复变函数第四章-解析函数的级数表示法-课件.ppt
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- 函数 第四 解析 级数 表示 课件
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1、&1.复数列的极限复数列的极限&2.级数的概念级数的概念第四章第四章 解析函数的级数表示法解析函数的级数表示法4.1 复数项级数复数项级数 1.复数列的极限复数列的极限定义定义4.1,),2,1(nnnniban 其其中中设设复复数数列列:,iba 又设复常数:又设复常数:0,0,nnNnNn 若若当当恒恒有有,那那么么 称称为为复复数数列列当当时时的的极极限限,.,lim 收收敛敛于于此此时时,也也称称复复数数列列时时,或或当当记记作作nnnnn .lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 定理定理4.1.lim,limlimb
2、baannnnnn 证明证明lim0,0,nnnNnN “”已已知知即即,当当恒恒有有lim,lim0,0,22()()lim.nnnnnnnnnnnnnaabbNnNaabbaai bbaabb“”已已知知即即,当当恒恒有有,又又故故课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2(niznn.1)3(2innenz 收敛收敛,极限为极限为-1发散发散收敛,极限为收敛,极限为02.复级数的概念复级数的概念 nnn 211 niinns121 级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和称为级数
3、的和称为级数的和ssnn lim称称为为收收敛敛级级数数 1nn 称称为为发发散散级级数数 1nn-无穷级数无穷级数定义定义4.2),2,1(nibannn 设复数列:设复数列:不收敛不收敛 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和为为级级数数收收敛敛定理定理4.2都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 都都收收敛敛。和和由由定定理理,111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas
4、 证明证明 )1(1 1是否收敛?是否收敛?级数级数 nnin解解;1 11发散发散因为因为 nnnna .1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散.例例1 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要条件必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn:,1 nine级数级数例如例如,0limlim innnne 因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的
5、敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim nn?,0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.,0lim nn A 由定理由定理4.2,复数项级数的收敛问题可归之为,复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。.0lim:nn 收收敛敛的的必必要要条条件件级级数数 1nn 定理定理4.3定理定理4.4.1111 nnnnnnnn 收收敛敛,且且收收敛敛若若定义定义4.3.11111条条件件收收敛敛为为收收敛敛,则则称称发发散散,而而若若为为绝绝对对收收敛敛;收收敛敛,则则称称若若 nnnnnnnnnn A 收收敛敛.收收敛
6、敛若若 11nnnn?)1(:(1 nnni例例如如由定理由定理4.4的证明过程,及不等式的证明过程,及不等式:22有有nnnnbaba 推论推论4.1都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 证明证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 1112nnnnnnab 由由比比较较判判定定法法和和均均绝绝对对收收敛敛,由由定定理理4.4.得得收收敛敛。1111,nnnnnkknkk 解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛,发发散散,nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛,000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()
7、3(111收收敛敛收收敛敛,收收敛敛,nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛?下下列列级级数数是是否否收收敛敛?是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛,条条件件又又 nnn练习:练习:的敛散性。的敛散性。讨论讨论 011nnien 发散发散&1.幂级数的概念幂级数的概念&2.收敛定理收敛定理&3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4.收敛半径的求法收敛半径的求法&5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列:设复变函数列:)1()
8、()()()(211 zfzfzfzfnnn,2,1,)(nDzzfn-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和000000lim()(),(1),(),lim()(1),nnnnzDszs zzs zsz 若若称称级级数数在在 收收敛敛其其和和为为不不存存在在,称称级级数数发发散散若级数若级数(1)在在D内处处收敛,其和为内处处收敛,其和为z的函数的函数)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况,在级数特殊情况,在级数(1)中中得得nnn
9、zzczf)()(0 )2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为幂级数称为幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究究级级数数中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2.收敛定理收敛定理同实变函数一样,复变幂级数也有所谓的收敛定理:同实变函数一样,复变幂级数也有所谓的收敛定理:定理定理4.5(阿贝尔阿贝尔(Able)定理)定理)101(0),.nnnc zzzzzz 若若级级数数在在收收敛敛 则则对对满满足足的的级级数数必必绝绝对对收收敛敛22,.zzzzz 若若级级数数在在发发散散 则则对对满满足足的的级级数数必必发发散散 20112111max,0,1,2,NNn
10、nMcc zc zczc zM n 取取故故证明证明110(1),lim0nnnnnnc zc z 收收敛敛 则则,即即100nnNnNc z ,当当,恒恒有有11,1zzzqz若若则则11,nnnnnnzc zc zMqz,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。0nnnzc(2)用反证法,用反证法,3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径20,nnnzzzc z 设设当当,有有收收敛敛,由由Able定理,幂级数的收敛范围不外乎下述定理,幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况:三种情况:(i)若对所有正实数都收敛,则级数若对所有正实数都收敛
11、,则级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。20(1)nnnc z 由由知知收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾,得得证证!(ii)除除z=0外,对所有的正实数都是发散的,这时,外,对所有的正实数都是发散的,这时,级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。.)3(:)3(:发发散散数数外外,级级在在圆圆周周收收敛敛;内内,级级数数定定理理,在在圆圆周周由由 zczcAble.,0,0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnncciii 显然,显然,否则,级数否则,级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色,发散将收敛部分染成红色,发散部分染成
