全国通用2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第2课时学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 简单的三角恒等变换 题型一 三角函数式的化简 1 (2017 湖南长沙一模 )化简： 2sin? ? sin 2cos2 2 . 答案 4sin 解析 2sin? ? sin 2cos2 2 2sin 2sin cos 12?1 cos ? 2sin ?1 cos ?12?1 cos ? 4sin . 2化简：2cos4x 2cos2x 122tan? ? 4 x sin2? ? 4 x . 答案 12cos 2x 解析 原式12?4cos4x 4cos2x 1?2sin? ? 4 xcos? ? 4 xcos 2? ? 4 x ?2cos2x

2、1?24sin? ? 4 x cos? ? 4 x cos22x2sin? ? 2 2x cos22x2cos 2x12cos 2x. 3 (2018 聊城模拟 )已知 cos? ? 4 1010 ， ? ?0， 2 ，则 sin? ?2 3 . 答案 4 3 310 解析 由题意可得， cos2? ? 4 1 cos? ?2 22 110， cos?2 2 sin 2 45，=【 ;精品教育资源文库 】 = 即 sin 2 45. 因为 cos? ? 4 1010 0， ? ?0， 2 ， 所以 0 2 ， cos( ) 1114. cos cos( ) cos( )cos sin( )si

3、n 1114 17 5 314 4 37 4998 12. 命题点 2 给值求角 典例 (1)设 ， 为钝角，且 sin 55 ， cos 3 1010 ，则 的值为 ( ) A.34 B.54 C.74 D.54 或 74 答案 C 解析 ， 为钝角， sin 55 ， cos 3 1010 ， cos 2 55 ， sin 1010 ， cos( ) cos cos sin sin 22 0. 又 ( ， 2) ， ? ?32 ， 2 ， 74 . (2)已知 ， (0 ， ) ，且 tan( ) 12， tan 17，则 2 的值为 答案 34 解析 tan tan( ) =【 ;精品教

4、育资源文库 】 = tan? ? tan 1 tan? ?tan 12171 12 17 130， 0 0， 00， 2sin 3cos ，又 sin2 cos2 1， cos 213， sin 313， sin? ? 4sin 2 cos 2 1 22 ?sin cos ?sin cos ?2 ?cos2 sin2 ?24cos 268 . (2)(2017 昆明模拟 )计算： 3cos 10 1sin 170 . 答案 4 解析 原式 3sin 170 cos 10cos 10sin 170 3sin 10 cos 10cos 10sin 10 2sin?10 30 ?12sin 20 4

5、. (3)定义运算 ? ?a bc d ad bc.若 cos 17， ? ?sin sin cos cos 3 314 ， 0 2 ，则 . 答案 3 解析 由题意有 sin cos cos sin sin( ) 3 314 ，又 0 2 ， 0 2 ， 故 cos( ) 1 sin2? ? 1314， =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 cos 17， sin 4 37 ， 于是 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin( ) 4 37 1314 17 3 314 32 . 又 0 2 ，故 3 . 题型三 三角恒等变换的应用 典例 (2017 浙江 )已知函数 f(

6、x) sin2x cos2x 2 3sin xcos x(x R) (1)求 f? ?23 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 (1)由 sin23 32 ， cos23 12，得 f? ?23 ? ?32 2 ? ? 12 2 2 3 32 ? ? 12 2. (2)由 cos 2x cos2x sin2x 与 sin 2x 2sin xcos x，得 f(x) cos 2x 3sin 2x 2sin? ?2x 6 . 所以 f(x)的最小正周期是 . 由正弦函数的性质，得 2 2k2 x6 32 2k ， k Z， 解得 6 k x 23 k ， k Z. 所以 f(

7、x)的单调递增区间为 ? ? 6 k ， 23 k (k Z) 思维升华 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用 (2)把形如 y asin x bcos x 化为 y a2 b2sin(x )，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性 跟踪训练 (1)函数 f(x) sin(x ) 2sin cos x 的最大值为 (2)函数 f(x) sin? ?2x 4 2 2sin2x 的最小正周期是 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1)1 (2) 解析 (1)因为 f(x) sin(x ) 2sin

8、 cos x sin xcos cos xsin sin(x )， 又 1sin( x )1 ， 所以 f(x)的最大值为 1. (2)f(x) 22 sin 2x 22 cos 2x 2(1 cos 2x) 22 sin 2x 22 cos 2x 2 sin? ?2x 4 2， 所以 T 22 . 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例 (12 分 )(2016 天津 )已知函数 f(x) 4tan xsin ? ? 2 x cos ? ?x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 ? ? 4 ， 4 上的单调性 思想方法指导 (1)讨论形如

9、y asin x bcos x 型函数的性质，一律化成 y a2 b2sin(x )型的函数 (2)研究 y Asin(x )型函数的最值、单调性，可将 x 视为一个整体，换元后结合 y sin x 的图象解决 规范解答 解 (1)f(x)的定义域为?x? x 2 k ， k Z . f(x) 4tan xcos xcos? ?x 3 3 4sin xcos? ?x 3 3 4sin x? ?12cos x 32 sin x 3 2sin xcos x 2 3sin2x 3 sin 2x 3(1 cos 2x) 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = sin 2x 3cos 2x 2sin? ?

10、2x 3 .5 分 所以 f(x)的最小正周期 T 22 .6 分 (2)因为 x ? ? 4 ， 4 ，所以 2x 3 ? ? 56 ， 6 ， 8 分 由 y sin x 的图象可知，当 2x 3 ? ? 56 ， 2 ， 即 x ? ? 4 ， 12 时， f(x)单调递减； 当 2x 3 ? ? 2 ， 6 ，即 x ? ? 12， 4 时， f(x)单调递增 10 分 所以当 x ? ? 4， 4 时， f(x)在区间 ? ? 12， 4 上单调递增，在区间 ? ? 4， 12 上单调递减 12分 1 (2018 厦门质检 )若 sin? ? 3 14，则 cos? ? 3 2 等于

11、 ( ) A 78 B 14 C.14 D.78 答案 A 解析 cos? ? 3 2 cos? ? ? ?23 2 cos? ?23 2 ? ?1 2sin2? ? 3 ? ?1 2 ? ?14 2 78. 2.cos 85 sin 25cos 30cos 25 等于 ( ) A 32 B. 22 C.12 D 1 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 原式sin 5 32 sin 25cos 25 sin?30 25 ? 32 sin 25cos 25 12cos 25cos 25 12. 3 (2017 杭州二次质检 )函数 f(x) 3sinx2cosx2 4cos2x2(

12、x R)的最大值等于 ( ) A 5 B.92 C.52 D 2 答案 B 解析 由题意知 f(x) 32sin x 4 1 cos x2 32sin x 2cos x 2 94 4 2 92， 故选 B. 4设 ? ?0， 2 ， ? ?0， 2 ，且 tan 1 sin cos ，则 ( ) A 3 2 B 2 2 C 3 2 D 2 2 答案 B 解析 由 tan 1 sin cos ，得 sin cos 1 sin cos ， 即 sin cos cos cos sin ， sin( ) cos sin? ? 2 . ? ?0， 2 ， ? ?0， 2 ， ? ? 2 ， 2 ， 2 ? ?0， 2 ， 由 sin( ) sin? ? 2 ，得 2 ， 2 2. 5 4cos 50 tan 40 等于 ( ) A. 2 B. 2 32