2022年初升高数学衔接讲义专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质（教师版含解析）.docx

1、专题04二次函数yax2bxc的图象和性质专题综述课程要求确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通

2、过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求熟悉了二次函数的定义和解析式，掌握了二次函数的图象画法高中课程要求掌握二次函数在一个闭区间上的最值求法，会求二次函数的解析式，会通过图象分析性质知识精讲高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图

3、象先列表：x3210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象(如图21所示)，从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)高中必备知识点2：二次函

4、数图像的平移变换函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象(如图22所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的

5、左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：(1)当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y(2)当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，

6、y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y典例剖析高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换【典型例题】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，有下列结论：abc0；a+b+c=2；a12；b1，其中正确的结论个数是()A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】由图象可得，a0，b0，c0，abc0，故错误，当x=1时，y=a+b+c=2，故正确，当x=-1时，y=a-b+c0，由a+b+c=2得，a+c=2-b，则a-b+c=(a+c)-b=2-b-b1，故正确，-b2a-1，a0，得ab212，故正确，故选：C【变式训练】下列说法错误的是( )A二

7、次函数y=2x2中，当x=0时，y有最大值是0B二次函数y=4x2中，当x0时，y随x的增大而增大C在三条抛物线y=2x2，y=0.5x2，y=x2中，y=2x2的图象开口最大，y=x2的图象开口最小D不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-20，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；B、二次函数y=4x2中，当x0时，y随x的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|-1|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a0)的顶点一定是坐

8、标原点，故该选正确故选C【能力提升】抛物线y=13x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是()Ay=13x2 By=3x2 Cy=x2 Dy=2x2【答案】A【解析】二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又13|-1|2|-3|，抛物线y=13x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是y=13x2，故选A高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换【典型例题】如图，已知抛物线C1：yx2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2(1)求出抛物线C2的函数表达式；(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右

9、依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)yx24(2)当m3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形【解析】(1)抛物线C1的顶点为(0，4)，沿x轴翻折后顶点的坐标为(04)，抛物线C2的函数表达式为yx24；(2)存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M(m，4)，N(m，4)，M，N关于原点O对称OMON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别(2，0)，(2，0)，A(2m，0)，

10、E(2+m，0)，A，E关于原点O对称，OAOE四边形ANEM为平行四边形，AM222+4220，ME2(2+m+m)2+424m2+8m+20，AE2(2+m+2+m)24m2+16m+16，若AM2+ME2AE2，20+4m2+8m+204m2+16m+16，解得m3，此时AME是直角三角形，且AME90，当m3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形【变式训练】如图，抛物线M1:y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，将抛物线M1平移得到抛物线M2:y=ax2+bx+c，M1与M2相交于点B，直线AB交M2于点C(8，m)，且AB=BC.(1)求点A，B，C的坐标；(2)写出一种将抛物线

11、M1平移到抛物线M2的方法；(3)在y轴上找点P，使得BP+CP的值最小，求点P的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将M1向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到M2；(3)P(0，7011 ).【解析】(1)M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，A(-2，0)，AB=BC，C(8，m)，B3,m2，设AB直线解析式为y=kx+b0=-2k+bm2=3k+b k=m10b=m5 y=m10x+m5，y=x2-4与y=m10x+m5相交于点A和B，x2-m10x+m5-4=0 x1+x2=m10=1 m=10，B(3，5)，C(8，10)；(2)抛物

12、线M1平移得到抛物线M2，a=1，B(3，5)，C(8，10)在抛物线y=x2+bx+c上，5=9+3b+c10=64+8b+c b=-10c=26 y=x2-10+26=(x-5)2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B关于y轴的对称点B，连接CB与y轴的交点即为P，B(-3，5)，设直线BC的直线解析式为y=mx+n，5=-3k+b10=8k+b k=511b=7011 y=511x+7011 P0,7011.【能力提升】已知抛物线yx2+bx+c经过点B(1，0)和点C(2，3)(1)求此抛物线的函数表达式；(2)如果此抛物线上下平移后

13、过点(2，1)，试确定平移的方向和平移的距离【答案】(1)yx2+2x+3；(2)将抛物线向上平移4个单位【解析】(1)把B(1，0)和点C(2，3)代入yx2+bx+c得-1-b+c=0-4+2b+c=3，解得b=2c=3，所以抛物线解析式为yx2+2x+3；(2)把x2代入yx2+2x+3得y44+35，点(2，5)向上平移4个单位得到点(2，1)，所以需将抛物线向上平移4个单位对点精练1点在抛物线上，若，关于a，b的数量关系，下列描述正确的是( )ABCD无法确定【答案】A解：在上，故选A2若a、b是关于x的方程x22tx+t22t+40的两实根，则(a+2)(b+2)的最小值为()A7

