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类型广东省云浮市2020-2021高二下学期数学期末试卷及答案.pdf

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    1、 2020-2021 学年广东省云浮市高二(下)期末数学试卷学年广东省云浮市高二(下)期末数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 40 分)分). 1复数在复平面内对应的点的坐标为( ) A(,) B(,) C(,) D(,) 2已知随机变量 XB(n,p),若 D(X)3,E(X)4,则 n,p 分别为( ) An8,p Bn8,p Cn16,p Dn16,p 3函数 f(x)xlnx 的图象在 xe 处的切线方程为( ) A2xye0 Bx2y+e0 C2x+y3e0 Dx+2y3e0 4若 XN(5,),且 P(5X6)0.3,则 P(X4)(

    2、 ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 5三个班分别从六个风景点中选择一处游览,不同选法的种数是( ) A729 B18 C216 D81 6(2+)(1x)10展开式中的常数项为( ) A12 B8 C8 D12 7一边长为 18 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒当方盒的容积最大时,x( ) A2 B3 C4 D6 8设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在(0,1)内增大时,( ) AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小

    3、题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9下列求导正确的是( ) A若 f(x),则 f(x)lnx B若 f(x)3ex,则 f(x)3ex C若 f(x)x2+log2x,则 f(x)2x D若 f(x)sinx+cos,则 f(x)cosxsin 10已知(x)n展开式中各项的二项式系数和是 64,则( ) An6 B展开式中所有项的系数和为1 C展开式中常数项为160 D展开式中含 x2项为60

    4、x2 11已知双曲线 W:1( ) Am(2,1) B若 W 的顶点坐标为(0,),则 m3 CW 的焦点坐标为(1,0) D若 m0,则 W 的渐近线方程为 xy0 12已知函数,则( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)在上的最大值为 1 Cf(x)在0,上为减函数 Df(x)在(0,)上有且仅有 1 个零点 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的橫线上分把答案填在答题卡中的橫线上 13计算(43i)(54i) 14直线 l:xy10 被圆 C:x2+y22x4y0 截得的弦 AB 的长为 15 从 1, 3,5,7

    5、,9 中任取三个数, 从 2,4,6,8, 中任取两个数,一共可组成 个没有重复数字的五位数 16某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3正常工作, 则部件正常工作 元件 1, 元件 2, 元件 3 正常工作的概率分别为,则这个部件能正常工作的概率为 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 f(x)2x3+3x212x (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在0,3上的最值 18已知抛物线 C:x22py(p0)的焦点

    6、到准线的距离为 1 (1)求 p 的值及抛物线 C 的焦点 F 的坐标; (2)求抛物线 C 在 x1 处的切线方程 19从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高 x 和体重 y 数据如表所示 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 164 166 160 170 175 164 156 173 体重/kg 49 57 52 53 65 61 44 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为 174cm 的女大学生的体重(结果精确到 0.01,且每一步用上一步的近似值进行计算) 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线 x

    7、+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 , 20 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出, 永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词,某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动,界定日行步数不足 4 千步的人为 “不健康生活方式者” , 不少于 10 千步的人为 “超健康生活方式者” ,其他为“一般生活方式者”该学校工会随机抽取了本校 50 名教职工,统计他们的日行步数,已知步数均没超过 14 千步,按步数分为0,2),2,4),4,6),6,8),8,10),10,12),12,14(单位:千步)七组,得

    8、到如图所示的频率分布直方图 (1)求这 50 名教职工日行步数的样本平均数(同一组数据用该组数据区间的中点值代替); (2)学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3 人进行日常生活方式交流座谈会,记抽取的 3 人中“超健康生活方式者”人数为 X,求X 的分布列和数学期望; (3)用样本估计总体,将频率视为概率若工会打算对该校全体 1000 名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励,其中步数在10,12)内的教职工奖励一件 T 恤,价值 50元;步数在12,14内的教职工奖励一件 T 恤和一条运动裤,价值 100 元试判断 10000元的预算是否足够 21已知椭

