广东省广州市增城区2021-2022高二上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 2021 年第一学期期末教学质量监测年第一学期期末教学质量监测 高二数学试题高二数学试题 一、选择题：本题共有一、选择题：本题共有 8 小题小题.每题每题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求选项符合题目要求. 1. 直线32yx=+的倾斜角是（ ） A. 6 B. 3 C. 23 D. 56 2. 已知圆C的方程为222440 xyxy+=，则圆心C的坐标为（ ） A. ()1,2 B. ()1, 2 C. ()2,4 D. ()2, 4 3. 在等差数列 na中，已知3412aa+=，则数列 na的前 6项之

2、和为（ ） A. 12 B. 32 C. 36 D. 37 4. 已知点( 1,2)P 到直线:430lxym+=的距离为 1，则 m的值为（ ） A. 5或15 B. 5或 15 C. 5 或15 D. 5 或 15 5. 已知双曲线22221(0,0)xyabab=的渐近线方程为33yx= ，则该双曲线的离心率等于（ ） A. 2 33 B. 43 C. 2 D. 4 6. 已知ABC周长为14，顶点B、C的坐标分别为()0,3、()0, 3，则点A的轨迹方程为（ ） A. ()2210167xyx+= B. ()2210167yxy+= C. ()2210167xyy+= D. ()22

3、10167yxx+= 7. 在四面体OABC中，OAa= ，OBb= ，OCc=，且2OPPA= ，BQQC= ，则PQ 等于（ ） A. 211322abc+ B. 211322abc+ C. 211322abc+ D. 211322abc+ 8. 已知数列 na是以 1为首项，2为公差的等差数列， nb是以 1 为首项，2为公比的等比数列，设nnbca=，()12NnnTcccn=+，则当2022nT 个点，相应的图案中点的个数记为na，按此规律，则6a =_，100a=_. 15. 已知直线2pyx=+与抛物线2:2(0)C xpy p=相交于 A，B两点，且| 8AB =，则抛物线 C

4、的准线是的. 方程为_. 16. 在平面上给定相异两点 A，B，点 P满足|PAPB=，则当0且1时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率32e =，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点 P满足|3|PAPB=，若PAB的面积的最大值为 3，则PCD面积的最小值为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知圆M的圆心为()2,1，且经过点()6, 2N. （1）求圆M的标准方程； （2）已知直线:3

5、450lxy+=与圆M相交于A、B两点，求AB. 18. 在123,2aa成等差数列；123,4,a aa成等比数列；37S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解. 问题：已知nS为数列 na的前n项和，()12,0nnnSaa nNa=，且_. （1）求数列 na的通项公式； （2）记2lognnba=，求数列 nb的前n项和nT. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 如图，正三棱柱111ABCABC中，D是BC的中点，12ABBB=. （1）求点 C到平面1AC D的距离； （2）试判断1AB与平面1AC D的位置关系，并证明你的结论. 的 20. 已

6、知()(1,1), (2,3),nABC n a三点共线，其中na是数列 na中的第 n 项. （1）求数列 na的通项； （2）设2nnnba=，求数列 nb的前 n项和nT. 21. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，平面PCD 平面ABCD，ADCD，PDAC. （1）证明：PD 平面ABCD； （2）已知1AB =，2CD =，2AD =，且直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33，求平面BDP与平面BCP夹角的余弦值. 22. 动点( , )M x y与定点( 3,0)F的距离和它到定直线3:3l x =的距离的比是3，记动点 M 的轨迹为曲线 C. （1）求曲线

7、C 的方程； （2）已知过点( 1,1)P 的直线与曲线 C 相交于两点A，B，请问点 P 能否为线段AB的中点，并说明理由. 2021 年第一学期期末教学质量监测年第一学期期末教学质量监测 高二数学试题高二数学试题 一、选择题：本题共有一、选择题：本题共有 8 小题小题.每题每题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求选项符合题目要求. 1. 直线32yx=+的倾斜角是（ ） A. 6 B. 3 C. 23 D. 56 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角. 【详解

