2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.3数学归纳法及其应用课件（理科）北师大版.ppt

1、13.3数学归纳法,第十三章推理与证明、算法、复数,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(kN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立,知识梳理,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法

2、证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.(),1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验n等于 A.1 B.2C.3 D.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.,3.已知an满足an1

3、nan1，nN，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.,答案,1,2,3,4,5,6,n1,3,4,5,题组三易错自纠4.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN)，在验证n1时，等式左边的项是 A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.,当nk1时，不等式成立.则上述证法 A.过程全部正确B.n1验证得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.用数

4、学归纳法证明1232n2n122n1(nN)时，假设当nk时命题成立，则当nk1时，左端增加的项数是_.,2k,解析运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN).当nk时，则有1232k2k122k1(kN)，左边表示的为2k项的和.当nk1时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k1项的和，增加了2k12k2k项.,题型分类深度剖析,1.用数学归纳法证明：,题型一用数学归纳法证明等式,自主演练,证明,证明(1)当n1时，,左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk (kN且k1)时等式成立，即有,所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN等式恒成立.,证明,求证

5、：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN).,证明(1)当n2时，左边f(1)1，,(2)假设当nk(k2，kN)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论成立.由(1)(2)可知当n2，nN时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.,用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证当nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添

6、拆项；配方法.,题型二用数学归纳法证明不等式,师生共研,证明,典例 设实数c0，整数p1，nN.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；,证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立.假设当pk(k2，kN)时，不等式(1x)k1kx成立.则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立.综合可得，当x1，且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立.,证明,证明方法一当n1时，由题设知a1 成立.假设当nk(k1，kN)时，不等式ak 成立.,则当nk1时，,p,p,p,p,p,所以当nk1

7、时，不等式an 也成立.综合可得，对一切正整数n，不等式an 均成立.,则xpc，,综上所述，anan1 ，nN.,并且a2f(a1) ，从而a1a2 .故当n1时，不等式anan1 成立.,由此可得，f(x)在 ，)上是增加的，因而，当x 时，f(x)f( ) .当n1时，由a1 0，,p,假设当nk(k1，kN)时，不等式akak1 成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f( )，即有ak1ak2 .所以当nk1时，原不等式也成立.综合可得，对一切正整数n，不等式anan1 均成立.,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不

8、容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.,证明,跟踪训练 (2018衡水调研)若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)(nN)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.,证明当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3).所以直线PQ1的方程为y4x11，,即n1时结论成立.假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即2xkxk13.,代入上式

9、，令y0，,即xk1xk2，所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立.由知对任意的正整数n,2xnxn11时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上是减少的，(a1)1时，存在x0，使(x)0(nN).猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.,解答,解分别令n1,2,3，得,an0，a11，a22，a33，猜想：ann.,a20，a22.,()假设当nk(k2，kN)时，akk，那么当nk1时，,即ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1，即当nk1时也成立.ann(n2)，显然当n1时，也成立，故对于一切nN，均有ann.,命题点3存在性

10、问题的证明,解答,(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；,再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，,下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立.,所以当nk1时结论成立.,解答,(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN成立？证明你的结论.,则an1f(an).,下面用数学归纳法证明加强命题：a2nca2n1f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立.,则an1f

11、(an).先证：0an1(nN).当n1时，结论显然成立.假设当nk(k1，kN)时结论成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上为减函数，从而,即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立.故成立.,再证：a2na2n1(nN).,有a2f(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2，,(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,跟踪训练 (2018台州模拟)已知正项数列an中，对于一切的nN均有 anan1成立.(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；,证明,0an0，,证明,下面用数学归纳法证明：当n2，且nN时猜想正确.当n2时已证；,当nk1时，猜想正确.,典例 (12分)数列an满足Sn2nan(nN).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.,归纳猜想证明问题,答题模板,规范解答,答题模板,思维点拨,思维点拨 (1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，观察