微积分函数(课堂PPT)课件.ppt

1、calculus7/21/20221微积分微积分calculus7/21/20222 利用数学定量分析已成为经济学整个理利用数学定量分析已成为经济学整个理论体系中的重要组成部分。例如：论体系中的重要组成部分。例如：极限极限在连在连续复利问题中的应用、续复利问题中的应用、导数导数在边际和弹性经在边际和弹性经济变量中的应用、济变量中的应用、积分积分在消费者剩余和求总在消费者剩余和求总函数中的运用。函数中的运用。更为重要的是：更为重要的是：经济学依靠边际方法与经济学依靠边际方法与思想来进行决策，依靠各种形式的数学模型思想来进行决策，依靠各种形式的数学模型来推导经济学的基本理论。来推导经济学的基本理论

2、。calculus7/21/20223微积分主要分为微分学与积分学两部分。微积分主要分为微分学与积分学两部分。极限概念是微积分的基石，微分学与积分学极限概念是微积分的基石，微分学与积分学都借助极限方法来描述基本概念。都借助极限方法来描述基本概念。微积分的研究对象是变量以及反映变量之间微积分的研究对象是变量以及反映变量之间相互依赖关系的函数。相互依赖关系的函数。微积分微积分知识体系逻辑结构：知识体系逻辑结构：calculus7/21/20224函函 数数函数性质函数性质反函数反函数初等函数初等函数分段函数分段函数函数极限函数极限导数导数微分微分不定不定积分积分中值定理中值定理导数应用导数应用定积

3、分定积分多元多元微分微分 微分微分 方程方程重积分重积分级级数数 穷穷无无calculus7/21/20225第一章第一章 函数函数1.1 函数及其性质函数及其性质1.2 经济函数介绍经济函数介绍calculus7/21/202261.1 函数及其性质函数及其性质一、区间与邻域一、区间与邻域1.区间区间设设a和和b都是实数，且都是实数，且ab（1）满足不等式）满足不等式axb的所有实数的所有实数x的集合，称的集合，称为以为以a，b为端点的开区间，记作为端点的开区间，记作(a，b)即即 (a，b)=x|axb)(（2）满足不等式）满足不等式axb的所有实数的所有实数x的集合，称的集合，称为以为以

4、a，b为端点的闭区间，记作为端点的闭区间，记作a,b即即 a,b=x|axbababxxcalculus7/21/20227（3）满足不等式）满足不等式axb或或axb的所有实数的所有实数x的集的集合，称为以合，称为以a，b为端点的半开半闭区间，记作为端点的半开半闭区间，记作(a,b或或a,b)。即即 (a,b=x|axb或或 a,b)=x|ax0,a1)它的定它的定义域（义域（-,+），值域为），值域为 （0,+），图形），图形通过（通过（0，1）点，）点，且总在且总在x轴上轴上方方.当当a1时，函数单调增加时，函数单调增加.当当0a0,a1）它的定义域为（它的定义域为（0,+），图形都），

5、图形都 通过（通过（1，0）点，且总在）点，且总在y轴的右轴的右 方，当方，当a1时，函数单调增加，时，函数单调增加，当当0a1)y=ax(0a1)(0a1)y=logaxcalculus7/21/202247（5）三角函数）三角函数常用的三角函数有常用的三角函数有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx y=sinx与与y=cosx的定义域为（的定义域为（-,+），且都是以），且都是以2 为为周期的周期函数周期的周期函数,值域为值域为-1,1,都是有界函数都是有界函数.y=sinx为奇函数，为奇函数，y=cosx为偶函数为偶函数 y=cosx的图象的图象 y=sinx的图象的图

6、象23pp2p2p2pp23pp2xy11023pp2p2p2pp23pp2xy110calculus7/21/202248y=tanx的定义域为的定义域为Zkkx x2ppy=cotx的定义域为的定义域为Zkkx xp它们都是奇函数它们都是奇函数,且均以且均以为周期为周期,它们的值域它们的值域(-,+)y=tanx的图象的图象23pp2p0yx2pp23pcalculus7/21/202249y=cotx的图象的图象secyx 另外，还有两个三角函数另外，还有两个三角函数23pp2p0yx2pp23pp2p2xycscxxcos1secxxsin1csccalculus7/21/202250

7、 （6）反三角函数）反三角函数 由于三角函数在定义域内不是一一对应由于三角函数在定义域内不是一一对应的，因此，三角函数在定义域内不存在的，因此，三角函数在定义域内不存在反函数，但是，如果在定义域内选取一反函数，但是，如果在定义域内选取一个区间个区间I I，使三角函数在区间，使三角函数在区间I I内（上）内（上）一一对应，则三角函数在区间一一对应，则三角函数在区间I I内（上）内（上）也存在反函数也存在反函数.对于对于y=sinx而言，在定义域内选取一个而言，在定义域内选取一个区间区间 ，y=sinx在在 上一一上一一对应。对应。22,pp22,pp 称为反正弦函数，其定义域为称为反正弦函数，其

