高中数学求函数解析式问题—7种求法.docx

1、求函数解析式问题7种求法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例1 设是一次函数，且，求解：设，则， 例2 已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 f（x+1）= a+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b 由f（x+1）= f（x）+2x+8 与、 得 解得 故f（x）= x2+7x.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.二、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数的定义

2、域不是原复合函数的定义域，而是的值域例3 已知 ，求 的解析式解：， ， 例4 已知f（+1）= x+2，求f（x）的解析式.解： f（+1）= +2+11=1， f（+1）= 1 （+11），将+1视为自变量x，则有f（x）= x21 （x1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化例5 已知，求解：令，则， ， ， 例6 已知f（）= ，求f（x）的解析式.解： 设= t ，则 x= （t1），f（t）= = 1+ +（t1）= t2t+1故 f（x）=x2x+1

3、 （x1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例7已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则 ，解得： ，点在上 ， 把代入得：整理得， 例8 已知是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2xx2，求f（x）函数解析式.解：y=f（x）是定义在R上的奇函数， y=f（x）的图象关于原点对称.当x0时，f（x）=2xx2的顶点（1，1），它关于原点对称点（1，1），因此当x0时，y=1= x2 +2x.故 f（x）=评注: 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区

4、间上的解析式，求另一区间上的解析式.对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化. 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例9 设求分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（），若用去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.解 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式 例10 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令 得函数解析式为：七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式例11 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 令式中的x1，2，n1得：将上述各式相加得：， ，