（数学）广西三新学术联盟2021-2022学年高一下学期4月测评试题.doc

1、创新设计图书广西三新学术联盟 2021-2022 学年高一下学期 4 月测评数学试题一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数 (1+ i)(a + i) 为纯虚数，其中 a 为实数，i 为虚数单位，则 a = ( )A1 B -1 C2 D -2【解析】Q(1+ i)(a + i) = a -1+ (a +1)i 为 纯虚数，aa-1= 0+1 0，解得 a =1【答案】A2下列命题中正确的是 ( )A棱锥的高线可能在几何体之外B上下底面平行且都是四边形的几何体是四棱台C圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长D圆柱的侧面

2、展开图不可能是正方形【解析】选项 A，斜棱锥的高线可能在几何体之外，即选项 A 正确；选项 B，四棱台需满足四条侧棱延长后，能交于同一点，故选项 B 错误；选项 C，从圆锥的轴截面可知，圆锥的底面半径不可能比母线长，即选项 C 错误；选项 D，当圆柱底面圆的周长与母线长相等时，圆柱的侧面展开图是正方形，即选项 D 错误【答案】A3在 DABC 中，若 a = 2，b = 4 ，1cosC = ，则 DABC 的周长等于( )4A8 B16 C10 D201【解析】因为 a = 2，b = 4 ， cosC = ，41由余弦定理得： c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = 4 +16

3、 - 2 2 4 = 16 ，所以 c = 4 4所以 DABC 的周长为 a + b + c = 2 + 4 + 4 =10 【答案】C 联系电话：4000-916-716创新设计图书4已知在如图所示的等腰梯形 ABCD 中， AB =1， DC = 3 ， AD = 2 ，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为 ( )A24B22C2 D8 2【解析】依题意，AB =1 ，DC = 3 ，AD = 2 ，所 以 ADC = 45 ，可知等腰梯形 ABCD 的面积为1 2 (1+ 3)1= 2 ，根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的24，所以该梯形的直观图的面

4、积为22【答案】B5已知向量 a = (1, 2) ，b = (1, 0) ， c = (2,3) ，若 l 为实数， (2a + lb) c ，则 l = ( )A8 B -8 C4 D -4【解析】因为 a = (1, 2) ， b = (1, 0) ， c = (2,3) ，所以 2a + lb = (2 + l,4) ，因为 (2a + lb) c ，所以 (2 + l) 2 + 43 = 0 ，解得 l = -8 【答案】B6如图，已知扇环的内弧长为 2p ，外弧长为 4p ，扇环的宽为 3，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为 ( )A 2 2 B3 C 5 D 2【解析】设圆台的上下

5、底面的半径分别为 r ， R ，则 2pr = 2p ，所以 r =1， 2p R = 4p ，所以 R = 2 ，作出圆台的轴截面如图， 联系电话：4000-916-716创新设计图书设圆台的高为 h ，根据题意圆台的母线长为 3，所以 h = 9 -1 = 2 2 ，即该圆台的高为 2 2 【答案】A7已知在 DABC 中， 2B = A + C ，b2 = ac ，则 DABC 的形状是 ( )A直角三角形 B钝角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【解析】因为 2B = A + C ，所以 A + B + C = 3B = p ，所以Bp= ，则 b2 = a2 + c2 - 2ac

6、cosB ，3即 ac = a2 + c2 - ac ，所以 (a - c)2 = 0 ，所以 a = c ，所以 DABC 为等腰三角形，又Bp= ，所以 DABC 为等边三角形3【答案】Dr8已知 a 与b 都是单位向量，且 a b = 0，若向量 c 满足| c - a -b |=1，则| c |的取值范围是( )A 2 -1, 2 + 2 B1, 2 + 2 C1, 2 +1 D 2 -1, 2 +1r r r【解析】 a ，b 是单位向量， a b = 0 ，设 a = (1, 0),b = (0,1),c(x, y)，r r| c - a -b |=| (x -1, y -1) |

7、= (x -1) + (y -1) =1，(x -1)2 + (y -1)2 =1，2 2| c |表示圆上的点到原点的距离，r r故 12 +12 -1 | c | 12 +12 +1， 2 -1 | c | 2 +1【答案】D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 联系电话：4000-916-716创新设计图书符合要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9 A ， B ，C 表示不同的点， n ，l 表示不同的直线，a ， b 表示不同的平面，下列说法错误的是 ( )A若aIb = l ， n / /a