12、蓝色,部分染成蓝色,逐渐变大,逐渐变大,在在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小,在小,在c c 外部都是蓝色,外部都是蓝色,红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故蓝蓝两两色色的的分分界界线线。为为红红、一一定定,RzcR :播放播放幻灯片幻灯片 37RRcA (i)幂级数在收敛圆内部收敛,在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛,在收敛圆外部发散,在圆周上可能收敛可能发散,具体问题部发散,在圆周上可能收敛可能发散,具体问题要具体分析。要具体分析。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心,半径为为中心,半径为R的圆域;幂级数的圆域;幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范
13、围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆周;圆周的内部成为收敛圆,这个圆的半径收敛圆周;圆周的内部成为收敛圆,这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。例如例如,级数级数:1121nnnnnnzznzn 1,1 zR收敛圆周收敛圆周均为均为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;1,;z 在在点点发发散散 在在圆圆周周上上其其余余点点收收敛敛在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.定理定理2(比值法比值法)000/1lim1Rccnnn,则则若若zzcczczcinnnnnnnn
14、111limlim,0)(证明证明发发散散,时时时时,即即当当绝绝对对收收敛敛;时时即即时时当当 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收敛敛 nnnzc.1:0也也发发散散时时,当当以以下下证证 nnnzcz,1,000收收敛敛,外外有有一一点点设设在在用用反反证证法法 nnnzczz:1,011定理得定理得,由,由满足满足再取一点再取一点Ablezzz .1,10 Rzcznnn故故发散发散时,时,当当即即发发散散,00 nnnzc收收敛敛都都有有时时,对对若若 00)(nnnzczii;0 Rzcnnn故故在复平面上处处收敛,在复平面上处处收敛,.,0)(00
15、也也发发散散发发散散,从从而而有有外外,对对一一切切时时,除除当当 nnnnnnzczczziii.0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收敛敛,矛矛盾盾,满满足足则则收收敛敛使使得得否否则则,如如果果有有一一点点 定理定理3(根值法根值法)000/1limRcnnn,则则若若 定理定理4.7(根值法根值法)000/1limRcnnn,则则若若 定理定理4.6(比值法比值法)000/1lim1Rccnnn,则则若若4.收敛半径的求法收敛半径的求法的的收收敛敛半半径径求求法法,有有关关于于幂幂级级数数)3(0 nnnzc例例求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:
16、(1)13nnnz(2)1!;nnn z解解(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为,1 所以收敛半径所以收敛半径1R (2)1(1)!limlim!nnnncncn,0.R 故例例4.2的收敛范围及和函数。的收敛范围及和函数。求幂级数求幂级数 nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim,0lim1zszznnnn 时,时,当当.,0lim1级级数数发发散散时时,当当 nnzz 综上综上 .1;111,0时时当当发发散散时时当当且且和和函函数数为为收收敛敛zzzznn例例3的敛散性。的敛散性。讨论讨论 0!nnnz解解敛敛
17、。在在复复平平面面上上处处处处绝绝对对收收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1);)0()1(1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。
18、收敛的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2(nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圆圆周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(,0)1(coslimnninnznien发发散散。综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛,该级数收敛,时时,当当11 z时时,当当11 z;)1)(ch)2(1 nnzni222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3(ninininiinin其其中中:nnnnnnnc222)2(ln1li
19、mlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算1200()()nnnnnna zf zRrb zg zRr 设设Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其中:其中:Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0内内解解
20、析析,且且在在设设Rzzgazgfnnn 0)()(-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级数的幂级数的代换运算在函代换运算在函数展成幂级数数展成幂级数中很有用中很有用.例例3.)(10abazcbznnn 这这里里,复复常常数数的的幂幂级级数数,表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代换代换 abzgabazab1)(11111Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122解解 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()
21、(11)(11111232代换代换展开展开还原还原q分析运算分析运算定理定理4.8Rzzfzcnnn )(0设设.)()(内内解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()()(00()()nnnnnnCCCiiif z dzc z dzcz dz -幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 0101)(nnnznzcdf 或或CzR例例4.4 求级数求级数11(21)nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzz
22、nnn 11212)12(11故故,2,12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例4.4 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为.1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z 作业 P100 2(1)(2)P101 9(1)(2),10(1)&1.泰勒展开定理泰勒展开定理&2.展开式的唯一性展开式的唯一性&3.简单初等函数的泰勒
23、展开式简单初等函数的泰勒展开式4.3 解析函数的泰勒解析函数的泰勒(Taylor)展开展开1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题:现在研究与此相反的问题:一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示?)数在解析点能否用幂级数表示?)由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答:以下定理给出了肯定回答:任何任何解析函数解析
24、函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理定理4.9(泰勒展开定理)(泰勒展开定理),2,1,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析:分析:代入代入(1)得得Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有,比比较较)2)(21)(kdzfizf 又又)1)()()(21)()()(21)(
25、!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z)2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到,100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证!得证!nnnzzzf)()()(0010 证明证明(不讲不讲)kdzfizfCauchykzDrzrzk )(21)(:,:00积积分分公公式式由由内内任任一一点点为为设设,100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzz
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