8、】设直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知：tan3k=，则3=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题. 2. 已知圆C的方程为222440 xyxy+=，则圆心C的坐标为（ ） A. ()1,2 B. ()1, 2 C. ()2,4 D. ()2, 4 【2 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标. 【详解】圆C的标准方程为()()22129xy+=，圆心C的坐标为()1,2. 故选：A. 3. 在等差数列 na中，已知3412aa+=，则数列 na的前 6项之和为（ ） A. 12 B. 32 C. 36

9、D. 37 【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】直接按照等差数列项数性质求解即可. 的 【详解】数列 na的前 6 项之和为()12345634336aaaaaaaa+=+=. 故选：C. 4. 已知点( 1,2)P 到直线:430lxym+=的距离为 1，则 m的值为（ ） A. 5或15 B. 5或 15 C. 5 或15 D. 5 或 15 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式即可得出. 【详解】解：点( 1,2)P 到直线:430lxym+=的距离为 1， 22| 1 43 2|1,4( 3)m +=+ 解得：m=15或 5 故选：D. 5. 已

10、知双曲线22221(0,0)xyabab=的渐近线方程为33yx= ，则该双曲线的离心率等于（ ） A. 2 33 B. 43 C. 2 D. 4 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的渐近线方程， 可得33ba=， 再由, , ,a b c的关系和离心率公式， 计算即可得到所求值 【详解】解：双曲线22221(0,0)xyabab=的渐近线方程为33yx= ， 由题意可得3,3ba=即33ba=，可得222 3,3caba=+= 由,cea=可得2 3.3e =， 故选：A. 6. 已知ABC的周长为14，顶点B、C的坐标分别为()0,3、()0, 3，则点A的轨迹方程为

11、（ ） A. ()2210167xyx+= B. ()2210167yxy+= C. ()2210167xyy+= D. ()2210167yxx+= 【6 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】 分析可知点A的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出a、b的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点A的轨迹方程. 【详解】由已知可得6BC =，148ABACBCBC+=，且A、B、C三点不共线， 故点A的轨迹是以B、C为焦点，且除去长轴端点的椭圆， 由已知可得28a =，得4a =，3c =，则227bac=， 因此，点A的轨迹方程为()2210167yxx+=. 故选：D. 7. 在四面体OABC中，OAa

12、= ，OBb= ，OCc=，且2OPPA= ，BQQC= ，则PQ 等于（ ） A. 211322abc+ B. 211322abc+ C. 211322abc+ D. 211322abc+ 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】解：由题知， ()11321132211322211322PQPAABBQOAOBOABCOAOBOAOCOBOAOBOCabc=+=+=+= += + 故选：B. 8. 已知数列 na是以 1为首项，2为公差的等差数列， nb是以 1 为首项，2为公比的等比数列，设nnbca=，()12NnnTcccn=+，则当20

13、22nT 时，n 的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先求出数列 na和 nb的通项公式，然后利用分组求和求出nT，再对n进行赋值即可求解. 【详解】解：因为数列 na是以 1为首项，2 为公差的等差数列 所以()11221nann= += 因为 nb是以 1 为首项，2为公比的等比数列 所以12nnb= 由nnbca=得：2121nnncb= = ()()()21231122222 1 21 222NnnnnnTccnncnn+=+=+= 当2022nT 时，即1222022nn+ 120242nn+ 当9n = =时，

14、1023203 所以 n 的最大值是9. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出nT，再通过赋值法即可求出使不等式成立的n的最大值. 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对目要求，全部选对 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有错项不得分分，有错项不得分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设, a b 是两个空间向量，则, a b 一定共面 B. 设, ,a b c 是三个空间向量，则, ,a b c 一定不共面 C. 设