    9、圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且椭圆 C 过点(2,0),离心率 e,O 为坐标原点,过 F2且不平行于坐标轴的动直线 l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M (1)求 C 的标准方程; (2)记直线 OM 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明:k1k2为定值 (3)y 轴上是否存在点 P,使得ABP 为等边三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 22已知函数 f(x)2ex(ex2a)+4ax+a2 (1)讨论 f(x)极值点的个数; (2)若到 x1,x2是 f(x)的两个极值点,且 f(x1)+f(x2)t(x1+x2

    10、)恒成立,求实数 t 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 40 分)分). 1复数在复平面内对应的点的坐标为( ) A(,) B(,) C(,) D(,) 【分析】直接化简已知的复数,从而得到其在复平面内对应点的坐标得答案 解:+i, 复数在复平面内对应的点的坐标为(,), 故选:B 2已知随机变量 XB(n,p),若 D(X)3,E(X)4,则 n,p 分别为( ) An8,p Bn8,p Cn16,p Dn16,p 【分析】根据已知条件,结合二项分布的期望与方差公式,即可求解 解:随机变量 XB(n,p),D(X)3,E(

    11、X)4, D(X)np(1p)3,E(X)np4, n16,p 故选:D 3函数 f(x)xlnx 的图象在 xe 处的切线方程为( ) A2xye0 Bx2y+e0 C2x+y3e0 Dx+2y3e0 【分析】求出原函数的导函数,得到函数在 xe 处的导数,再求出 f(e)的值,利用直线方程的点斜式得答案 解:由 f(x)xlnx,得 f(x)lnx+1, 则 f(e)lne+12,又 f(e)elnee, 函数 f(x)xlnx 的图象在 xe 处的切线方程为 ye2(xe), 即 2xye0 故选:A 4若 XN(5,),且 P(5X6)0.3,则 P(X4)( ) A0.2 B0.3

    12、C0.4 D0.6 【分析】根据已知条件,结合正态分布的对称性,即可求解 解:XN(5,),且 P(5X6)0.3, P(4X5)0.3, P(4X6)0.3+0.30.6, 故选:A 5三个班分别从六个风景点中选择一处游览,不同选法的种数是( ) A729 B18 C216 D81 【分析】每个班级都有 6 种选法,由分步乘法计数原理求解 解:每个班级都有 6 种选法,由分步乘法计数原理,得不同选法的种数是 666216 故选:C 6(2+)(1x)10展开式中的常数项为( ) A12 B8 C8 D12 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,求出:(2+)(1x)10展开式中的常数项 解

    13、:(2+)(1x)10展开式中的常数项为 2+(x)2108, 故选:C 7一边长为 18 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒当方盒的容积最大时,x( ) A2 B3 C4 D6 【分析】求出关于容积 V(x)的解析式,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数取最大值时 x 的值即可 解:由题意得:无盖方盒的底面是边长为 182x 的 正方形,高为 x, 则无盖方盒的容积 V(x)(182x)2x4x372x2+324x(0 x9), V(x)12x2144x+32412(x3)(x9), 当 x(0,3)时,V(x)0,当 x(3,9)时,V(

    14、x)0, 故 x3 时,方盒的容积最大, 故选:B 8设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在(0,1)内增大时,( ) AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大 【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 解:E(X)0+a+1, D(X)()2+(a)2+(1)2 (a+1)2+(2a1)2+(a2)2(a2a+1)(a)2+ 0a1,D(X)先减小后增大 故选:D 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项分在每小题给出的选项中,有多项符合符

    15、合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9下列求导正确的是( ) A若 f(x),则 f(x)lnx B若 f(x)3ex,则 f(x)3ex C若 f(x)x2+log2x,则 f(x)2x D若 f(x)sinx+cos,则 f(x)cosxsin 【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可 解:,A 错误; (3ex)3ex,B 正确; ,C 正确; ,D 错误 故选:BC 10已知(x)n展开式中各项的二项式系数和是 64,则( ) An6 B展开式中所有项的系数和为1 C展开式中常数项为1

