广东省广州市番禺区2021-2022高二上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 2021 学年第一学期高中教学质量监测试题学年第一学期高中教学质量监测试题 高二数学高二数学 一一选择題：本题共选择題：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的. 1. 已知集合220Ax xx=， 01Bxx=的左焦点1F作 x轴的垂线交曲线 C于点 P，2F为右焦点，若1245FPF=，则双曲线的离心率为（ ） A. 22 B. 21 C. 2 D. 21+ 8. 在等差数列 na中，已知50a ，830aa+，则使数列 na的前 n项和0nS 的焦点为 F，准线

2、为 l.过焦点 F的直线交曲线 C于()11,P x y，()22,Q xy两点，则（ ） A. 以PF为直径的圆与准线 l相切 B. 以PQ为直径的圆与准线 l相切 C. 2124px x = D. 112|FPFQp+= 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知向量(1, 3,2)a=，( 2, 4)bm= ，若ab，则实数 m的值是_. 14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为13，14则密码被成功破译的概率_ 15. 已知圆22:1O xy+=，过点(2,1)P作圆 O的切线，则切线方程为_.

3、16. 已知 A，B 为 x，y正半轴上的动点，且| 4AB =，O 为坐标原点，现以|AB为边长在第一象限做正方形ABCD，则OC OD 的最大值为_. 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 na的前 n 项和为nS，且122nnS+=. （1）求数列 na的通项公式； （2）令2log=nnnbaa，求数列 nb的前 n项和nT. 18. 已知在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且cos(2 )cos0cBbaC+=. （1）求角 C的大小； （2）若

4、2c =，求ABC的面积 S的最大值. 19. 2020年 3 月 20日，中共中央、国务院印发了关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见 （以下简称意见 ） ， 意见中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取 100 名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在 1565小时内，其数据分

5、组依次为：)15,25，)25,35，)35,45，)45,55，55,65，得到频率分布直方图如图所示，其中0.028ab= （1）求a，b的值，估计这 100 名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替） ； （2）学校要在参加公益劳动总时间在)35,45、)45,55这两组的学生中用分层抽样的方法选取 5人进行感受交流，再从这 5 人中随机抽取 2 人进行感受分享，求这 2 人来自不同组的概率 20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为角梯形，AB CD，ABBC，2ABCD=，O为BD的中点，4BD =，5PBPCPD=. （1）证明

6、：OP 平面ABCD； （2）若BCCD=，求平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值. 21. 已知点()2,0A ，()2,0B， 设动点 P 满足直线 PA与 PB 的斜率之积为34， 记动点 P的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）若动直线 l经过点()1,0，且与曲线 E交于 C，D（不同于 A，B）两点，问：直线 AC与 BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由 22. 已知函数( )yf x=是定义在实数集R上的奇函数，且当0 x 时，( )22xxf x=+ （1）求( )f x的解析式； （2）若( )21xmf xm+在(0,)+上

7、恒成立，求m的取值范围 2021 学年第一学期高中教学质量监测试题学年第一学期高中教学质量监测试题 高二数学高二数学 一一选择題：本题共选择題：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的. 1. 已知集合220Ax xx=， 01Bxx=则AB =（ ） A. ( 1,1) B. ( 1,2) C. (0,1) D. (0,2) 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合 A，再由集合的交运算求AB即可. 【详解】由题设，220 |(2)(1)0 | 12Ax

8、xxxxxxx=+= ， |01ABxx=， 解得1x ， 也即函数的定义域为(),1， 由此排除 A,B 选项.当12x =时，1ln02y =的左焦点1F作 x轴的垂线交曲线 C 于点 P，2F为右焦点，若1245FPF=，则双曲线的离心率为（ ） A. 22 B. 21 C. 2 D. 21+ 【答案】D 【解析】 【分析】由题知12PFF是等腰直角三角形，1122PFFFc=，又根据通径的结论知21bPFa=，结合222bca=可列出关于, a c的二次齐次式，即可求解离心率. 【详解】由题知12PFF是等腰直角三角形，且1245FPF=， 1122PFFFc=， 又21bPFa=，2

9、2bca=，即22bac=， 222bca=，222caac=，即2220ee=， 解得28122e= ， 1e ，12e = +. 故选：D. 8. 在等差数列 na中，已知50a ，830aa+，则使数列 na的前 n项和0nS ，100S，38560aaaa+=+，60a，381100aaaa+=+， 90S，100S,使数列 na的前 n 项和0nS 的焦点为 F，准线为 l.过焦点 F 的直线交曲线 C 于()11,P x y，()22,Q xy两点，则（ ） A. 以PF为直径的圆与准线 l相切 B. 以PQ为直径的圆与准线 l相切 C. 2124px x = D. 112|FPF

10、Qp+= 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦半径公式和直线与圆的相切判断方法，即可判断 A，B 选项；设出直线PQ的方程，将其代入抛物线方程，根据韦达定理可判断 C，D 选项. 【详解】抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为(,0)2pF，准线:2pl x = 设112(,)22pxyM+为PF的中点，直径12pPFx=+ 则点M到准线的距离为113222242pxPFxppd+=+=+， 所以以PF为直径的圆与准线 l不相切，故 A 错误； 焦点弦12QxpPx+=，1212(,)22xxyyN+为PF的中点， 则点M到准线的距离为12122222PQxxxxppd+ =+=， 所