8、， n / /b ，则 n / /lB若 A ， Bl ， A ， Ba ，则l / /aC若 A ， Ba ， A ， B ， C b ，aIb = l ，则C lD若a / /b ， l a ， n b ，则 l / /n【解析】对于 A，因为aIb = l ，n / /a ，n / /b ，所以由线面平行的性质得 n / /l ，故 A 正确；对于 B，因为 A ， Bl ， A ， Ba ，所以l / /a 或l 与a 相交，故 B 不正确；对于 C， A ， Ba ， A ， B ，C b ，aIb = l ，此时点 C 不一定在平面a 内，所以C l 不正确，故 C 不正确；对于

9、D，由a / /b ，l a ， n b ，则l 与 n 可能平行，也可能异面，故 D 不正确【答案】BCD10下列关于平面向量的说法中正确的是 ( )A a = (2,k) ，b = (k,2) ，若 a 与b 平行，则 k = 2B单位向量e1 = (1, 0) ，e = ，则2 (0,1) | 6e -8e |=101 2C若点 G 为 DABC 的重心，则GA + GB + GC = 0rD若 a / /br，b / /c，则 a / /c【解析】A，Qa 与b 平行，2 2 = k2 k = 2 ，A 正确，B，Q6e - 8e = (6,-8) ，| 6e - 8e |= 62 +

10、 82 =10 ，B 正确，1 2 1 2C，QG 是 DABC 的重心，设 D 是 AC 的中点，连接 BD，uuur uuur uuur uuur uuur uuur1则 GB = -2GD = -2 (GC + GA) = -(GC + GA)2， GA + GB + GC = 0 ，C 正确，rD，当b = 0时，满足 a / /br，b / /c，但 a 与 c 可以不共线，故 D 错误【答案】ABC 联系电话：4000-916-716创新设计图书11中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上

11、，余四约之，为实；一1 c + a - b2 2 2为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即 S = c a - ( ) (S 为三角形的2 2 24 2面积，a ，b 、c 为三角形的三边）现有 DABC 满足 sin A: sin B :sinC = 2:3: 7 ，且 DABC的面积 D = 6 3 ，则下列结论正确的是 ( )SABCA DABC 的最短边长为 4 B DABC 的三个内角满足 A + B = 2CC DABC 的外接圆半径为4 213D DABC 的中线CD 的长为3 2【解析】因为 sin A: sin B :sinC = 2:3: 7 ，所以由正弦定理可得 a :

12、b : c = 2 :3: 7 ，设 a = 2t ， b = 3t ， c = 7t ， t 0 ，因为 DABC 的面积 D = 6 3 ，SABC1 7t + 4t - 9t2 2 2所以 6 3 = 7t 4t - ( ) ，2 2 24 2解得 t = 2 ，则 a = 4，b = 6 ， c = 2 7 ，所以 DABC 的最短边长为 4，故 A 正确；因为 cosC a2 + b2 - c2 16 + 36 - 28 1= = = 2ab 246 2，所以Cp= ，3可得p 2pA + B = p - = = 2C ，3 3所以 DABC 的三个内角满足 A + B = 2C ，

13、故 B 正确；因为 Cp 3= ，所以sinC = ，3 2由正弦定理得 2Rc 4 21= = ，解得sinC 32 21R = ，3所以 DABC 的外接圆半径为2 213，故 C 错误；uuur uuur uuur1因为 CD = (CA + CB)2，uuur uuur uuur1 1 1所以| CD |2 = (CA + CB)2 = (36 +16 + 246 ) =194 4 2，故 CD = 19 ，故 D 错误【答案】AB12如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD - A B C D 内灌进一些水，固定容器底面一边1 1 1 1 联系电话：4000-916-716创新设计图书

14、BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是 ( )A没有水的部分始终呈棱柱形B水面 EFGH 所在四边形的面积为定值C棱A D 始终与水面所在平面平行1 1D当容器倾斜如图所示时， BE BF 是定值【解析】对 A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故 A 正确；对 B，因为水面 EFGH 所在四边形的面积，从图中可以发现，有条边长不变，而另外一条长随看倾斜度变化而变化，所以 EFGH 所在四边形的面积是变化的，故 B 错误；对 C，因为棱A D 始终与 BC 是平行的， BC 与平面始终平