15、, a b 是两个空间向量，则a bb a= D. 设, ,a b c 是三个空间向量，则()()a b ca b c= 【9 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断 A、B、C、D的结论即可 【详解】对于 A：因为, a b 是两个空间向量，则, a b 一定共面，故 A 正确； 对于 B：因为, ,a b c 是三个空间向量，则, ,a b c 可能共面也可能不共面，故 B 错误； 对于 C：因为, a b 是两个空间向量，则a bb a= ，故 C正确； 对于 D：因为, ,a b c 是三个空间向量，则()a b c 与向

16、量a共线，()a b c 与向量c共线，则 D错误 故选：AC 10. 已知点 P在圆22:(3)(3)4Cxy+=上，点(2,0)A，(0,2)B，则（ ） A. 直线AB与圆 C 相交 B. 直线AB与圆 C 相离 C. 点 P到直线AB距离小于 5 D. 点 P到直线AB距离大于 1 【10 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系，进而判断选项 A 和 B，再由圆上一点到直线距离的最大最小值即可判断选项 C 和 D. 【详解】解：圆22:(3)(3)4Cxy+= 所以圆心为()3,3C，半径为2r = 因为(2,0)A，(0,2)B 所

17、以直线AB的方程为：20 xy+= 对 A，圆心()3,3C到直线AB的距离为3322 222d+ =，所以直线AB与圆 C相离，故 A错误； 对 B，由选项 A的分析知，直线AB与圆 C 相离，故 B正确； 对 C，由选项 A的分析知，圆心()3,3C到直线AB的距离为2 2d =，所以圆上一点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为2 22+和2 22，因为2 225+，所以点 P 到直线AB距离小于 5，故C正确； 对 D，由选项 C 的分析知，圆上一点P到直线AB的距离的最小值为2 221个点，相应的图案中点的个数记为na，按此规律，则6a =_，100a=_. 【14 题答案】 【答

18、案】 . 15 . 297 【解析】 【分析】利用题中所给规律求出na即可. 【详解】解：由图可知，23a =，36a =，49a =，512a =， 因为na符合等差数列的定义且公差为3 所以()31nan=，()1,Nnn 所以63 515a = =，1003 99297a= = 故答案为：15，297. 15. 已知直线2pyx=+与抛物线2:2(0)C xpy p=相交于 A，B两点，且| 8AB =，则抛物线 C的准线方程为_. 【15 题答案】 【答案】1y = 【解析】 【分析】将直线与抛物线联立结合抛物线的定义即可求解. 【详解】解：直线2pyx=+与抛物线2:2(0)C xp

19、y p=相交于 A，B两点 设()11,A x y，()22,B xy 直线2pyx=+与抛物线2:2(0)C xpy p=联立得： 2220 xpxp= 所以122xxp+= 所以1223yyppp+=+= 12|8AByyp=+= 即48p = 解得：2p = 所以抛物线 C 的准线方程为：212y= = . 故答案为：1y = . 16. 在平面上给定相异两点 A，B，点 P满足|PAPB=，则当0且1时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率32e =，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点 P满足|3|PAPB=

20、，若PAB的面积的最大值为 3，则PCD面积的最小值为_. 【16 题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】先根据|3|PAPB=求出圆的方程，再由PAB的面积的最大值结合离心率求出a和b的值，进而求出PCD面积的最小值. 【详解】解：由题意，设(),0Aa，(),0B a，(),P x y 因为|3|PAPB= 即()()22223xayxay+=+ 两边平方整理得： 2225344xaya+= 所以圆心为5,04a，半径34ra= 因为PAB的面积的最大值为 3 所以132324aa=，解得：2a = 因为椭圆22221(0)xyabab+=的离心率32e = 即32ca=，所以3c =

