南京信息工程大学-热力学-期末复习题及参考答案(.doc

1、参 考 答 案1.1试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数【解】由理想气体状态方程pV=nRT，可知：1.3在0和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 = 4.85*10-5 K-1和T = 7.8*10-7 pn-1，和T可近似看作常量。今使铜块加热至10，问：（1）压强要增加多少pn才能使铜块体积不变？（2）若压强增加100pn，铜块体积改变多少？【解法一】（1）铜块体积不变时，压强仅是温度的函数，故，又，所以，积分得：（2）因和T很小，而T和p不甚大，故上式右端近于零，从而有下列近似：注：ln(1+dx) dx，ln(1+x)x，x很小时，即体积变化率【注】以上解法

2、中数学、物理概念严格，逻辑清楚，同学们在解题时应借鉴。同时该法具有普遍适用性，不依赖于两个系数是否很小，是否为常量。此外，该解法不依赖于物态方程是否能记住。因此该法需着重掌握！学习微积分的目的就是要学会用微元和变化的思想来解决问题，这一基本思想具有极其重要的意义，这是相对于中学学习在思想方法上质的飞跃。真正掌握这点本科阶段学习可近乎无难题！【解法二】铜块的和T很小，并题设可视作常量，此时铜块满足物态方程： （1），其中T = T-T0，p = p-p0。（1）当改变温度（注：压强随之而变）时，体积不变，即，可知：=0，从而（2）由式（1）易得：，代入数据得体积变化率1.4简单固体和液体的和T都

3、很小，在一定温度范围内（注：范围不太宽）可视作常量。试证明简单固体和液体的物态方程可近似为，其中T = T-T0，p = p-p0。【证】由上题【解法一】（2）知：将上式中V替换为V0(T0,p0)，V替换为V(T,p)-V0(T0,p0)，略作变形即得题中物态方程。1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关闭。试证明：小匣内的空气在没有和外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差U = p0V0，其中V0是原来它在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。【解】设想有如图所示的容器，中部有隔板，左侧抽成真空，右侧与大气相通。抽去隔板后，

4、右方V0体积的气体进入左侧，并当压强达到外界压强p0时将隔板装上。气体在该容器中的行为与题设条件下相同。p0,V,Tp0,V0,T0p0设容器截面积为S，右侧V0体积的气体（系统）在恒外压p0下被推进距离为x，则外界对系统做功量W = p0Sx = p0V0。由题设知上述过程为绝热过程，故有U = p0V0。对于理想气体有：dU=CVdT，同时易于想象题设条件下温度变化不甚大，故CV可视为常量，从而有U=CV(T -T0) = p0V0 =nRT0，故T = T0，据此易证V= V0。1.8满足pVn = C（常量）的过程称为多方过程，其中常数n称多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量

5、Cn为【证】设多方过程中，气体在温度改变T时，从外界吸热Q，由热一定律知：Q=U-W，而该过程中外界做功量可表为 则，请思考：为什么该过程不是等容过程也可表为CV1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定是多方过程，多方指数，假设气体的定压热容和定容热容是常量。【证】 【注：因输入法的原因，式中以代表Q，表示微元过程的热效应，等式右端同样表达的是微商（但不是导数，更不是偏导数），故Q可表为CndT】，从而Q=CndT，据热一定律有：W=dU-Q=(CV-Cn)dT，同时W可表为-pdV，故有记，显然n为常数，则上式可变为，两边作不定积分得：pVn = C（常量）故该过

6、程为多方过程。1.11大气温度随高度降低的主要原因是对流层中不同高度之间的空气不断发生对流，由于气压随高度降低，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩过程可以认为是绝热过程。试计算大气温度随高度的变化率，并给出数值结果。【解】【注：熵S是系统的状态函数，当然也可看作状态参量，压强p和熵S可以独立变化，故物态方程可表为T = T (p, S)。】对T = T (p, S)求全微分，并假定气体经历一准静态绝热过程（熵不变，dS=0）得：将教材提示的两式代入，即得：，式中M为空气摩尔质量。温度、压强（高度）变化不是太大时，视为常数，值为1.4。1.12假设理想气体的Cp和CV之比是

7、温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为。【解】理想气体准静态绝热过程中有：CVdT=-pdV，代入物态方程得：两边作不定积分，并记，则1(p1, V1, T1)2(p2, V2, T1)3(p3, V3, T2)4(p4, V4, T2)pV1.13利用上题结果证明：当为温度的函数时，理想气体准静态卡诺循环的效率仍为。【证】理想气体准静态卡诺循环中，系统从高温和低温热源处的吸热量分别为Q1 = Q12 = -W1 = nRT1lnQ2 = Q3 4 = -W2 = nRT2ln一个循环中的系统做功量W= Q1 + Q2 = nRT1ln+n