    16、60 D展开式中含 x2项为60 x2 【分析】由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式,注意判断各个选项是否正确,从而得出结论 解:(x)n展开式中各项的二项式系数和是 2n64,n6,故 A 正确; 令 x1,可得展开式中所有项的系数和为(12)61,故 B 错误; 在通项公式 Tr+1(2)rx62r 中,令 62r0,求得 r3, 可得展开式中常数项为(8)160,故 C 正确; 在通项公式 Tr+1(2)rx62r 中,令 62r2,求得 r2, 可得展开式中含 x2项为4x260 x2,故 D 错误, 故选:AC 11已知双曲线 W:1( ) Am(2,1) B若 W 的顶

    17、点坐标为(0,),则 m3 CW 的焦点坐标为(1,0) D若 m0,则 W 的渐近线方程为 xy0 【分析】根据双曲线的方程,分析顶点,焦点,渐近线方程 解:因为方程1 表示双曲线, 所以(2+m)(1+m)0, 解得 m1 或 m2,故 A 错误; 若 W 的顶点坐标为(0,),则m1()2, 解得 m3,故 B 正确; 当 m1 时,c2(2+m)+(m+1)2m+3, 当 m2 时,c2(2+m)(m+1)2m3,故 C 不正确; 若 m0,则 W 的标准方程为y21,渐近线方程为 xy0,故 D 正确 故选:BD 12已知函数,则( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)在上的最大值为

    18、1 Cf(x)在0,上为减函数 Df(x)在(0,)上有且仅有 1 个零点 【分析】对于 A:计算得 f(1)f(1),则 f(x)不是偶函数,即可判断 A 是否正确; 对于 B:求导得,设 g(x)(sinx+cosx)ex+xsinx+cosx,则 g(x)(x2ex)cosx,可得 g(x)的单调性,计算极值,端点处的函数值,即可判断 B 是否正确; 对于 C:函数 f(x)在0,上先减后增,即可判断 C 是否正确; 对于 D:又 f(0)1,再结合单调性,即可判断 D 是否正确 解:对于 A:因为, 所以 f(1)f(1), 所以 f(x)不是偶函数,故 A 错误; 对于 B:, 设

    19、g(x)(sinx+cosx)ex+xsinx+cosx, 则 g(x)(x2ex)cosx, 因为,所以 x2ex0, 当时,cosx0, 当时,cosx0, 所以 g(x)在上单调递减,在上单调递增, 因为,g(0)0,g()e10, 所以函数 f(x)在上单调递增,最大值为 f(0)1,故 B 正确; 对于 C:函数 f(x)在0,上先减后增,故 C 错误; 对于 D:又 f(0)1,所以 f(x)在(0,)上为有且仅有 1个零点,故 D 正确 故选:BD 三、填空题:三、填空题:本题共本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的橫线上分把答案填在

    20、答题卡中的橫线上 13计算(43i)(54i) 32i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解:原式2012+15i16i32i, 故答案为:32i 14直线 l:xy10 被圆 C:x2+y22x4y0 截得的弦 AB 的长为 2 【分析】根据已知条件,结合点到直线的距离公式,以及垂径定理,即可求解 解:将圆 x2+y22x4y0 的方程化成标准式方程(x1)2+(y2)25, 圆心坐标为(1,2),半径 r, 圆心到直线 l 的距离 d, 故答案为: 15从 1,3,5,7,9 中任取三个数,从 2,4,6,8,中任取两个数,一共可组成 7200 个没有重复数字的五位数 【分析】先选后排,

    21、根据分步计数原理即可求出 解:从 1,3,5,7,9 中任取三个数,从 2,4,6,8,中任取两个数, 共有 C53C42A557200 个没有重复数字的五位数, 故答案为:7200 16某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3正常工作, 则部件正常工作 元件 1, 元件 2, 元件 3 正常工作的概率分别为, 则这个部件能正常工作的概率为 【分析】设“元件 1 正常工作”为事件 A,“元件 2 正常工作”为事件 B,“元件 3 正常工作”为事件 C, 则 P(A),P(B),P(C),再结合相互独立事件的概率乘法公式,即可求解 解:设“元件 1 正