21、由222abc=+得：1b = 所以PCD面积的最小值为：15353222124444Sbaa= = 故答案为：1. 【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积PCD的最值. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知圆M的圆心为()2,1，且经过点()6, 2N. （1）求圆M的标准方程； （2）已知直线:3450lxy+=与圆M相交于A、B两点，求AB. 【1718 题答案】 【答案】 （1）()()

22、222125xy+=； （2）8AB =. 【解析】 【分析】 （1）求出圆M的半径长，结合圆心坐标可得出圆M的标准方程； （2）求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理可求得AB. 【小问 1 详解】 解：圆M的半径为()()2226125MN =+=， 因此，圆M的标准方程为()()222125xy+=. 【小问 2 详解】 解：圆心M到直线l的距离为223 24 1 5334d + +=+， 因此，222 58ABd=. 18. 在123,2aa成等差数列；123,4,a aa成等比数列；37S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解. 问题：已知nS为数列 na的前n项和，

23、()12,0nnnSaa nNa=，且_. （1）求数列 na的通项公式； （2）记2lognnba=，求数列 nb的前n项和nT. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【1819 题答案】 【答案】 （1）12nna （2）22nnnT= 【解析】 【分析】 （1）由12nnSaa=可知数列 na是公比为2的等比数列，若选：结合等差数列等差中项的性 质计算求解；若选：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选：利用37S =直接计算； （2）根据对数的运算，可知数列 nb为等差数列，直接求和即可. 小问 1 详解】 由12nnSaa=，当2n 时，1112nnSaa=，即122n

24、nnaaa=，即12nnaa=，所以数列 na是公比为2的等比数列， 若选：由12322aa+=，即133a =，11a =，所以数列 na的通项公式为12nna； 若选：由()2221324aaaa=，所以22a =，所以数列 na的通项公式为212 22nnna=； 若选：由3111247Saaa=+=，即11a =，所以数列 na的通项公式为12nna； 【小问 2 详解】 由（1）得122loglog 21nnnban=，所以数列 nb等差数列，所以()20122nnnnnT+=. 19. 如图，正三棱柱111ABCABC中，D是BC的中点，12ABBB=. （1）求点 C到平面1AC

25、 D的距离； （2）试判断1AB与平面1AC D的位置关系，并证明你的结论. 【1920 题答案】 【答案】 （1）2 55 （2）平行，证明过程见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用等体积法即可求解； （2）利用线面平行的判定即可求解. 【小问 1 详解】 【为 解：正三棱柱111ABCABC中，D是BC的中点，12ABBB= 所以12CC =，1CD =，413AD = 正三棱柱111ABCABC中，1CCBC 所以22114 15C DCCCD=+=+ = 又因为正三棱柱111ABCABC中，侧面11CBBC 平面ABC且交线为BC 且平面ABC中，ADBC 所以AD 平面11CBBC

26、 又1C D 平面11CBBC 所以1ADC D 设点 C到平面1AC D的距离为h 在三棱锥1CAC D中， 11C AC DCACDVV= 即111133AC DACDShSCC= 11113354 232324h= 2 55h = 所以点 C 到平面1AC D的距离为2 55. 【小问 2 详解】 1AB与平面1AC D的位置，证明如下： 连接1CA交1AC于点E，连接DE，如下图所示， 因为正三棱柱的侧面为矩形 所以E为1AC的中点 又因为D为CB中点 所以DE为1ABC的中位线 所以1/ /ABDE 又因为DE 平面1AC D，且1AB 平面1AC D 所以1/ /AB平面1AC D

27、 20. 已知()(1,1), (2,3),nABC n a三点共线，其中na是数列 na中的第 n 项. （1）求数列 na的通项； （2）设2nnnba=，求数列 nb的前 n项和nT. 【2021 题答案】 【答案】 （1）21nan= （2）162(23)nnnT+=+ 【解析】 【分析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案； (2)由题可得()221 2nnnnban=，利用错位相减法即可求出答案. 【小问 1 详解】 ()(1,1), (2,3),nABC n a三点共线，13 112 1nan= 21nan= 【小问 2 详解】 (21) 2nnnb = 1231 23 2

