2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节第三课时定点定值探索性问题课时作业.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题 课时作业 A 组 基础对点练 1已知动点 C 到点 F(1,0)的距离比到直线 x 2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)若直线 l： y kx m(km0)， p2 1， p 2， 动点 C 的轨迹 E 的方程为 y2 4x. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? y kx m，y2 4x， 得 k2x2 (2km 4)x m2 0， x1 x2 4 2kmk2 ， x1 x2 m2k2. OA OB 5， x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 km(

2、x1 x2) m2 m2 4kmk2 5， m2 4km 5k2 0， m k 或 m 5k. km0， 直线 l 的方程为 y k(x 5)， 直线 l 必经过定点 (5,0) 2 (2018 昆明市检测 )已知点 A， B 的坐标分别为 ( 2， 0)， ( 2， 0)，直线 AM， BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 12，点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)过点 F(1,0)作直线 l 交曲线 E 于 P， Q 两点，交 y 轴于 R 点，若 RP 1PF ， RQ 2QF ，证明： 1 2为定值 解析： (1)设点 M(x， y)，由已知得 yx 2 y

3、x 2 12(x 2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 化简得曲线 E 的方程： x22 y2 1(x 2) (2)证明：设点 P， Q， R 的坐标分别为 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， R(0， y0) 由 RP 1PF ，得 (x1， y1 y0) 1(1 x1， y1)， 所以 x1 11 1， y1 y01 1， 因为点 P 在曲线 E 上，所以 12( 11 1)2 ( y01 1)2 1， 化简得 21 4 1 2 2y20 0 ， 同理，由 RQ 2QF ，可得 x2 21 2， y2 y01 2， 代入曲线 E 的方程化简得 22 4 2 2 2y20 0 ，

4、 由 可知 1， 2是方程 x2 4x 2 2y20 0 的两个实数根 ( 0)， 所以 1 2 4，即 1 2为定值 3在平面直角坐标系中，已知点 A( 3， 0)， B( 3， 0)，直线 MA， MB 交于点 M，它们的斜率之积为常数 m(m0) ，且 MAB 的面积最大值为 3，设动点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)过曲线 E 外一点 Q 作 E 的两条切线 l1， l2，若它们的斜率之积为 1，那么 QA QB 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由 解析： (1)设 M(x， y)，则由已知得 yx 3yx 3 m，即 y2 m(x2 3)，

5、即 x23y23m 1(x 3) (*) 当 m0 时，方程 (*)表示双曲线，此时 MAB 面积不存在最大值 (不符合 )； 当 m 1 时，方程 (*)表示圆，此时 MAB 的面积最大值为 3(不符合 )； 当 mb0)的焦点为 F1， F2，离心率为12，点 P 为其上一动点，且三角形 PF1F2的面积最大值为 3， O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若点 M， N 为 C 上的两个动点，求常数 m，使 OM ON m 时，点 O 到直线 MN 的距离为定值，求这个 定值 解析： (1)依题意知? c2 a2 b2，bc 3，ca12，解得 ? a 2，b 3， 所以椭圆

6、 C 的方程为 x24y23 1. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1x2 y1y2 m， 当直线 MN 的斜率存在时，设其方程为 y kx n，则点 O 到直线 MN 的距离 d |n|k2 1 n2k2 1， 联立，得? 3x2 4y2 12，y kx n， 消去 y， 得 (4k2 3)x2 8knx 4n2 12 0， 由 0 得 4k2 n2 30，则 x1 x2 8kn4k2 3， x1x2 4n2 124k2 3 ， 所以 x1x2 (kx1 n)(kx2 n) (k2 1)x1x2 kn(x1 x2) n2 m， =【 ;精品教育资源文库 】 = 整理

7、得 7n2k2 1 12m k2k2 1 . 因为 d n2k2 1为常数，则 m 0， d 127 2 217 ， 此时 7n2k2 1 12 满足 0. 当 MN x 轴时，由 m 0 得 kOM 1 ， 联立，得? 3x2 4y2 12，y x， 消去 y，得 x2 127 ，点 O 到直线 MN 的距离 d |x|2 217 亦成立 综上，当 m 0 时，点 O 到直线 MN 的距离为定值，这个定值是 2 217 . B 组 能力提升练 1如图，已知直线 l： y kx 1(k0)关于直线 y x 1 对称的直线为 l1，直线 l， l1与椭圆 E： x24 y2 1 分别交于点 A，

8、 M 和 A， N，记直线 l1的斜率为 k1. (1)求 k k1的值； (2)当 k 变化时，试问直线 MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由 解析： (1)设直线 l 上任意一点 P(x， y)关于直线 y x 1 对称的点为 P0(x0， y0)， 直线 l 与直线 l1的交点为 (0,1)， l： y kx 1， l1： y k1x 1， k y 1x ， k1 y0 1x0， 由 y y02 x x02 1， 得 y y0 x x0 2 ， 由 y y0x x0 1，得 y y0 x0 x ， 由 得? y x0 1，y0 x 1， kk1 yy0

