x轴有一个交点(即顶点)时,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,此时一元二次方程的根即为抛物
9、线顶点的横坐标3当0时)或在x轴的下方(a0时)典例9 二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是x6.176.186.19y0.030.010.02A0.03x0.01B0.01x0.02C6.18x6.19D6.17x6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出0.01和0.02更接近于0,故x应取对应的范围为:6.18x0的解集是Ax3C3x1Dx1【答案】C【解析】二次函数y=a(x+1)2+2的对称轴为x=1,二次函数y=a(x+1)2+2与x轴的一个交点是(3,0),二次函数y=a(x+1)2+2与x轴的另一个交点
10、是(1,0),由图象可知关于x的不等式a(x+1)2+20的解集是3x0的解集是A1x5Cx1Dx511抛物线y=2x24x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程2x24x+m=0的解是_考向六二次函数的实际应用在生活中,我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,解决这类问题的一般思路:首先要读懂题意,弄清题目中牵连的几个量的关系,并且建立适当的直角坐标系,再根据题目中的已知条件建立数学模型,即列出函数关系式,然后运用数形结合的思想,根据函数性质去解决实际问题典例11(2019湖北初三期中)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间以(单位:)的函数解析式是y=6tt2在飞机着陆滑
11、行中,滑行最后的150m所用的时间是sA10B20C30D10或30【答案】A【解析】当y取得最大值时,飞机停下来,则y=60t1.5t2=1.5(t20)2+600,此时t=20,飞机着陆后滑行600米才能停下来因此t的取值范围是0t20;即当y=600150=450时,即60tt2=450,解得:t=10,t=30(不合题意舍去),滑行最后的150m所用的时间是2010=10,故选A【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用,关键在于解一元二次方程.典例12(2019河南初三期中)如图,一段抛物线:y=x(x4)(0x4)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180得
12、到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180得到C3,交x轴于A3;如此变换进行下去,若点P(17,m)在这种连续变换的图象上,则m的值为A2B2C3D3【答案】D【解析】y=x(x4)(0x4)记为C1,它与x轴交于两点O,A1,点A1(4,0),OA1=4,OA1=A1A2=A2A3=A3A4,OA1=A1A2=A2A3=A3A4=4,点P(17,m)在这种连续变换的图象上,174=41,点P(17,m)在C5上,x=17和x=1时的函数值相等,m=1(14)=1(3)=3,故选D【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质,得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.12(2019安
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