8、RT2ln根据上题结论有：V1F(T1)= V4F(T2)和V2F(T1)= V3F(T2)，两式相除得：，故循环效率1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。pV123【证】假定两条绝热线可以相交（如图2-3和1-3）则在p-V图上总可作出一条等温线（如图1-2）和该两条绝热线相交【注：因绝热线斜率的绝对值恒大于等温线】，并使三条曲线围成的面积不等于零。则在图示的可逆循环中，系统仅从单一热源吸热（在1-2的等温过程中），并将其全部转化为有用功（吸热量和做功量等于曲线围成的面积）。显然违背热二定律的开尔文说法。故原假定错误，从而证明两条绝热线不能相交。1.15热机在循环中与多个热源交

9、换热量。在热机从中吸热的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放热的热源中，热源的最低温度为T2。试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过【证】设有m个高温热源Ti（i=1m），系统从中分别吸热Qi，maxTi=T1，n个低温热源Tj（j=1n），系统向其分别放热Qj，minTj=T2。由克氏不等式有：，而，故有：，从而pV1(p1,V1,T1)2(p1,V2,T2)3(p2,V2,T1)1.16理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1升至T2。假设是常数，试证明前者的熵增为后者的倍。【证】所以等压过程和等容过程的熵增之比为。1.17 温度为0的1kg水与温度为100的恒温热源接触后，水温

10、达到100。试求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的总熵变保持不变，应如何使水温从0升高至100？已知水的比热为4.18 J g K-1【解】设想水在等压条件下，依次与无穷多个温度介于0到100的恒温热源（相邻两个温度间相差dT）进行热接触。很明显，该过程每一步骤中水温始终与热源温度相差一无穷小，传热过程无限缓慢，故为可逆过程。水与热源构成的整个系统为孤立系统，故上述过程总熵变为零。记其中任意一个热源的温度为T，当水与之热接触取得该温度后，再同温度为T+dT的热源换热，则在该微元可逆步骤中，水吸热Qr = m c dT。 从而，比热一般用小写而题设过程中100的恒温热源吸热量为水

11、吸热量的负值，即Q = - m c T ，故热源熵变故题设过程的总熵变为184 J K-11.18 10A的电流通过一个25欧的电阻器，历时1s。（a）若电阻器保持为室温27，试求电阻器的熵增。（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27，电阻器的质量为10g，比热为0.84 J g K-1，问电阻器的熵增为何？【解】（a）【注：本题未说明电阻器受到的外压有变化，视为等压；未说明电阻器材料各向异性，视为各向同性，否则本题无法讨论】电阻器在等压条件下，温度不变，说明电阻器状态不变，故熵变为零。（b）设电阻器初温为T1，终温为T2，则I2Rt = mc(T2- T1)，代入数据有102251=1

12、00.84(T2-300)，得T2 = 598 K。现设想电阻器经一等压过程缓慢升温（准静态），则1.19 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度1/2(T1+T2)后的熵增。【解】如图所示，设杆长为l，线密度为，取杆上（x，x+dx）处的质量元dm=dx。设想该质量元经历一可逆等压过程由初温T0变为终温1/2(T1+T2)，过程中任一时刻质量元的温度为T，则该质量元的微熵变x x+dxT1T2T0其中T0由题意知满足：，得熵为广延量，故整个杆的熵变为质量元的微熵变dS的积分，即【注】cl=cm=Cp1.20 一物质固态的摩尔热容为CS，液态的摩尔热容为CL。假设二者可看作常

13、量。在某一压强下，该物质的熔点为T0，摩尔相变潜热为Q0。求在温度为T1（T10，故命题成立。2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：p=f(v)T，试证明其内能与体积无关。【证】【注】小写v表示摩尔体积，而，从而，故原命题成立【注】也可用三个偏导数之积等于-1得到2.3 求证：(a) ；(b) 【证法1】 (a) (b) 【证法2】dH=TdS+Vdp，令dH=0，即得dU=TdS-pdV，令dU=0，即得2.4 已知，求证【证法1】【注】复合函数求导法则。也可不必给出复合函数关系，直接用雅可比行列式证明表明U仅为T的函数，必然有【证法2】U可表为U =U (T, V) = U T (p,

14、V), V，则2.5 试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。【注】本题表述不严谨，易让人误解。本题原意要求证明前一偏导数的正负取决于后一偏导数的正负，而不是前者的大小取决于后者的大小。若是作后一理解本命题无法证明。【证法1】S可表为S =S (p, T) = S p,T (p, V)，则因Cp和T均大于零，故前一偏导数的正负取决于后一偏导数的正负【证法2】【证法3】利用麦氏关系先证明，再利用三个偏导数之积等于-1，将结果表为，该法较繁琐。2.6 证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。【证】要证明该命题实质上即要证明。因，而，从而，故原命题成立2.7 实验发现，一气体的压强p与比体积v的乘积以及内能密度u都只是温度T的函数。试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式。【注】比体积为单位质量的体积，内能密度为单位质量的内能。【解】对于一定质量的气体，题设pv=f(T)和u =u (T)可表为pV=F(T)和U=U(T)由U=U(T)知：。由pV=F(T)知：，代入上式有，作不定积分有lnF=ln(CT)，即F=pV= CT故该气体的物态方程具有pV= CT或pv= C1T的形式（其中C为某一常量，C1为另一常量）。 专业资料