14、B10C14D16【答案】D解：方程x22tx+t22t+40有实数根，(2t)241(t22t+4)0，t2.a、b是关于x的方程x22tx+t22t+40的两实根，a+b2t，abt22t+4，(a+2)(b+2)ab+2a+2b+4ab+2(a+b)+4t22t+4+4t+4t2+2t+8(t+1)2+7.10，t2，当t2时，(a+2)(b+2)的值随t的增大而增大，当t2时，(a+2)(b+2)取得最小值，最小值(2+1)2+716.故选：D.3如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线(为正整数)，若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是( )A8B9C11D10【答案

15、】B解：当x=1时，抛物线C1的顶点坐标为(1,1)和的顶点的连线平行于直线，设直线的解析式为+b，将点C1的坐标(1,1)代入，得10+b=1，解得b=-9，直线的解析式为-9，将抛物线Cn的顶点坐标为(n，)代入，得，解得n=1或n=9故选：B4关于抛物线，有以下结论：当时，抛物线过原点；抛物线必过点；顶点的纵坐标最大值为1；若当时，当时，随的增大而减小，则的取值范围是错误结论的序号是( )ABCD【答案】A解：当时，当x=0，y=1, 抛物线不过原点，故不正确；当x=0时，抛物线必过点；故正确；=,顶点的纵坐标，开口朝下，有最大值为1，顶点的纵坐标最大值为1，故正确；当时，即，当时，随的

16、增大而减小，的取值范围是故正确故选择A5对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )A开口向下B对称轴是直线C有最大值为2D当时，随增大而增大【答案】D解：Aa=1，故函数开口向上，故错误；B对称轴是直线x=1，故错误；Cx=1时，y有最小值2，故错误；Dx1时，为对称轴右侧，y随x的增大而增大，故正确；故选D6已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；4a2b+c y2 y3解：y=-(x+1)2+3，图象的开口向下，对称轴是直线x=-1，A(-2，y1)关于直线x=-1的对称点是(0，y1)，012，y1 y2 y3故答案为：y1

17、y2 y314设，是抛物线上的三点，则，的大小关系为_【答案】解：抛物线y=-(x+1)2+k，对称轴为x=-1，A(-2，y1)，A点关于x=-1的对称点A(0，y1)，a=-10，在x=-1的右边y随x的增大而减小，A(0，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，012，y1y2y3，故答案为：15若A(m-2，n)，B(m+2，n)为抛物线上两点，则n=_【答案】2016解：A(m-2，n)，B(m+2，n)是抛物线上两点，抛物线的对称轴为，m-2+m+2=2h，解得m=h，A(h2，n)，B(h2，n)，当xh2时，n(h2h)220202016，故答案为：201616函数的最小值是_

18、【答案】解：如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，作直线ACy轴，作BCx轴交于点C，则点C坐标为，在RtABC中，此公式表示已知平面直角坐标系两点坐标，即可求出这两点的距离， y表示的几何含义为抛物线yx2上的一点P(x，x2)到点A(2，1)和点B(0，2)的距离之和，即yAP+PBAB，如图，当且仅当A、P、B三点共线时，y取得最小值=故答案为：17已知点都在二次函数上，的横坐标分别为，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，当点在线段上时，的值为_【答案】解：过点作，过B作轴于N，轴于M，因为点在线段上，所以， ，化简得：，化为， (舍负)，故答案为：18定义符号的含义为：当时，

19、；当时，如：，=则的最大值是_【答案】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象，如图所示,设它们交于点A、B，令-x2+1=-x，即x2-x-1=0解得:x=或A(,),B(,)，观察图象可知：当x时，min-x2+1，-x=-x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为，当x时，min-x2+1，-x=-x，函数值随x的增大而减小，没有最大值；当x时，min-x2+1，-x=-x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为综上所示，min-x2+1，-x的最大值是，故答案为：19已知当x=m和x=n时，多项式x24x+1的值相等，且mn，则当x=m+n3

20、时多项式x24x+1的值为_【答案】2x=m和x=n时，多项式x24x+1的值相等，y=x24x+1的对称轴为直线x=，解得：m+n=4，x=m+n3=43=1，x24x+1=1241+1=2故答案为220如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，DAM45，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG则下列结论：ECF45；AEG的周长为(1+)a；BE2+DG2EG2；EAF的面积的最大值是a2；当时BEa，G是线段AD的中点其中正确的结论是_【答案】解：如图1中，在BC上截取BHBE，连接EHBEBH，EBH90，EHBE，AFB

21、E，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC(SAS)，EFEC，AEFECB，ECH+CEB90，AEF+CEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH(SAS)，ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH(SAS)，EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故错误，AEG的周长AE+EG+AGAE+AHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误，设BEx，则AEax，AFx，SAEF(ax)xx2+ax(x2ax