    22、常工作”为事件 A, “元件 2 正常工作”为事件 B, “元件 3 正常工作”为事件 C, 则 P(A),P(B),P(C), 这个部件能正常工作的概率为 P1P( )P( )P(A) 故答案为: 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 f(x)2x3+3x212x (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在0,3上的最值 【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可 解:(1)

    23、f(x)2x3+3x212x, f(x)6x2+6x126(x+2)(x1), 令 f(x)0,解得:x1 或 x2, 令 f(x)0,解得:2x1, 故 f(x)在(,2)递增,在(2,1)递减,在(1,+)递增; (2)由(1)f(x)在0,1)递减,在(1,3递增, 而 f(0)0,f(1)7,f(3)45, 故 f(x)在0,3上的最小值是7,最大值是 45 18已知抛物线 C:x22py(p0)的焦点到准线的距离为 1 (1)求 p 的值及抛物线 C 的焦点 F 的坐标; (2)求抛物线 C 在 x1 处的切线方程 【分析】(1)利用抛物线的标准方程可得,焦点到准线的距离为 p,从而

    24、得到抛物线 C的标准方程; (2)利用导数的几何意义求切线方程 解:(1)因为抛物线的焦点到准线的距离为 p,由题意可知,p1, 则抛物线 C 的方程 x22y,抛物线 C 的焦点 F 的坐标(0,) (2)由抛物线 C 的方程 x22y,可得 yx, 所以抛物线 C 在 x1 处的切线斜率为 k1, 因为切点为(1,), 抛物线 C 在 x1 处的切线方程为 y1(x1),即 2x2y10 19从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高 x 和体重 y 数据如表所示 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 164 166 160 170 175 164 156 173 体重/kg

    25、49 57 52 53 65 61 44 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为 174cm 的女大学生的体重(结果精确到 0.01,且每一步用上一步的近似值进行计算) 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线 x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 , 【分析】根据已知条件,结合线性回归方程的公式,可得,再将 x174代入该方程中,即可求解 解:166, 55, 0.82, , 女大学生的身高预报体重的回归方程为, 对 于 身 高 为174cm的 女 大 学 生 , 由 回 归 方 程 可 以 预 报 其 体 重 为(kg)

    26、20 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出, 永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词,某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动,界定日行步数不足 4 千步的人为 “不健康生活方式者” , 不少于 10 千步的人为 “超健康生活方式者” ,其他为“一般生活方式者”该学校工会随机抽取了本校 50 名教职工,统计他们的日行步数,已知步数均没超过 14 千步,按步数分为0,2),2,4),4,6),6,8),8,10),10,12),12,14(单位:千步)七组,得到如图所示的频率分布直方图 (1)求这 50

    27、 名教职工日行步数的样本平均数(同一组数据用该组数据区间的中点值代替); (2)学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3 人进行日常生活方式交流座谈会,记抽取的 3 人中“超健康生活方式者”人数为 X,求X 的分布列和数学期望; (3)用样本估计总体,将频率视为概率若工会打算对该校全体 1000 名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励,其中步数在10,12)内的教职工奖励一件 T 恤,价值 50元;步数在12,14内的教职工奖励一件 T 恤和一条运动裤,价值 100 元试判断 10000元的预算是否足够 【分析】(1)根据已知条件,结合平均数公式,即可求解

    28、(2)由直方图可知,50 名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有 6人, X 的所有可能的值为 0,1,2,3,分别求出对应的概率,即可得 X 的分布列,并结合期望公式,即可求解 (3)分别计算出10,12),12,14内的教职工人数,并结合各自奖励的金额,即可求解 解:(1)由频率分布直方图可得,50 名教职工日行步数的样本平均数为 10.023+30.042+50.082 +70.222+90.082+110.052+130.0126.96 (2)由直方图可知,50 名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有 6人, X 的所有可能的值为 0,1,2,3, P(

