广东省中山市2020-2021高二上学期数学期末统一试卷及答案.pdf

1、 2020-2021 学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知 0 x1，0y1，记 Mxy，Nx+y1，则 M 与 N 的大小关系是（ ） AMN BMN CMN DM 与 N 的大小关系不确定 2在ABC 中，角 A，B，C 的边长分别是 a，b，c，若 a2，A45，B60，则b（ ） A B C1 D2 3在等差数列an中，若 a4+a5+a615，则 a2+a8（ ） A6 B10 C7 D5 4音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次

2、“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（ ） A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 5已知双曲线的一条渐近线方程为 y2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A B C D 6测量河对岸某一高层建筑物 AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 B 在同一水平面内的两个观测点 C 和 D，如图，测得BCD15，BDC30，CD30m，并在 C处测得建筑物顶端 A 的仰角为 60，则建

3、筑物 AB 的高度为（ ） A30m B15m C5m D15m 7 如图， 正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1， AA12， D 是 BB1的中点， 则 AD 与平面 AA1C1C所成角的正弦值等于（ ） A B C D 8已知平面向量满足：，则的最小值为（ ） A B C D 二、选择题（共二、选择题（共 4 小题）小题）. 9已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A B C D 10下列式子，可以是 x21 的一个充分不必要条件的有（ ） Ax1 B0 x1 C1x1 D1x0 11设an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是（ ） Ad

4、0 BS6与 S7是 Sn的最大值 CS9S5 Da70 12下列函数中，最小值为的有（ ） A B Cyex+2ex Dylog2x+2logx2 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 13命题xR，x22x+40 的否定为 14抛物线 yx2的准线方程是 15已知关于 x 的不等式（mxm26）（x+4）0（其中 mR）的解集为 A，若满足 AZB（其中 Z 为整数集），则使得集合 B 中元素个数最少时 m 取值范围是 16把半椭圆：和圆弧：（x1）2+y2a2（x0）合成的曲线称为“曲圆”，其中点 F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与 x 轴的左、右交点，

5、B1，B2分别是“曲圆”与 y 轴的上、下交点，已知B1FB2120，过点 F 的直线与“曲圆”交于 P，Q 两点，则半椭圆方程为 （x0），A1PQ 的周长的取值范围是 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题）小题）. 17已知函数 f（x）mx2mx12 （1）当 m1 时，解不等式 f（x）0； （2）若不等式 f（x）0 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 18已知点 P（2，m）是抛物线 C：y22px（p0）上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|4，直线 l：yk（x2）与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B （1）求抛物线 C 的方程； （2）若|AB|16，求 k 的值 19

6、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足bn为等差数列，其前 n 项和为Tn，如图_，Tn的图象经过 A，B 两个点 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 Rn.从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答 20在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）若 a，b，c 成等差数列，求 cosB 的值； （2）是否存在ABC 满足 B 为直角？若存在，求 sinA 的值；若不存在，请说明理由 21如图，在四棱锥 PABCD 中，PAB 是正三角形，BCAB，BCCD2，ABAD2 （1）若 PB3BE，求证：AE平面 PCD；

7、（2）若 PC4，求二面角 APCB 的正弦值 22已知数列an满足：anan1+2anan10，（n2，nN），a11，前 n 项和为 Sn的数列bn满足：b11，bn（n2，nN），又 cn（n2，nN） （1）求数列an的通项公式； （2）证明：（n2，nN） 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知 0 x1，0y1，记 Mxy，Nx+y1，则 M 与 N 的大小关系是（ ） AMN BMN CMN DM 与 N 的大小关系不确定 解：MNxyxy+1x（y1）（y1）（x1）（y1）， 0 x1，0y1，x10，y10， MN0， MN 故选：B 2