22、+a2a2)(xa)2+a2，0，xa时，AEF的面积的最大值为a2故正确，当BEa时，设DGx，则EGx+a，在RtAEG中，则有(x+a)2(ax)2+(a)2，解得x，AGGD，故正确，故答案为：21已知函数y(k2)是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的k的值；(2)当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？(3)当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？【答案】(1)；(2)k1，最高点为(0，0)，当x0时，y随x的增大而增大；(3)k3，最小值为0，当x0时，y随x的增大而减小解：(1)函数y(k

23、2)是关于x的二次函数，k满足，且k20，解得：；(2)抛物线有最高点，图象开口向下，即k20，结合(1)所得，k1，最高点为(0，0)，当x0时，y随x的增大而增大(3)函数有最小值，图象开口向上，即k20，k3，最小值为0，当x0时，y随x的增大而减小22定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：根据以上知识解决问题：(1)若，求x的值；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)将(2)中的抛物线绕着原点旋转，写出得到的新的抛物线解析式【答案】(1)；(2)顶点坐标(，)；(3)解：(1)根据题意，得，移项、合并同类项，得，整理，得，解得：；(2)根据题意知

24、，整理得：所以，顶点坐标(，)；(3)根据题意知，新的抛物线解析式为23(1)先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象；x-3-2-10123_(2)分别写出它们顶点坐标【答案】()见解析；(2)二次函数的顶点坐标为，的顶点坐标为解：(1)列表：x-3-2-10123941014941014916在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象如图：(2)二次函数的顶点坐标为，的顶点坐标为；24已知二次函数yx22x3(1)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标(2)当1x5时，则y的范围是 y (直接写出答案)【答案】(1)二次函数的图象与x轴的交点坐标是(3，0)、(1，0)；(2)4；12(1

25、)二次函数yx22x3(x3)(x+1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是(3，0)、(1，0)；(2)由二次函数yx22x3(x1)24知，该抛物线的顶点坐标是(1，4)且开口方向向上该抛物线的大致图象如下：当x5时，y12当x1时，y4所以当1x5时，则y的范围是4y12故答案是：4；1225如图，有四张背面完全相同的卡片，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上(1)从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率是_；(2)小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则

26、小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜这个游戏公平吗？请说明理由【答案】(1)；(2)不公平，见解析(1)卡片A上的函数为，为减函数，随的增大而减小；卡片B上的函数为，为增函数，随的增大而增大；卡片C上的函数为，为增函数，随的增大而增大；卡片D上的函数为，为减函数，随的增大而减小；所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率为(2)不公平理由如下，根据题意列表得：卡片A卡片B卡片C卡片D卡片AABACAD卡片BABBCBD卡片CACBCCD卡片DADBDCD卡片A，卡片D上的函数为减函数，卡片B，卡片C上的函数为增函数，由表可知总共有12中等可能的结果，抽

27、出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是，不公平26在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；(2)当a=-1，二次函数的自变量x满足mxm+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围【答案】(1)a且a0；(2)m=-3或m=3；(3)或a-2；解：(1)点，代入，；联立与，则有，抛物线与直线有交点，a且a0；(2)根据题意可得，抛物线开口向下，对称轴，时，有最大值，当时，有，或，在左侧

28、，随的增大而增大，时，有最大值，；在对称轴右侧，随最大而减小，时，有最大值；综上所述：m=-3或m=3；(3)时，时，即；时，时，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，的取值范围为或a-2.27已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围；(2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.【答案】(1) 的取值范围是； (2). 理由见解析.(1). 由题意，得，的取值范围是. (2). 理由如下:抛物线的对称轴为直线， 又，当时，随的增大而增大. ，.28已知抛物线经过点、(1)求抛物线的表达式；(2)把表达式化成的形式，并写出顶点坐标与对称轴【答案】(1)；(2)，顶点坐标为：

29、，对称轴为：直线解：(1)由抛物线经过点、两点可得：解得：；抛物线的解析式为：；(2)； ，顶点坐标为：，对称轴为：直线29已知二次函数(1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式；(2)写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x的变化而变化的情况【答案】(1)；(2)开口向下，顶点，对称轴直线，x-1时，随增大而增大；x-1时，随增大而减小解:(1)(2)二次函数开口方向向下，顶点坐标，对称轴直线，x-1时，随增大而增大；x-1时，随增大而减小30已知抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，且过点C(0，3)(1)求抛物线的表达式；(2)若这条抛物线平移后的顶点落在x轴上，请写出一种平移的方法，并写出平移后的抛物线的表达式【答案】(1)yx2+4x3；(2)向下平移1个单位；yx2+4x4解：(1)由题意可设抛物线的解析式为：ya(x1)(x3)，把C(0，3)代入，可得3a3，解得：a1，抛物线的解析式为：y(x1)(x3)x2+4x3；(2)由(1)得yx2+4x3，化为顶点式为y(x2)2+1，将抛物线向下平移1个单位，即得到顶点落在x轴上的抛物线，新的抛物线的解析式为：y(x2)2，即yx2+4x4