高中数学衔接课强基计划之第18章圆（学生试卷）.pdf

1、 强基计划之第强基计划之第 18 章：圆章：圆 一、初中知识回顾一、初中知识回顾 垂径定理：垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的应用很广泛，常见的垂径定理的应用很广泛，常见的有：有： (1)得到推论：平分弦得到推论：平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 切线的性质与证明：切线的性质与证明：

2、切线的判定：切线的判定： (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 (3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质：切线的性质： (1)切线与圆只切线与圆只有一个公共点有一个公共点 (2)切线到圆心的距离等于圆的半径切线到圆心的距离等于圆的半径 (3)切线垂直于经过切点的半径切线垂直于经过切点的半径 证明四点共圆的方法有：证明四点共圆的方法有： (1)到一定点的距离相等的点在同一个圆上到一定点的距离相等的点在同一个

3、圆上 (2)同斜边的直角三角形的各顶点共圆同斜边的直角三角形的各顶点共圆 (3)线段同旁张角相等，则四点共圆线段同旁张角相等，则四点共圆 (4)若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 (5)若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆 (6)四边形四边形 ABCD 对角线相交于点对角线相交于点 P，若，若 PA PCPB PD，则它的四个顶点共圆，则它的四个顶点共圆 (7)四边形四边形 ABCD 的一组对边的一组对边 AB、DC 的延长线交于点的延长线交于点 P，若，若

4、PDPCPBPA，则它的四，则它的四个顶点共圆个顶点共圆 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 推论推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 推论推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形：三角形一边上的中线等于这边的一半

5、，那么这个三角形是直角三角形 二、二、高中知识链接高中知识链接 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系： 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线相切：直线和相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点线，这个点叫做切点 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离两个圆没有

6、公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切圆的外切 两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切圆的内切 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部

7、时，叫做这两个圆的内含 弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积积相等相等 (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积积相等相等 (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条

8、线段长的的比例中项比例中项 (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的两条切线的夹角夹角 三、潜能挖掘三、潜能挖掘 1如图，已知在如图，已知在ABC 中，中，ABAC以以 AB 为直径作半圆为直径作半圆 O，交，交 BC 于点于点 D若若BAC40 ，则则AD的度数是的度数是_度度 2如图，设如图，设 AB 为圆的直径，过点为圆的直径，过点 A 在在 AB 的同侧作弦的同侧作弦 AP、AQ 交交 B 处的切线于处的切线于 R、S，求，求证：证：P、Q、S、R 同点共

9、圆同点共圆 3圆内接四边形圆内接四边形 ABCD，O 为为 AB 上一点，以上一点，以 O 为圆心的半圆与为圆心的半圆与 BC，CD，DA 相切，求相切，求证：证：ADBCAB 4O 的半径为的半径为 1，弦，弦 AB，弦，弦 AC，则，则BAC 度数为度数为 5如图，设如图，设 A 为为O 外一点，外一点，AB，AC 和和O 分别切于分别切于 B，C 两点，两点，APQ 为为O 的一条割的一条割线，过点线，过点 B 作作 BR/AQ 交交O 于点于点 R，连结，连结 CR 交交 AO 于点于点 M，试证：，试证：A，B，C，O，M 五点五点共圆共圆 23A D C O E B 6如图，如图，

10、PA 切切O 于于 A，割线，割线 PBC 交交O 于于 B，C 两点，两点，D 为为 PC 中点，且中点，且 AD 延长线交延长线交O 于点于点 E，又，又EADEBE2，求证：，求证：(1)PAPD；(2)DEADBD22 7如图，如图，PA，PB 是是O 的两条切线，的两条切线，PEC 是一条割线，是一条割线，D 是是 AB 与与 PC 的交点，若的交点，若 PE 长为长为2，CD1，求，求 DE 的长度的长度 8.如图，已知如图，已知O 的切线的切线 PC 与直径与直径 BA 的延长线相交于点的延长线相交于点 P，C 是切点，过是切点，过 A 的切线交的切线交PC 于于 D，如果，如果

11、 CDPD12，DA2，那么，那么O 的半径的半径 OC_. 9.如图，如图，AB 是是O 的直径，的直径，C 是是O 外一点，且外一点，且 ACAB，BC 交交O 于点于点 D已知已知 BC 4，AD6，AC 交交O 于点于点 E，求四边形，求四边形 ABDE 的周长的周长. 10.如图，如图，O1和和O2都经过都经过 A、B 两点，经过点两点，经过点 A 的直线的直线 CD 与与O1交于点交于点 C，与，与O2交于点交于点 D 经过点经过点 B 的直线的直线 EF 与与O1交于点交于点 E，与，与O2交于点交于点 F. 证明：证明：CEDF. 11.设圆设圆1O与圆与圆2O的半径分别为的半

12、径分别为 3 和和 2，124OO ，,A B为两圆的交点，试求两圆的公为两圆的交点，试求两圆的公共弦共弦AB的长度的长度. 12.如图，已知如图，已知AP是是O的切线，的切线，P为切点，为切点，AC是是O的割线，与的割线，与O交于交于BC，两两点，圆心点，圆心O在在PAC的内部，点的内部，点M是是BC的中点的中点. (1)证明证明APOM， ， ，四点共圆；四点共圆； (2)求求OAMAPM的大小的大小. 13.如图，如图，ABC中，中， 6BC ，以，以BC为直径的半圆分别交为直径的半圆分别交 ,AB AC于点于点,E F，若，若2ACAE， 则则EF _. 14.如图，弦如图，弦 AB

13、与与 CD 相交于相交于O内一点内一点 E，过，过 E 作作 BC 的平行线与的平行线与 AD 的延长线相交于的延长线相交于点点 P.已知已知 PD2DA2，则，则 PE_. FECBA 15.如图，在圆如图，在圆 O 中，直径中，直径 AB 与弦与弦 CD 垂直，垂足为垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为，垂足为 F，若，若6AB ，1AE ，则，则DF DB_. 16.如图，已知如图，已知 RtABC 的两条直角边的两条直角边 AC，BC 的长分别为的长分别为 3cm，4cm，以，以 AC 为直径的为直径的圆与圆与 AB 交于点交于点 D，则，则BDDA_. 17.如图所示，如图所示，AB 是是O 的直径，过圆上一点的直径，过圆上一点 E 作切线作切线 EDAF，交，交 AF 的延长线于点的延长线于点 D，交，交AB 的延长线于点的延长线于点 C 若若 CB2，CE4，则，则 AD 的长为的长为_. 18.如图，已知如图，已知 AB 是圆是圆 O 的直径，的直径，AB4，EC 是圆是圆 O 的切线，切点为的切线，切点为 C，BC1，过圆心，过圆心 O作作 BC 的平行线，分别交的平行线，分别交 EC 和和 AC 于点于点 D 和点和点 P，则，则 OD_.