15、行，故 C 正确；1 1对 D，因为水的体积是不变的，高始终是 BC 也不变，则底面也不变，即 BE BF 是定值，故 D 正确【答案】ACd三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 m R ，复平面内表示复数 (m2 - 2m -3) + (m2 - 4m)i 的点位于第三象限内，则 m 的取值范围是 【解析】由题意可知，复数对应点的坐标为 (m2 - 2m -3) + (m2 - 4m) 的点位于第三象限内，则满足 2 - 2 - 3 0,m mm - 4m 0,2-1 m 3,得0 m 4,，解得 0 m 3，故 m 的取值范围为 (0,3) 【答案】 (0

16、,3)14已知向量 a 与b 的夹角为2p3，| a |= 4 ，e 为b 方向上的单位向量，则 a 在b 上的投影向量为 【解析】 a 在b 方向上的投影向量为| a | cosa,be = -2e 联系电话：4000-916-716创新设计图书【答案】 -2e15有一道解三角形的问题，缺少一个条件具体如下：“在 DABC 中，已知 a = 3 ，B = 45 ， ，求 A 角的大小”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示 A = 60 ，试将所缺的条件补充完整【解析】根据正弦定理得：a b= ， a = 3 ，sinsin A sin B2B = ， sin23A = ，2所以 b

17、23 2 2= = ，又 C =180 - 45 - 60 = 75 ，326 - 2所以 cos75 = cos(45 + 30) = cos 45cos30 -sin 45sin 30 = ，46 - 2 8 + 4 3 6 + 2所以 c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 3 + 2 - 2 6 = = ( )2 ，4 4 2则 c6 + 2= 2【答案】 c=6 + 2216已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，且满足条件 PA = 3 ，PB = 4，PC = 5 ，AB = 5 ， AC = 34 ， BC = 41，则球 O 的表面积为 【解析】由

18、题意可知， PA = 3 ， PB = 4， AB = 5 ，可得 PA2 + PB2 = AB2 ，p所以 APB = ，即 PA DB ，同理可得， PA PC ， PB PC ，2以点 P 为一个顶点， PA， PB， PC 为三条相邻棱，构造长方体 PADB - CEFG ，由于点 P ， A ， B ， C 都在球 O 的球面上，显然长方体 PADB - CEFG 内接于球 O ，5 2其对角线 PF 长就是球 O 的直径，所以 2R = 32 + 42 + 52 = 50 = 5 2,R = ，250所以球 O 的表面积 S = 4p R2 = 4p = 50p 4【答案】50p

19、联系电话：4000-916-716创新设计图书四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。r17（10 分）已知两个不共线向量 a 与b ，且 OA = 2a - br，OB = a + 2br，OC = ma + nb（1）若OA + OB = OC ，求 m ， n 的值；（2）若 A ， B ，C 三点共线，求 mn 的最大值r解：（1） OA + OB = 3a + br， OC = ma + nb，QOA + OB = OC ，m = 3， n =1，r（2） AB = OB - OA = -a + 3br， AC = (m - 2)a + (

20、n +1)b，由 A ， B ， C 三点共线知，存在不为零的数 l ，使 m - 2 = -l ， n +1= 3l ，n +1= 3(2 - m) ，n = 5 - 3m ，5mn = m(5 - 3m) = -3m(m - ) ，35m = 时， mn 取得最大值6251218（12 分）已知复数 z 和它的共轭复数 z 满足 2z + z = 3+ 2i （）求 z ；（）若 z 是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0(p,q R) 的一个根，求复数zp + (q - 4)i的模解： (I) 设 z = a + bi(a,b R) ，则 z = a - bi ，Q2z +

21、z = 2(a + bi) + (a - bi) = 3a + bi = 3 + 2i ，3a = 3b = 2a，解得b =1= 2， z =1+ 2i (II)Qz 是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0(p,q R) 的一个根， z =1- 2i 也是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0(p,q R) 的一个根，由韦达定理可得，1+ 2i +1- 2i = - p(1+ 2i)(1- 2i) = q，解得 p = -2q = 5，z 1+ 2i (1+ 2i)(-2 -i) -5i = = = = -ip + (q - 4)i -2 + i (-2 + i)(-2

22、 - i) 5，Q| -i |=1，复数zp + (q - 4)i的模为 119（12 分）如图，已知四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M ， N ，Q 分 联系电话：4000-916-716创新设计图书别是 PA， BD， PD的中点（1）求证： MN / / 平面 PCD；（2）求证：平面 MNQ / / 平面 PBC 证明：（1）由题意：四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，点 M ， N ，Q 分别是 PA， BD ， PD 的中点，N 是 AC 的中点，MN / /PC ，又QPC 平面 PCD， MN / 平面 PCD，MN / /