8、在ABC 中，角 A，B，C 的边长分别是 a，b，c，若 a2，A45，B60，则b（ ） A B C1 D2 解：由正弦定理知：， 从而 b2 故选：D 3在等差数列an中，若 a4+a5+a615，则 a2+a8（ ） A6 B10 C7 D5 解：由等差数列的性质可得：a4+a6a2+a82a5 所以 a4+a5+a615，即 3a515，a55， 故 a2+a82a52510， 故选：B 4音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变

9、化，获得了“宫、徵、商、羽、 角”五个音阶据此可推得（ ） A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 解：设“宫”的频率为 a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a， 由于 a，a，a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：A 5已知双曲线的一条渐近线方程为 y2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A B C D 解：根据题意，双曲线的

10、一条渐近线方程为 y2x，则可以设其方程方程为 x2m，又由其过点， 则有 4m， 解可得 m1， 则其方程为：x21， 其标准方程为：x21， 故选：B 6测量河对岸某一高层建筑物 AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 B 在同一水平面内的两个观测点 C 和 D，如图，测得BCD15，BDC30，CD30m，并在 C处测得建筑物顶端 A 的仰角为 60，则建筑物 AB 的高度为（ ） A30m B15m C5m D15m 解：由题意，在BCD 中，BCD15，BDC30， CBD135， 又 CD30m， 由正弦定理得 ， BC15； 在ABC 中，ABC90，ACB60， ABBCta

11、n601515； 则建筑物高 AB 为 15m 故选：B 7 如图， 正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1， AA12， D 是 BB1的中点， 则 AD 与平面 AA1C1C所成角的正弦值等于（ ） A B C D 解：以 C 为坐标原点，在平面 ABC 中，过 C 作 CB 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1为 z轴建立空间直角坐标系， 因为 AB1，AA12， 则有， 故， 设平面 AA1C1C 的法向量为， 则有， 取 x1，则， 设直线 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ， 则 故选：B 8已知平面向量满足：，则的最小值为（ ） A B C D 解：，所以可建立平面

12、直角坐标系如图所示， 使 （1，0）， （1，0）， （0，1），（x，y）， 由椭圆定义知，P 点轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆， 2a4a2，c1，b， 所以|BP|+|PF2|BP|+4|PF1|4（|PF1|BP|）4|BF1|4 ， 当 P 运动到 P时等号成立，所以 的最小值为 4 故选：A 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9已知向量，则下列

13、结论不正确的是（ ） A B C D 解：向量， （10，5，2），故 A 正确； （2，1，6），故 B 错误； 24+6822，故 C 错误； | |6，故 D 正确 故选：BC 10下列式子，可以是 x21 的一个充分不必要条件的有（ ） Ax1 B0 x1 C1x1 D1x0 解：对于 A，x1 时，x2有可能大于 1，比如31，（3）21，故 A 错误； 对于 B，0 x1x21，故 B 正确； 对于 C，1x1x21，故 C 错误 对于 D，1x0 x21，故 D 正确；故选：BD 11设an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是（ ）

14、Ad0 BS6与 S7是 Sn的最大值 CS9S5 Da70 解：设an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8， 则由 S5S6得 a1+a2+a3+a5a1+a2+a5+a6，即 a60， 又S6S7，a1+a2+a6a1+a2+a6+a7， a70，故 D 正确； 同理由 S7S8，得 a80，da7a60，故 A 正确； 而 C 选项 S9S5，即 a6+a7+a8+a90，可得 2（a7+a8）0，由结论 a70，a80，显然C 是错误的 S5S6，S6S7S8，S6与 S7均为 Sn的最大值，故 B 正确； 故选：ABD 12下列函数中，最小值为的有（ ） A

15、 B Cyex+2ex Dylog2x+2logx2 【解答】解；对于 A：yx+22， 当且仅当 x时，即 x取等号，此时取得最小值 2，故 A 成立； 对于 B：由 0 x 可得 0sinx1， 令 tsinx（0，1，yt+在（0，1上单调递减， 当 t1 时取得最小值 3，故 B不成立； 对于 C：令 tex，则 t0，则 yt+22， 当且仅当 t时，即 t取等号，此时取得最小值 2，C 成立； 对于 D，由于 log2xR，所以设 log2xt， 当 t0 时，ylog2x+2logx2log2x+t+2， 当且仅当 t时，即 t取等号，此时取得最小值 2； 当 t0 时，ylog