8、定义域为-1，1，值域为值域为 ，是单调增加函数，是单调增加函数.22,pp2p4p4p2p011yx2p2p011yx以上为以上为y=sinx在在 上图象上图象,22ppy=arcsinx的图象的图象 因此，因此，y=sinx在在 上存在上存在反函数反函数x=arcsiny，改写，改写y=arcsinx22,ppcalculus7/21/202251 y=arctanx是是y=tanx x 的反函数称的反函数称为为反正切函数反正切函数,定义域为定义域为(-,+),值域值域 是是单调增加函数单调增加函数.),(22pp2ppxy011y=arccosx图象图象 同理，同理，y=arccosx

9、是是y=cosx x 0,上的反上的反函数称为反余弦函数函数称为反余弦函数,定义域定义域-1,1,值域值域0,是是单调减少函数单调减少函数.),(22pp y=arctanx图象图象02p2pyxcalculus7/21/202252 y=arccotx是是y=cotx x(0,)内的反函数称为反余切函内的反函数称为反余切函数数,定义域定义域(-,+),值域是（值域是（0,）,是单调减少函数是单调减少函数.02ppyx 由反三角函数的概念可知，由反三角函数的概念可知，y=arcsinx和和y=arctanx为奇函数为奇函数.y=arccosx和和y=arccotx为非奇非偶函数，所有的反三角函

10、数均为为非奇非偶函数，所有的反三角函数均为有界函数有界函数 y=arccotx图象图象calculus7/21/20225322arcsin,yxpp的主值区间为：arccos0,yxp的主值区间为：22arctan(,)yxpp的主值区间为：arccot(0,)yxp的主值区间为：calculus7/21/2022542.复合函数复合函数(),(),()()(),yuyf u uxug xg xf uyf g xxu如果 是 的函数又是 的函数并且函数的值域与函数的定义域的交集非空，则称是 的复合函数 其中 称为中间变量.；构成复合函数和由xuayxuaysinsin定义定义7注意注意 复合

11、函数就是在一定条件下将一个函数代入另一个函数得到的新函数.例如:).1lg(1lgxyxuuy构成复合函数和由calculus7/21/20225521,arctanxvvuuy已知 复合函数可以复合多次,即在一定条件下可由多个中间变量复合而成.例例92arctan 1(,)yxx 则复合函数 利用复合函数的概念，可以将一个复合函数看成是由几个简单函数复合而成，即复合函数可以分解成几个简单函数，简单函数是指基本初等函数和有理整函数（多项式函数）nnnnaxaxaxaxf1110)(calculus7/21/202256例例10简单函数将下列复合函数分解成)1(cos)2(lg1)1(22xyx

12、y解解:22(1)1 lg,1,lgyxyu uvvx 可分解成22(2)cos(1),cos1,yxyuuvvt tx 可分解成calculus7/21/2022573.初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所得到的，且可以用一个公式表示的函数统称为初等函数.32)(21)3()(,0)(,)()2(cos1arctan)1ln()1(xxxyxgxfxfyxxyxg称为幂指函数）为初等函数其中等函数判断下列函数是否是初例例11calculus7/21/202258解解:12（）初等函数（）初等函数lnNeN()()ln()()ln()()g xg xf xg xf x

13、yf xee因为(),()f x g x是由初等函数经过四则运算和复合而成的。3（）不是初等函数本课程讨论的函数绝大多数是初等函数本课程讨论的函数绝大多数是初等函数.calculus7/21/202259六六、分段函数分段函数nnnnDDDDDDDnDxxfDxxfDxxfxf21212211,2;),(;),(;),()(分段函数定义域是两两不相交称为分段函数，其中）（表达的函数，即由两个或两个以上公式分段函数一般不是初等函数.注意注意calculus7/21/202260例例12 设分段函数设分段函数的定义域)()1(xf1311)(2xxxxxf(3)()f x讨论的奇偶性.的定义域求)

14、()1(xf)(),2(),1()2(xffff求解解:(,1(1,)(,)D 1)3()2(,0)1()1()2(212xxxfxfcalculus7/21/2022611311)(2xxxxxf)(xff1)(xf)(12xf3)(xf1)(xf11)(12xxfx时，当4222211)(xxxxff）（此时，3)(1xxfx时，当13)(4xxfx时，而63)3()(xxxff此时，13)(241xxfx时，而86)3(1)(22xxxxff此时，calculus7/21/202262221)(1)(,11)3(xxxfxx 时，当46418612)(242xxxxxxxxxff1311

15、)(2xxxxxf3)()(3)()(xxfxfxxfxf，且()f x故是非奇非偶函数.calculus7/21/2022631.2 经济函数介绍经济函数介绍)(.)(1DDDQfppfQpQ形式来表示：也可以用反函数的该函数称为需求函数之间就形成了函数关系与价格需求量外的其他因素，假若不考虑商品价格以一、需求函数calculus7/21/202264二、供给函数二、供给函数().ssQpQp在不考虑其他因素情况下，供给量与价格 之间形成了函数关系称该函数为供给函数p.00价格价格称为该商品的最高时的量，需求量饱和需求量或最高需求该商品的时的需求量称为市场对价格DQp注意注意由于需求量随价格