28、5 2nT = + + +(21) 2nn+ 23421 23 25 2nT = + + +1(23) 2(21) 2nnnn+ 得()()23122 222212nnnTn+=+ 21822(21) 21 2nnn+=+ 2282n+= +1(21) 2nn+ 162(221)nn+= + 162(32 )nn+= + 162(23)nnnT+=+ 21. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，平面PCD 平面ABCD，ADCD，PDAC. （1）证明：PD 平面ABCD； （2）已知1AB =，2CD =，2AD =，且直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33，求平面BDP与

29、平面BCP夹角的余弦值. 【2122 题答案】 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）1717. 【解析】 【分析】 （1）利用平面与平面垂直的性质得出直线与平面垂直，进而得出PD 平面ABCD； （2）建立空间直角坐标系即可求解. 【小问 1 详解】 证明：因为平面PCD 平面ABCD，交线为CD 且平面ABCD中，ADCD 所以AD 平面PCD 又PD 平面PCD 所以ADPD 又PDAC，且ADACA= 所以PD 平面ABCD 【小问 2 详解】 解：由（1）知，PD 平面ABCD且ADCD 所以DA、DC、DP两两垂直 因此以D原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为1AB =，2C

30、D =，2AD =，设PDa= 所以()0,0,0D，()2,0,0A，()2,1,0B，()0,2,0C，()0,0,Pa 由（1）知，AD 平面PCD 所以AD为平面PCD的法向量且()2,0,0AD = ()2,1,PBa= 因为直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33 所以232322 1a=+ + 解得：3a = 所以()0,0, 3P，又()2,1,0B，()0,2,0C， ()0,0,0D 所以()2,1,0DB = ，()0,0, 3DP = ，()2,1,3PB = ，()0,2,3PC = 设平面BDP与平面BCP的法向量分别为：()1111,xny z=，()2222,n

31、xyz= 所以111112030n DBxyn DPz=+= ，2222222230230nPBxyznPCyz=+= 令11x = ，则()11,2,0n = 令23z =，则232y =，23 24x =，即23 2 3, 342n= 设平面BDP与平面BCP夹角为 则12123 23 21742cos179912384n nnn+=+ 所以平面BDP与平面BCP夹角的余弦值为1717. 22. 动点( , )M x y与定点( 3,0)F的距离和它到定直线3:3l x =的距离的比是3，记动点 M 的轨迹为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）已知过点( 1,1)P 的直线与曲线

32、 C 相交于两点A，B，请问点 P 能否为线段AB的中点，并说明理由. 【2223 题答案】 【答案】 （1）2212yx = （2）不能，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用题中距离之比列出关于动点( , )M x y的方程即可求解； （2）先假设点 P能为线段AB的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可. 【小问 1 详解】 解：动点( , )M x y与定点( 3,0)F的距离和它到定直线3:3l x =的距离的比是3 则()223333xyx+= 等式两边平方可得： 2222 3331 2 3xyxxx+=+ 化简得曲线 C 的方程为： 2212yx

33、= 【小问 2 详解】 解：点P不能为线段AB的中点，理由如下： 由（1）知，曲线 C 的方程为：2212yx = 过点( 1,1)P 的直线斜率为k，()11,A x y，()22,B xy 因为过点( 1,1)P 的直线与曲线 C相交于两点A，B 所以221122221212yxyx=，两式作差并化简得：121202yyxxk+= 当( 1,1)P 为AB的中点时，则122xx+= ，122yy+= 将代入可得：2k = 此时过点P的直线方程为：210 xy+ = 将直线方程与曲线 C方程联立得： 22430 xx+=， 164 2 380 = = ，无解 与过点( 1,1)P 的直线与曲线 C 相交于两点矛盾 所以点P不能为线段AB的中点 【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.