2019年中国科学技术大学自主招生考试数学试题.docx

1、2019年中国科学技术大学自主招生试题 解析填空题（每题5分，共40分）1.平面区域的面积是_2.在之间所有根之和为_3.已知平面直角坐标系上有三点，则面积的最小值为_4.记，则的最大值为_5.设点，绕顺时针旋转得到向量，关于轴对称点记为，则的坐标为_6.若，则_7.，且是纯虚数，则的最小值是_8.已知，且，则_解答题（每题20分，共60分）9.将的各中点连线，折成四面体，已知，求四面体的体积。10.求证：对于任意的在上仅有一个解11.已知(1).求证：存在多项式，满足(2).将在上完全分解1. 通过画图，易知该平面区域的图形是个平行四边形B其中，易求得故区域面积2.首先结合图示说明红色曲线为

2、y=sin 2x,蓝色曲线为y=-cos 3x我们可以证明是关于对称的，是关于对称的，那么我们再给出一个三角学的说明，这表明，原方程的根的分布为.利用“36黄金三角形”的各种相似，我们知道综上，3.利用平均值不等式，我们知道故4. 首先，令，则因此，其轨迹是以为圆心，1为半径的圆故5. 进行实际操作，则注意到重合，因此所有操作以2为周期，故事实上，的重合是必然的，并不依赖于的坐标和的大小，下面我们来证明这一事实。首先，我们刻画到这个变换，记，则综上，知那么满足这也就说明了重合。故坐标为6. 首先将递推公式两侧取倒数，则累加，即裂项求和，则7. 如图所示，我们定义ab表示复数a和b之间的边是纯虚

3、数，表明0(z-1)与0(z+1)垂直，进而说明|z(z-1)|=|0z|=|z(z+1)|=1故，进一步，我们设则等号成立条件为8. 不妨设，由题意，知将第二式与第一式作比，知，故而，知和代入第二式因此，进而故第一式仅有一组解：将其代入第二式，立得利用第三式检验，发现上解符合题意故9. 简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：10. 首先，我们定义代表函数的n阶导数令注意到在R上单调递增，故其在R上仅有一根x=0，从而在R上有最小值，即进而在R上单调递增以此类推，可知：在R上单调递增，仅有一根x=0在R先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x=0综上，不论n取何值，在R上仅有一根x=011. 本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n，存在满足题设的多项式，则记其为首先，当时，存在多项式其次，当时，存在多项式我们假定命题在的情形下成立，下面考察n的情形进而有即因为都是多项式，所以也是多项式。取，命题得证。（2） 首先我们求出在R上的根由于易证利用代数基本定理，从而在R上至多n个根设其任意一个根为，满足从而，当k遍历时，对应的各不相同即是在R上的n个根，亦即所有根我们再考虑的n次项系数，记为由(1)中递推关系，知故我们利用三角函数周期性，可得