11、以以PQ为直径的圆与准线 l相切，故 B正确； 易知直线PQ的斜率不为零，故可设为2pxmy=+， 代入22ypx=，得2220ympyp=， 由韦达定理得：122yymp+=，212y yp= ， 2224212121222()22444yyy yppx xpppp=，故 C正确； 1221212121111|()2224xxpppppFPFQxxx xxx+=+=+ 2121212()222ppxxmymym yypmpp+=+=+=+， 则2222211222 (1)2|(1)(2)424mppp mppppFPFQpmppmpp+=+，D正确. 故选：BCD. 三三填空题：本题共填空题

12、：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知向量(1, 3,2)a=，( 2, 4)bm= ，若ab，则实数 m的值是_. 【答案】103 【解析】 【分析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解. 【详解】因为ab， 所以1 ( 2)( 3)2 ( 4)0a bm = + + =，解得103m = . 故答案为：103. 14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为13，14则密码被成功破译的概率 _ 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分

13、析可得答案 【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是13，14， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率1111(1)(1)342P =， 故该密码被成功破译的概率21111122PP= = = 故答案为：12 15. 已知圆22:1O xy+=，过点(2,1)P作圆 O的切线，则切线方程为_. 【答案】1y =或4350 xy= 【解析】 【分析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程0 =求参数 k，即可写出切线方程. 【详解】由题设，222151+=，故P在圆外， 根据圆22:1O xy+=及(2,1)P，知：过P作圆 O的切线斜率一定存在，

14、 可设切线为(2)1yk x=+，联立圆的方程， 整理得22(1)2 (1 2 )4 (1)0kxkk xk k+=， 2224(1 2 )16 (1)(1)0kkk kk =+=，解得0k =或43k =. 切线方程为1y =或4350 xy=. 故答案为：1y =或4350 xy=. 16. 已知 A，B 为 x，y正半轴上的动点，且| 4AB =，O 为坐标原点，现以|AB为边长在第一象限做正方形ABCD，则OC OD 的最大值为_. 【答案】32 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出,C D点坐标，进而表达出OC OD ，利用三角函数换元，求出最大值. 【详解】

15、如图，过点 D作 DEx轴于点 E，过点 C作 CFy 轴于点 F，设DAE=， （0,2） ，则由三角形全等可知BCF=， 设OAm=，OBn=， 则22216mnAB+=， 则()4cos ,4sinD m+，()4cos ,4sinCn+，则()()4cos4cos4sin4sin164cos4 sinOC ODmnmn=+=+ ， 令4cosm=，4sinn=，则()16 16coscos16sinsin16 16cosOC OD=+=+ ，当()cos1=时，OC OD 取得最大值，最大值为 32 故答案为：32 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答

16、应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 na的前 n 项和为nS，且122nnS+=. （1）求数列 na的通项公式； （2）令2log=nnnbaa，求数列 nb的前 n项和nT. 【答案】 （1）2nna = （2）1(1) 22nnTn+=+ 【解析】 【分析】 （1）根据na与nS的关系，分2n 和1n =两种情况，求出na，再判断是否合并； （2）利用错位相减法求出数列 nb的前 n 项和nT. 【小问 1 详解】 122nnS+=， 当2n 时，1122(22)2nnnnnnaSS+=， 当1n =时，211222aS=，也满足上式

17、， 数列 na的通项公式为：2nna =. 【小问 2 详解】 由（1）可得22 log 22nnnnbn=， 231 22 23 22nnTn= + + + 234121 22223 2(1) 22nnnnTnn+= + + 得23122222nnnTn+=+ 112(1 2 )2(1) 221 2nnnnn+= = ， 1(1) 22.nnTn+=+ 18. 已知在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且cos(2 )cos0cBbaC+=. （1）求角 C的大小； （2）若2c =，求ABC的面积 S的最大值. 【答案】 （1）3C=； （2）3. 【解析】 【分析】 （1

18、）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得sin2sincosAAC=，进而可得 C 的大小； （2）由余弦定理可得224abab+=，根据基本不等式可得4ab ，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件. 【小问 1 详解】 由正弦定理知：sincos(sin2sin)cos0CBBAC+=， sincoscossinsin()sin2sincosCBCBBCAAC+=+=，又0,A C时，( )22xxf x=+ （1）求( )f x的解析式； （2）若( )21xmf xm+在(0,)+上恒成立，求m的取值范围 【答案】 （1）22 ,0( )0,022 ,0 xxxxxf

19、 xxx+=， 2( )101)mg tmttm=+恒成立，讨论二次函数系数0m =，0m 结合根的分布. 【详解】解： （1）因为函数( )yf x=是定义在实数集R上的奇函数， 所以(0)0f=，( )()f xfx= 当0 x ，则()22xxfx=+ 所以当0 x =时，( )22xxf x=+ ( )21xmf xm+在(0,)+上恒成立 等价于()2212xxxmm+即22 )(1)(102xxmmm+ 在(0,)+上恒成立 令,12xtt=，则2( )11)mg tmttm=+ 当0m =时，( )0g t 不恒成立，故舍去 当0m 时必有0m 若23210mm = + 即m1或

20、13m 时，( )0g t 恒成立 因为0m 即113m时，要使( )0g t 恒成立 则有(1)11011120gmmmmmmm=+ + 与113m矛盾，故舍去 综上，实数m的取值范围是1,3 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 （1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； （2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于( )f x的方程(组)，从而得到( )f x的解析式； （3） 求函数解析式中参数的值： 利用待定系数法求解， 根据( )()0f xfx=得到关于待求参数的恒等式， 由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.