微积分高等数学课件第讲定积分的应用二教学讲义.ppt

1、2022-7-201作作 业业P218 综合题综合题 6.7.13.16.复习复习:P198218预习预习:P2202352022-7-202 第二十讲第二十讲 定积分的应用定积分的应用（二）（二）一、几何应用一、几何应用(续续)二、物理应用二、物理应用2022-7-203xdxx MTxabyo)(xfy （五）旋转体的侧面积（五）旋转体的侧面积用切线用切线MT绕绕x轴轴旋转所得圆台的旋转所得圆台的侧面积近似侧面积近似2022-7-204dldyydldldyyy 2)(圆圆台台侧侧面面积积得得侧侧面面积积微微元元：略略去去！时时当当),(,0dxodldydx dxyyydldS2122

2、badxyyS212 侧侧面面积积2022-7-206故故侧侧面面积积之之和和轴轴旋旋转转的的绕绕所所求求面面积积为为上上、下下半半圆圆,x aadxyydxyySS02220211114142 dxxaaxabxaba2202222)()(4 axadxab0228 abaxaba204arcsin8|2022-7-207遵遵循循万万有有引引力力定定律律两两质质点点之之间间的的引引力力,221rmmkf 二、物理应用二、物理应用（一）引力问题（一）引力问题.,.,2,1FamMl引引力力求求细细杆杆对对质质点点的的与与杆杆的的近近端端的的距距离离为为位位于于细细杆杆所所在在直直线线上上的的质

3、质点点一一质质量量为为另另有有质质量量为为长长为为设设有有一一均均匀匀细细杆杆例例aal 2omMxxdxx 解解2022-7-2082,laa 分分割割区区间间dxlMdxxx2:,质质量量视视为为质质点点取取小小区区间间 dxxlkmMxdxmkdFlM22212)(得得到到细细杆杆对对质质点点的的引引力力求求积积分分到到从从,2laa laadxxlkmMF2212|2)1(2laaxlkmM )2(laakmM 2022-7-209.,.12Fa求求细细杆杆对对质质点点的的引引力力距距杆杆的的中中心心为为的的垂垂直直平平分分线线上上质质点点位位于于细细杆杆细细杆杆、质质点点同同例例例例

4、xyoll adF 向量加法向量加法xdFydFxdxx 解解b b2022-7-2010,yxFFF 设设引引力力.,0,yxFF只只须须求求故故对对称称性性有有质质点点关关于于细细杆杆的的位位置置具具由由于于细细杆杆均均匀匀,ll 分分割割区区间间dxlMdxxx2:,质质量量视视为为质质点点取取小小区区间间 dxaxlkmMaxdxmkFdlM2222212)(cosFddFy dxaxlkmMa2322)(12 2022-7-2011 llydxaxlkmMaF2322)(1222alakmM 22,0alakmMF线线并并指指向向细细杆杆方方向向沿沿细细杆杆的的垂垂直直平平分分引引力

5、力大大小小为为22alakmMF 2022-7-2012abxxdxx dxxfdW)(badxxfW)(所所做做的的功功变变力力移移到到求求物物体体从从问问题题)(:xfbxax （二）变力做功问题（二）变力做功问题功的微元功的微元2022-7-2013,ba分分割割区区间间视为常力做功视为常力做功取小区间取小区间,dyyy 功功的的微微元元dyyFdWy)(babayylydykmMdyyFW22)(lnln2222allabllblkmM 解解.23Wba引引力力所所做做的的功功求求克克服服处处处处移移至至距距杆杆的的中中心心为为中中心心为为由由距距杆杆的的中中的的质质点点沿沿垂垂直直平

6、平分分线线将将例例例例知知由由例例22022-7-20141A3AnAiA2Aixiyxyo)(imiiiymxA轴的静力矩轴的静力矩对对质点质点iiixmyA轴轴的的静静力力矩矩对对质质点点（三）静力矩和质心（三）静力矩和质心1.质点系的质心质点系的质心2022-7-2015 niiixymMx1轴轴的的静静力力矩矩：质质点点系系对对 niimM1质质点点系系总总质质量量：niiiyxmMy1轴轴的的静静力力矩矩：质质点点系系对对),(yx设设质质心心为为：xMMyMMyx ,由由静静力力矩矩定定律律知知MxmMMxniiiy 1MymMMyniiix 12022-7-2016)(质质量量均

7、均匀匀分分布布常常数数设设线线密密度度 dlyyxxo,0L分分割割弧弧长长区区间间任任取取一一小小区区间间),(yx视视为为质质点点：,dlll dldM AB质量微元质量微元2.平面曲线的质心平面曲线的质心2022-7-2017静静力力矩矩微微元元：dlxdMdlydMyx ,于于是是得得,00 LLxydldlyM LdldlMLL 00 LLydlxdlxM00 质质心心坐坐标标LxdlLxdlMMxLLy 00 LydlLydlMMyLLx 00 2022-7-2018xdxx xyo)(xfy ab常常数数设设面面密密度度 2y3.平面薄板的质心平面薄板的质心2022-7-2019

8、静静力力矩矩：,212 baxdxyM bayxydxM baydxM 质质量量：质质心心坐坐标标：,babaydxxydxx babaydxdxyy2212022-7-2020.2323,sin1图图形形的的重重心心坐坐标标所所夹夹区区域域轴轴、直直线线部部分分与与上上的的在在区区间间求求曲曲线线例例 xxxyxysin xyo 23解解2022-7-2021 23)sin(dxxxMy1sin23 xdxM 2323coscos|xdxxx1 232sin21 xdxMx 23)2cos1(41 dxx8)2sin21(41|23 xx2022-7-20221 MMxy8 MMyx重重心心坐坐标标：)8,1(2022-7-2023.)cos1(2图图形形的的重重心心坐坐标标所所围围区区域域求求心心脏脏线线例例 a 022)cos1(212daM 2042cos8 tdta 0422cos4da223a 由由对对称称性性知知0 y解解2022-7-2024 cos)(32 xxy2022-7-2025 033cos)cos1(32daMy da)coscos3cos3(cos3240323 345a aMMxy65 于于是是重重心心极极坐坐标标)65,0(a 重重心心直直角角坐坐标标)0,65(yax