高中数学衔接课强基计划之第20章点的轨迹(学生试卷).pdf
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1、 强基计划之强基计划之第第 20 章章:点的轨迹点的轨迹 一、初中知识回顾一、初中知识回顾 初中阶段的动点问题主要为初中阶段的动点问题主要为“动态几何问题动态几何问题” 所谓所谓“动态几何问题动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面,它们在线段、射线是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点:一是或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点:一是“动态动态”,常以图形或,常以图形或图象中点、线、面的运动图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换包括图形的平移、翻折、旋转
2、、相似等图形变换)为重要的构图背为重要的构图背景;二是景;二是“综合综合”,主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合,主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动,根据题意画一些不同运动时刻解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动,根据题意画一些不同运动时刻的图形,想的图形,想像从头到尾的整个运动过程,对整个运动过程有一个初步的理解,理清运动过程像从头到尾的整个运动过程,对整个运动过程有一个初步的理解,理清运动过程中的各种情形;然后是做到动中取静,画出运动过程中各种情形的瞬间图形,寻找变化
3、的本中的各种情形;然后是做到动中取静,画出运动过程中各种情形的瞬间图形,寻找变化的本质,或将图中的相关线段代数化,转化为函数问题或方程问题解决质,或将图中的相关线段代数化,转化为函数问题或方程问题解决 二、二、高中知识链接高中知识链接 高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题 1.平面解析几何研究的主要问题平面解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件求出平面曲线的根据已知条件求出平面曲线的 方程方程 ; (2)通过通过 方程方程 研究平面曲线的性质研究平面曲线的性质. 2.“曲线的方程曲线的方程”、“方程的曲线方程的曲线”的定义的定义 在平面直角坐标系中,
4、如果某曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的上的点点与一与一个二元方程个二元方程( , )0f x y 的的实数解实数解建立了如建立了如下关系:下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个曲线上的点的坐标都是这个 方程的解方程的解 ; (2)以这个方程的解为坐标的点都是以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点曲线上的点 . 那么,这个方程叫做那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程;这条曲线叫做;这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线. 3.曲线与方程定义的理解曲线与方程定义的理解 设设 P具有某种性质的具有某种性质的点点, Q(x,y)|f(x,y)0, 设点设点 A(x0,y0),则,则 (1)
5、00,APxyQ,即,即PQ; (2)00,xyQAP,即,即QP. 当且仅当当且仅当PQ且且QP,即,即PQ时,才称方程时,才称方程,0f x y 为曲线为曲线 C 的方程;曲线的方程;曲线 C为方程为方程,0f x y 的曲线的曲线. 在领会定义时,要牢记关系在领会定义时,要牢记关系(1)、(2)两两者缺一不可,它们都是者缺一不可,它们都是“曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”的必要条件的必要条件.两者满足了,两者满足了,“曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”才具备充要性才具备充要性.只有符合关系只有符合关系(1)、(2),才能将曲线转化为方程来研究,即几何问题
6、转化为代数问题,才能将曲线转化为方程来研究,即几何问题转化为代数问题.这种这种“以数论形以数论形”的思想是的思想是解析几何的基本思想解析几何的基本思想. 4.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤 五步五步: 建系建系 , 设点设点 , 列式列式 , 化简化简 , 验证验证 . (1)建建立适当的直角坐标立适当的直角坐标系系,用有序实数对表示曲线上任意一点,用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标;的坐标; (2)设设出适出适合条件合条件 P 的的点点 M 的集合;的集合; (3)用坐标表示条件用坐标表示条件 P(M),列列出方程出方程式式( , )0f x y ; (4)化化方程方程(
7、, )0f x y 为最为最简简形式;形式; (5)验证验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(防止方程范围扩大防止方程范围扩大). 在步骤在步骤(4)中若化简过程是中若化简过程是同解变形同解变形过程;或最简方程的解集与原始方程的解集相同,则步过程;或最简方程的解集与原始方程的解集相同,则步骤骤(5)可省略不写可省略不写. 5.由方程画曲线的步骤由方程画曲线的步骤 求截距:求截距: 方程组方程组,00f x yy的解是曲线与的解是曲线与 x 轴交点的坐标;轴交点的坐标; 方程组方程组,00f x yx的解是曲线与的解是曲线与 y 轴交点的坐标;
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