23、 平面 PCD（2）由（1），知 MN / /PC ，QM ，Q 分别是 PA， PD的中点，MQ / /AD / /BC ，又QBC 平面 PBC ， PC 平面 PBC ， BCIPC = C ，MQ 平面 MNQ ， MN 平面 MNQ ， MQIMN = M ，平面 MNQ / / 平面 PBC 20（12 分）如图，半径 R = 3 的球 O 中有一内接圆柱，设圆柱的高为 h ，底面半径为 r （）当 h = 4 时，求圆柱的体积与球的体积；（）当圆柱的轴截面 ABCD 的面积最大时，求 h 与 r 的值h解：（）当 h = 4 时， OO = R2 - r2 = = 2 ，9 -

24、r2 = 4 ， r2 = 5 ，2 联系电话：4000-916-716创新设计图书4球的体积为 p 33 = 36p ，圆柱的体积为pr2 gh = 45p = 20p 3（）QOO = R2 - r2 = 9 - r2 ，AD = h = 2 9 - r2 ，圆柱的轴截面 ABCD 的面积为2 2 2 2 2 r + 9 - r2 22rg2 9 - r = 4 r g(9 - r ) 4 r g 9 - r 4 =18 ，29当且仅当 r2 = 9 - r2 ，即 r2 = ，23 2r = 时取等号，23 2此时 h = 2 9 - r2 = 2 = 3 2 221（12 分）在 DA

25、BC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分制为 a 、 b 、 c ，且 a = 2，a2 + c2 - b2 tan A = 4acos A tan B（1） DABC 的面积 S 满足 S = 2 cos A，求 AB CA的值；（2）若边 BC 上的中线为 AD ，求 AD 长的最小值解：（1）由： a = 2，a2 + c2 - b2 tan A= ，可得：4acos A tan B2ac cos B tan A sin A scos B= =4a cos A tan B cos Asin B，bc = 2a = 4 ，1 pQS = bcsin A = 2sin A = 2 co

26、s A ，故 tan A =1，又 A(0,p) ， A = ，2 4uuur uuurp AB CA = bc cos(p - ) = -2 24， AD2 +1- c2（2）在 DABD 和 DACD 中，分别由余弦定理可得： cosADB = ， 2ADAD +1-b2cosADC = ，2ADAD2 +1- c2 AD +1-b2 = - ，2AD 2AD整理得： 2AD2 + 2 = b2 + c2 ，2AD + 22bc = 8，即 AD 3 ，当且仅当 b = c = 2 时，取等号，2即 AD 长的最小值为： 3 联系电话：4000-916-716创新设计图书22（12 分）如

27、图，已知扇形OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为 10 米，pMON = ，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：3（1）如图 1，拟在观光区内规划一条三角形 ABO 形状的道路，道路的一个顶点 B 在弧 MN上，另一顶点 A 在半径OM 上，且 AB / /ON ，求 DABO 周长的最大值；（2）如图 2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃 ABC 的一个顶点 B在弧 MN 上，另两个顶点 A 、C 在半径OM 、ON 上 ，且 AB / /ON ，AC ON ，求花圃 DABC面积的最大值解：（1）Q AB / /ON ，pMON = ，32pOAB

28、= ，3p又 OB =10 ，设 MOB =q ，q (0, ) ，3在 DAOB 中，由正弦定理可知，OB AB OA 10 20 3= = = =sin sin sin( - ) 3 3OAB q pq3 2，20 AB = sinq ， OA320 p= sin( -q) ，3 3 DAOB 的周长 f20 p p(q) = sinq + sin( -q) +10 ，q (0, ) 3 3 3化简得f20 p(q) = sin(q + ) +10 3 3pq = 时， DAOB 的周长有最大值为620 33+10 米答： DABO 周长的最大值为20 33+10 米；（2）Q图 2 中

29、DABC 与图 1 中 DABO 面积相等，而在 DABO 中，QOB = r =10， AB / /ON ，pMON = ，32pOAB = 3由余弦定理知， OB2 = OA2 + AB2 - 2OA AB cosOAB ，100 = OA + AB + OA AB3OA AB ，2 2 联系电话：4000-916-716创新设计图书100 10 10 3OA AB ，当且仅当 OA = AB = = 时取“ =”3 3 31 1 100 3 25 3SD = OA AB sin120 = 平方米ABC2 2 3 2 3答：花圃 DABC 面积的最大值为25 3310 3平方米，此时 OA = OB = 米3 联系电话：4000-916-716