    29、X0),P(X1), P(X2),P(X3), 故 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P E(X) (3) 用样本估计总体, 可知全校教职工中任取 1 人为 “超健康生活方式者” 的概率为 0.12, “超健康生活方式者” 共有 0.121000120 人, 其中步数在10, 12) 内的教职工有 0.0521000100 人, 步数在12,14内的教职工有 0.012100020 人, 10050+20100700010000, 10000 的预算足够 21已知椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且椭圆 C 过点(2,0),离心率 e,O 为坐标原点,过 F2且不平行于

    30、坐标轴的动直线 l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M (1)求 C 的标准方程; (2)记直线 OM 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明:k1k2为定值 (3)y 轴上是否存在点 P,使得ABP 为等边三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】(1)由椭圆 C 过点(2,0),离心率 e,列方程组,解得 a,b,c,即可得出答案 (2)由于+1,+1,两式相减,利用点差法可得,由 M 为 AB 的中点,得到 k1,即可得出 k1k2为定值 (3)设直线 l 的方程为 yk(x1),联立椭圆的方程,求出 x1+x2,x1x2,y1+y2,

    31、由弦长公式可得|AB|,|MP|,进而得到 M 点坐标,由ABP 为等边三角形,得|MP|AB|,解方程,即可得出答案 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2), (1)因为 a2,e,所以 c1, 所以 b, 所以椭圆 C 的标准方程为+1 (2)证明:因为+1,+1, 所以+0,即, 因为 M 为 AB 的中点,所以 k1, 所以 k1k2 (3)设直线 l 的方程为 yk(x1), 联立,得(3+4k2)x28k2x+4k2120, 所以 x1+x2,x1x2, 所以 y1+y2k(x1+x2)2k, 所以 M 点的坐标为(,), 因为ABP 为等边三角形,所以|MP|AB|, 所以|

    32、AB|x1x2|, |MP|0|, 所以, 即 23k2+270,无解, 所以不存在这样的点 P 22已知函数 f(x)2ex(ex2a)+4ax+a2 (1)讨论 f(x)极值点的个数; (2)若到 x1,x2是 f(x)的两个极值点,且 f(x1)+f(x2)t(x1+x2)恒成立,求实数 t 的取值范围 【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,结合二次函数的性质,求出极值点的个数即可; (2)求出 f(x1)+f(x2)的解析式,问题等价于4a+4alnatlna,得到 t4a,令 h(a)4a(a4),求出函数的导数,根据函数的单调性求出 t 的范围即可 解:(1)f(x)

    33、2ex(ex2a)+2e2x+4a4(e2xaex+a), 令 g(x)x2ax+a(x0), 当 a0 时,a24a0 且 g(0)a0, 故 g(x)0 有 1 个正根,故 f(x)有 1 个极值点, 当即 0a4 时,g(x)0 恒成立,故 f(x)没有极值点, 当 a4 时,a24a0 且 g(0)a0, 故 g(x)0 有 2 个不相等的正根,故 f(x)有 2 个极值点, 综上,当 a0 时,f(x)有 1 个极值点, 当 0a4 时,f(x)没有极值点, 当 a4 时,f(x)有 2 个极值点; (2)由(1)知当 f(x)有 2 个极值点时,a4 且 x1,x2是方程 e2xaex+a0 的两根, 故+a,则 x1+x2lna, f(x1)+f(x2) 2(2a)+4ax1+a2+2(2a)+4ax2+a2 2(+)4a(+)+4a(x1+x2)+2a2 244a(+)+4a(x1+x2)+2a2 2a24a4a2+4alna+2a24a+4alna, f(x1)+f(x2)t(x1+x2),等价于4a+4alnatlna, lna0,t4a, 令 h(a)4a(a4), h(a)0, h(a)在(4,+)上单调递增, h(a)h(4)16, t16,即 t(,16

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