9、 y y0 1xx0=【 ;精品教育资源文库 】 = x x0 x x0 1xx0 1. (2)由? y kx 1，x24 y2 1， 得 (4k2 1)x2 8kx 0， 设 M(xM， yM)， N(xN， yN)， xM 8k4k2 1， yM 1 4k24k2 1. 同理可得 xN 8k14k21 1 8k4 k2， yN 1 4k214k21 1k2 44 k2. kMN yM yNxM xN1 4k24k2 1k2 44 k2 8k4k2 1 8k4 k2 8 8k48k k2 k2 13k ， 直线 MN： y yM kMN(x xM)， 即 y 1 4k24k2 1k2 13k

10、 (x 8k4k2 1)， 即 y k2 13k xk2k2 1 4k24k2 1k2 13k x53. 当 k 变化时，直线 MN 过定点 (0， 53) 2.(2018 合肥市质检 )如图，在平面直角坐标系中，点 F( 1,0)，过直线 l： x 2 右侧的动点 P 作 PA l 于点 A， APF 的平分线交 x 轴于点 B， |PA| 2|BF|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 的直线 q 交曲线 C 于 M， N，试问： x 轴正半轴上是否存在点 E，直线 EM， EN 分别交直线 l 于 R， S 两点，使 RFS 为直角？若存在，求出点 E 的坐标，若不

11、存在，请说明理由 解析： (1)设 P(x， y)，由平面几何知识得 |PF|PA| 22 ， 即 x2 y2|x 2| 22 ， 化简得 x2 2y2 2， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 2y2 2(x 2) (2)假设满足条件的点 E(n,0)(n0)存在，设直线 q 的方程为 x my 1， M(x1， y1)， N(x2， y2)， R( 2， y3)， S( 2， y4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立，得? x2 2y2 2，x my 1， 消去 x， 得 (m2 2)y2 2my 1 0， y1 y2 2mm2 2， y1y2 1m2 2， x1x2 (my1

12、 1)(my2 1) m2y1y2 m(y1 y2) 1 m2m2 22m2m2 2 12 2m2m2 2 ， x1 x2 m(y1 y2) 2 2m2m2 2 24m2 2， 由条件知 y1x1 n y3 2 n， y3 n y1x1 n， 同理 y4 n y2x2 n， kRF y3 2 1 y3， kSF y4. 因为 RFS 为直角，所 以 y3y4 1， 所以 (2 n)2y1y2 x1x2 n(x1 x2) n2， (2 n)2 1m2 2 2 2m2m2 2 4nm2 2 n2， 所以 (n2 2)(m2 1) 0， n 2， 故满足条件的点 E 存在，其坐标为 ( 2， 0)

13、3已知椭圆 C： 9x2 y2 m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ； (2)若 l 过点 (m3， m)，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 解析： (1)证明：设直线 l： y kx b(k0 ， b0) ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM) 将 y kx b 代入 9x2 y2 m2得 (k2 9)x2 2kbx b2 m2 0， 故 xM

14、 x1 x22 kbk2 9， yM kxM b 9bk2 9. 于是直线 OM 的斜率 kOM yMxM 9k， 即 kOM k 9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值 (2)四边形 OAPB 能为平行四边形 因为直线 l 过点 (m3， m)，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0， k3. 由 (1)=【 ;精品教育资源文库 】 = 得 OM 的方程为 y 9kx. 设点 P 的横坐标为 xP， 由? y 9kx，9x2 y2 m2得 x2P k2m29k2 81， 即 xP km3 k2 9. 将点 (m3， m)的坐标代入 l 的方程得 b m k3

15、， 因此 xM km kk2 . 四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP 2xM. 于是 km3 k2 9 2 k k mk2 ， 解得 k1 4 7， k2 4 7.因为 ki0， ki3 ， i 1,2， 所以当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形 4 (2018 长沙市模拟 )已知 P( 3， 12)在椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)上， F 为右焦点， PF 垂直于 x 轴 A， B， C， D 为椭圆上四个动点，且 AC， BD 交于原点 O. (1)求椭圆 C 的方程； (2)判断动直线 l： m n2 x (m n)y 3 12 m 3 12 n(m， n R)与椭圆 C 的位置关系； (3)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)满足 y1y2OA OB 15，判断 kAB kBC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形 ABCD 面积的最大值，否则请说明理由 解析： (1) P( 3， 12)在椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)上， 3a214b2 1. 又 F 为右焦点， PF 垂直于 x 轴， a2 b2 3. 由 ，解得 a 2， b 1， 椭圆 C 的方程