北京专用2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件（文科）.ppt

1、第三节圆的方程,总纲目录,教材研读,1.圆的定义,考点突破,3.圆的标准方程,4.圆的一般方程,考点二与圆有关的最值问题,考点一求圆的方程,5.确定圆的方程的方法和步骤,6.点与圆的位置关系,考点三与圆有关的轨迹问题,1.圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.,教材研读,2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.,3.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中(a,b)为圆心,r为半径.,5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3

2、)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,6.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0)(1)点在圆上:?(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点在圆外:?(x0-a)2+(y0-b)2r2;(3)点在圆内:?(x0-a)2+(y0-b)20).直线y=2与圆相切,圆心到直线的距离等于半径r.r=1.故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.,1-1若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是?()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)

3、2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1,答案A由于圆C的半径为1,圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1)(a0),又由圆与直线4x-3y=0相切可得?=1,解得a=2(舍负),故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.,A,1-2求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析圆过A(5,2),B(3,-2)两点,圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线的方程为y=-?(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有?解得?C(2,1),r=|CA|=?=?,所求圆的方程为(x-2)2

4、+(y-1)2=10.,典例2已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求?的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.,考点二与圆有关的最值问题,解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,?为半径的圆.(1)?的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设?=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时?=?,解得k=?.所以?的最大值为?,最小值为-?.(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时?=?,解得b=-2?.所以y

5、-x的最大值为-2+?,最小值为-2-?.,(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识及题意知,在x轴与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+?)2=7+4?,x2+y2的最小值是(2-?)2=7-4?.,方法技巧,1.与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小值为|AO|-r,最大值为|AO|+r;(2)过圆内一点的弦最长的是圆的直径,最短的是以该点为中点的弦;(3)记圆心到直线的距离为d,若直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r;(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以

6、这两个定点为直径端点的圆.,2.与圆上点(x,y)有关的最值(1)形如?形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用三角代换求解;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,2-1(2015北京西城一模)设P,Q分别为直线x-y=0和圆x2+(y-6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为?()A.2?B.3?C.4?D.4,答案A由圆的方程x2+(y-6)2=2知圆心为(0,6),设圆心到直线x-y=0的距离为d,则d=?=3?.而圆的半径r=?,所以|PQ|的最小值为d-

7、r=3?-?=2?.故选A.,A,2-2已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求?的最大值和最小值.,解析(1)由题意知,圆C的标准方程为(x-2)2+(y-7)2=8,圆心C的坐标为(2,7),半径r=2?.又|QC|=?=4?2?,|MQ|max=4?+2?=6?,|MQ|min=4?-2?=2?.(2)因为?表示直线MQ的斜率,所以设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)?,即kx-y+2k+3=0.由题意知直线MQ与圆C有交点,所以?2?,解得2-?k2+?,所以?的最大值为2+?,最小值为

8、2-?.,典例3已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合);(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,考点三与圆有关的轨迹问题,解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x2).(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+

9、|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,方法技巧求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程;(3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.,3-1已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以OM、ON为边作平行四边形MONP,求动点P的轨迹.,解析四边形MONP为平行四边形,?=?+?.设点P(x,y),点N(x0,y0),则?=?-?=(x,y)-(-3,4)=(x+3,y-4)=(x0,y0),x0=x+3,y0=y-4.又点N在圆x2+y2=4上运动,?+?=4,即(x+3)2+(y-4)2=4.又当OM与ON共线时,N?或N?,O、M、N、P构不成平行四边形,故动点P的轨迹是圆(x+3)2+(y-4)2=4且除去两点?和?.,