2021年清华大学强基计划数学试题(完整版).pdf
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- 2021 清华大学 计划 数学试题 完整版
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1、2021 年清华大学强基计划笔试数学试题回忆版本试卷共 35 题,每一道题均为不定项,下为回忆版.1.甲乙丙丁四人共同参加 4 项体育比赛,每项比赛第一名到第四名的分数依次为 4、3、2、1 分.比赛结束甲获得 14 分第一名,乙获得 13 分第二名,则().A.第三名不超过 9 分B.第三名可能获得其中一场比赛的第一名C.最后一名不超过 6 分D.第四名可能一项比赛拿到 3 分答案:ACD解:(1)所有分数之和为 4 (4+3+2+2)=40,甲乙总分之和为 14+13=27,所以第三名和第四名总分数为 13 分,第四名的分数不超过 6 分,C 正确,第四名至少得4 分,A 正确.(2)所有
2、项目的第一名和第二名分数之和为 4(4+3)=28 分,只比甲乙两人总分数高一分,说明只有一种情况,甲乙包揽所有项目第一名,总共拿到 3 个第二名和1 个第三名.B 错误.(3)D 正确的一种情形:IIIIIIIIII甲4442乙3334丙2221丁11132.定义 x y=x+y1+xy,则(2 3)4)21=().答案:1161151解:令 x=1+1,y=1+1,则 x y=1+1+1+11+1+11+1=1+1.其中 =x+1x 1,=y+1y 1.容易得到,若设 z=1+1,即 =z+1z 1,则(x y)z=1+1,即 运算满足:(1)x y=y x(2)(x y)z=x (y z
3、)进而可得(2 3)4)21=?31?42?2220?1?31?42?2220?+1=21 11 121 11+1=116115补充说明:看到x+y1+xy,联想到 tanhx=e2x 1e2x+1,于是做一个 x=1+1的换元准没错.3.已知 =cos5+isin5,则().A.x4+x3+x2+x+1=(x )(x 3)(x 7)(x 9)B.x4 x3+x2 x+1=(x )(x 3)(x 7)(x 9)C.x4 x3 x2+x+1=(x )(x 3)(x 7)(x 9)D.x4+x3+x2 x 1=(x )(x 3)(x 7)(x 9)答案:B.解:容易得到 1、2、.、9为 x10
4、1=0 的根,则x10 1=(x 1)(x )(x 2)(x 3)(x 9).另外 1、2、4、6、8为 x5 1=0 的根,则x5 1=(x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 8).结合 5=1,两个式子做比可得x5+1=(x )(x 3)(x+1)(x 7)(x 9).即(x )(x 3)(x 7)(x 9)=x5+1x+1=x4 x3+x2 x+1.补充说明:第一次见此题是 2000 年全国高中数学联赛一试第 6 题.4.恰有一个实数 x 使得 x3 ax 1=0 成立,则实数 a 的取值范围为().A.?,32?B.,3322!C.322!D.,322!答案:B.解:易得 x=0
5、,问题等价于方程 a=x21x只有一个实数解.令 f(x)=x21x,f(x)=2x+1x2=2x3+1x2.令 2x30+1=0,即 x0=132,可知x(,x0)x0(x0,0)(0,+)f(x)0+f(x)极小值其图象如图所示.故 a 0,即函数取值非负.令 y=a x 可得 f(a)=2f(x)2,即 f(x)2=14,解得 f(x)=12,选 B.8.已知四面体 D ABC 中,AC=BC=AD=BD=1,则 D ABC 体积的最大值为().A.4227B.328C.2327D.318答案:C.解:如图所示,取 CD 中点 M 连结 AM,BM,设 A BCD 的高为 h,则 h 6
6、 AM.显然 ACDBCD,设 ACD=BCD=.则 AM=BM=BC sin=sin,CD=2CM=2BC cos=2cos.于是VDABC=13SBCD h 616CD BM AM=13cossin2=132p2cos2 sin2 sin26132s?2cos2+sin2+sin23?3=2327等号成立条件,当且仅当平面 ACD 与平面 BCD 垂直,且 =arctan2.9.在 ABC 中,D 为 BC 的中点,CAD=15,则 ABC 的最大值为().A.120B.105C.90D.60答案:B.解:由 CAD=15,在 D、C 确定的情形下,点 A 的轨迹是一段圆弧.如图所示做出
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