16、增加而减少，所以需求函数是单调减少的。sQcalculus7/21/202265三、市场均衡三、市场均衡当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品处于市场均衡状态，此时的价格称为该商品的均衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商品的均衡量.商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲线和供给曲线交点的坐标.一般来说，市场均衡表示此时的需求量、供给量、产量、销量均相等，因而市场均衡又称为供求平衡或产销平衡.如图(见下页)calculus7/21/202266PPPP供不应求，供过于求.()DQf PQ()sQPEPOPQcalculus7/21/202267四、总成本函数四、总成本函数)(.xCCxC记为成

17、本函数构成的函数关系称为总所与产量总成本在生产过程中，产品的01,;().()CC xC x生产某一种产品的总成本包括固定成本和变动成本两部分；不随产品的产量增减而变化的部分称为固定成本 记为随产品的产量增减而变化的部分称为变动成本，记为于是总成本可表示为：)()(10 xCCxCcalculus7/21/2022680)0(0CCx本，有时的总成本就是固定成当产量.()()C xC xx均摊在单位产品上的成本称为平均单位成本，简称平均成本记为：)0(x注意注意平均成本函数一般不是单调函数.calculus7/21/202269例例1.500100400)(2本函数及平均成本函数万元，试求总成

18、吨时，总成本为当年产量为万元，且成本为待定系数，已知固定，其中吨的函数万元为年产量假定某产品总成本babxaxCCxC解解:2100400500400,500)100(400)0(baCaC所以由于1001b解得calculus7/21/202270)(100400)(2万元所求总成本函数为xxC)0(x)/(100400)()(吨万元平均成本函数为xxxxCxC)0(xcalculus7/21/202271五、收益函数五、收益函数收益函数：生产者出售一定数量的产品所得收益函数：生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入。它是销量与价格的乘积到的全部收入。它是销量与价格的乘积 RQ pQp其中

19、为销售量，为价格注注QQfQPRPPfQPR)()(10,0QR当时calculus7/21/202272,40 00040/QPQabp设某产品的需求量 是价格 的线性函数已知该商品的最大需求量为，件，最高价格为元 件，并假定市场均衡，求该商品的收益函数.例例2解解:40000,)0(aaQ所以为最大需求量因为得：）（所以量为又因为价格最高时需求,04040000400bQ1000bcalculus7/21/202273PQ100040000需求函数为2100040000100040000ppPPQPR）（收益函数为21000140100040000QQQQQPR或)400(P(040000

20、)QQZcalculus7/21/202274六、总利润函数六、总利润函数由经济理论知：利润=收益-成本:则利润函数为表示，与产量相等，均用当市场均衡时，销售量Q)()()()()()(pCpRpLLQCQRQLL或为盈亏临界点时，称当*0)(QQLcalculus7/21/20227500QQLQQL时，亏本；时，盈利.COQRQ()R Q()C Q()()R QC Q calculus7/21/202276.(215)(5250015002润函数产品就会积压，试求利，如果超出此范围，为销售量，单位：百台其中万元），销售的总收入函数为能全部售出，百台，在此范围内产品求量最高为需元，市场对此产

21、品的年百台成本增加产元，每生成本为某厂生产某产品的固定QQQQR例例3解解:)(25.005.0)(万元总成本函数QQCcalculus7/21/2022772215052()15 5552QQQR QQ 收益函数2()()()14.750.05 0520.2512.455L QR QC QQQQQQ所以利润函数为calculus7/21/202278QP25.010QP设某产品的需求函数为,为需求量,若固定成本为1万元,多生产一个单位产品成本增加5万元,假定产销平衡,求:（）总成本函数，（）收益函数，（）总利润函数为价格（单位：万元），calculus7/21/202279解解答答(1)()

22、1 5C QQ 总成本函数为(040)Q2(2)()100.25R QP QQQ收益函数为(040)Q2()404R PP QPP或(010)P125.05)()3(2QQQCQRQL）（）（总利润函数为(040)Qcalculus7/21/202280七、库存函数：全年存货成本与批量的七、库存函数：全年存货成本与批量的函数关系函数关系。CPQ、A，求库存函数位产品的存储费为，一年内单，每批定货成本为货数量为批定无缺货的情况下，若每无交割期进货批量，在均匀消耗某产品全年需求量为2QQAQ平均库存量：批次：批量：2QCQAPT全年库存费用全年订货成本calculus7/21/202281件，均匀出库：件，每天出库如：一批产品有18i第 天8765432 1 09842 平均每天库存量各天库存数182 37665544 3 271809QQ若 件产品均匀出库，则从入到出为止这段时间内每天库存件.2calculus7/21/2022823000101假定文华公司每年耗用甲种材料公斤,每次订货成本为元，每公斤存货每年的存储费用为 元，试表示甲材料的库存函数.1103000CPAQ，据已知有公斤，设每次订货的数量为例例5解解:300000300022AQQTPCQQQ则全年的存货成本为calculus7/21/2022831.P17,T62.P22,T3作业作业先看书再做练习