高中数学二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点.docx

1、二次函数在闭区间上的最值问题大盘点一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 ，求 在 上的最大值与最小值。分析：将 配方，得顶点为（ ）、对称轴为 当0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当 时， 的最小值是， 的最大值是 中的较大者。（2）当 时若 ，由 在 上是增函数则的最小值是 ，最大值是 若 ， 由 在上是减函数则的最大值是，最小值是 当 时，可类比得结论二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互

2、位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数 在区间0，3上的最大值是_，最小值是_解：函数是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1所示。函数的最大值为=2 ，最小值为 图1练习. 已知 ，求函数 的最值解：由已知，可得 ，即函数 是定义在区间 上的二次函数，将二次函数配方得 其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为 ，最大值为 图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值解：函数，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有10,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.习题答案：1、B 2、C 3、B 4、0,2 5、D 6、C 7、 8、4 9-10略