微积分第三版课件第二章第六节47页PPT.ppt
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- 微积分 第三 课件 第二 第六 47 PPT
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1、本节要点本节要点 本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定一、费马引理一、费马引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理理理:一、费马引理一、费马引理 首先首先,让我们来观察这样一个几何事实让我们来观察这样一个几何事实.如图所示如图所示:()0.f 我们看到在曲线弧的最高点我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处或最低点处()(),f af bC的横坐标为的横坐标为 则有则有,(),yf xxa bAB连续曲线弧连续曲线弧 是函数是函数 的图形的图形,如果如果C曲线有水平切线曲线有水平切线
2、.若记点若记点 yxbaOC yf xAB()()().f bf afba 进一步观察进一步观察,当当 时时,又看到在曲线弧又看到在曲线弧 f af bAB上上,至少有一点至少有一点 弧弧 在该点处的切线在该点处的切线 平行于弦平行于弦,CABCT 由此启发我们考虑这样一个由此启发我们考虑这样一个,fC a b()(),f bf aba,ABCTC又切线又切线 的斜率是的斜率是 以以 记记 的横坐的横坐标标,则有则有理论上的问题理论上的问题:设设,fD a b,a b是否存在是否存在 f b f aabxoBA yf xTyC使等式使等式()()()f bf afba成立?下面我们从理论上对这
3、个问题进行讨论成立?下面我们从理论上对这个问题进行讨论.为讨论为讨论方便方便,先引入费马引理先引入费马引理,该引理本身在微分学中也很重该引理本身在微分学中也很重要要.则则:0()0.fx00()()0,f xxf x 00 ,f xf xf xf x或或证证:不妨设不妨设 时时,有有0 xU x引理(费马引理)引理(费马引理)设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域()f x0 x0U x0U x0 xxyO yfx0f x0 x0 xU x内有定义并在内有定义并在 处可导处可导,若对任意的若对任意的 有有 00,xx U x 0f xf x故当故当有有00()()0;f xxf xx 00(
4、)()0;f xxf xx 00000()()()()lim0,xf xxf xfxfxx 当当 时时,0 x 当当 时时,0 x 由函数由函数 在点在点 处的可导性及极限的保号性处的可导性及极限的保号性,得得0 x()f x由此得到由此得到 0()0.fx 注注 通常称导数为零的点为函数的通常称导数为零的点为函数的驻点驻点.00000()()()()lim0,xf xxf xfxfxx 该引理说明该引理说明:可导函数的极值点为驻点可导函数的极值点为驻点.()0.f()0.f二、罗尔定理二、罗尔定理罗尔定理罗尔定理 设函数设函数 且且(),f xC a bf xD a b ,f af b证证
5、因因 故故 必在必在 上取到最大值上取到最大值 与与,fC a b f x,a bM最小值最小值 若若 有有.m,MmfCa b 若若 那么那么 与与 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 不妨设不妨设,MmMm,f a,a b 则存在则存在 使得使得注注1 罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义,(,)fC a bD a b 因因 故故 由此存在由此存在,Mf a ,f af b,Mf b注注2 罗尔定理的简单表达式罗尔定理的简单表达式,a b,fM f使得使得 因因 存在存在,由费马引理由费马引理()0.f得得()()f af b(,)()0.a bf yxo yf xbaAB例例1 对函数
6、对函数 在区间在区间 上验证罗上验证罗 lnsin,f xx 3,44尔定理的正确性尔定理的正确性.证证 在区间在区间 上上,函数函数 为初等函为初等函 3,44 lnsinf xx数因而连续数因而连续,可导可导.又又31ln2,442ff 条件满足条件满足.因因 cos0,sin2xfxfx故定理的结论成立故定理的结论成立.故定理故定理从而对函数从而对函数 及区间及区间 罗尔定理是正确的罗尔定理是正确的.f x 3,44例例2 设实数设实数 满足方程满足方程12,na aa123110,3521nnaaaan 证明方程证明方程12coscos3cos 210naxaxanx在区间在区间 中可
7、解中可解.0,2证证 令令 21sinsin33aaxfxx3sin5sin 21,521naaxnxn则则 且且 0,0,22f xCD 00,f123110,35221nnaanfaa 所以由罗尔定理所以由罗尔定理,在区间在区间 中存在中存在 使得使得0,2,0.f又又:12coscos3fxaxax3cos5cos 21,naxanx故方程在所给区间中可解故方程在所给区间中可解.三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理证证 为引用罗尔定理为引用罗尔定理,构造函数构造函数()()()(),f bf axf xxaba()()()().f bf afba拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函
8、数设函数 那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得(,)a b(),f xC a bf xD a bbaxyo yfx yx()()f bf ayxaba则则 abf a()()()0,f bf afba或或()()()().f bf afba即即()()(),f bf afba且函数且函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,由此存在由此存在 x,ab使得使得注注1 拉格朗日中值定理的几何描述拉格朗日中值定理的几何描述()()()().f bf afba公式公式称为称为微分中值公式微分中值公式.注注2 当当 时时,上式仍然成立上式仍然成立,即即bayxobaAB yf x 3.若若 在区
9、间在区间 中点点可导中点点可导,当当 f x,a b,x xxa b ()()()01,f xxf xfxxx 因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.时时,有有例例3 设函数设函数4,yxx形形,在同一平面上作出过点在同一平面上作出过点 的割线的割线,并作并作 1,5,8,8.5割线的斜率为割线的斜率为:0.5.k 为求切点的为求切点的 坐标坐标,求解方程求解方程:x所以所以,割线方程割线方程:0.54.5.yx2410.5.x即即:20.54.x 相应的切线相应的切线.画出曲线在画出曲线在 中的图中的图 0,100,10得得2.8284.x 由
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