16、2x+2logx2t+（）2， 当且仅当 t时，即 t取等号，此时取得最大值2 综上述 y2或 y2，故 D 不成立 故选：AC 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上. 13命题xR，x22x+40 的否定为 xR，x22x+40 解：根据全称命题的否定是特称命题， 命题xR，x22x+44 的否定是：xR，x22x+40 故答案是xR，x22x+44 14抛物线 yx2的准线方程是 y1 解：由题意，抛物线的标准方程为 x24y， p2，开口朝上， 准线方程为 y1， 故答案为：y1

17、15已知关于 x 的不等式（mxm26）（x+4）0（其中 mR）的解集为 A，若满足 AZB（其中 Z 为整数集），则使得集合 B 中元素个数最少时 m 取值范围是 2，3 解： 对 m 分类讨论： 若 m0， 不等式化为： x+40， 解得 x4 A （4， +） 此时满足 AZB 的 B 有无数个元素 若 m0，不等式化为：（x）（x+4）0，无论与4 的大小关系如何，此时满足 AZB 的 B 有无数个元素 若 m0，不等式化为：（x）（x+4）0，解得4x，此时满足 AZB 的 B 有有限个元素由 f（m），f（m）1， 可得 m时，f（m）取得极小值即最小值，此时 B 中只含有 8

18、个元素，令5，解得 m2，32m3 综上可得：使得集合 B 中元素个数最少时 m 取值范围是2，3 故答案为：2，3 16把半椭圆：和圆弧：（x1）2+y2a2（x0）合成的曲线称为“曲 圆”，其中点 F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与 x 轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与 y 轴的上、下交点，已知B1FB2120，过点 F 的直线与“曲圆”交于 P，Q 两点，则半椭圆方程为 （x0），A1PQ 的周长的取值范围是 （6，8 解：由（x1）2+y2a2（x0），令 y0，可得 x1a 以及 A1（1a，0）， 再由椭圆的方程及题意可得 A2（a，0），B2（0，

19、b），B1（0，b）， 由B1FB2120，可得， 由 F（1，0）可得， 所以 a2， 所以半椭圆及圆弧的方程分别为（x0），（x1）2+y24（x0）， 所以， 可得 A1相当于椭圆的左焦点， A1PQ 的周长为 PF+PA1+A1Q+QF， 当 P 从 A2（不包括 A2）向 B2运动时，PA+PF2a4， 当 Q 在 y 轴右侧时，A1Q+QF2a4，所以这时三角形的周长为 8， 当 P 从 B2向 A1运动时，Q 在第四象限，则 A1Q+QF2a4，PF+PA12r+A1B22+a4， 这时三角形的周长小于 8， 当 P 运动到 A1时，Q 在 A2处，不构成三角形，三角形的周长接近

20、 2A1A26， 由曲圆的对称性可得 P 运动到 x 轴下方时，与前面的一样， 综上所述，A1PQ 的周长的取值范围为（6，8 故答案为：；（6，8 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知函数 f（x）mx2mx12 （1）当 m1 时，解不等式 f（x）0； （2）若不等式 f（x）0 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 解：（1）函数 f（x）mx2mx12 当 m1 时，解不等式 f（x）0；即 x2x120 因式分解得：（x4）（x+3）0 解得：3x 或

21、 x4 不等式的解集为x|3x 或 x4 （2）当 m0 时，此时 f（x）12，不等式 f（x）0 的解集为 R，恒成立 当 m0 时，要使不等式 f（x）0 的解集为 R， 则 m0，b24acm2+48m0， 解得：48m0 综上可得，实数 m 的取值范围是（48，0 18已知点 P（2，m）是抛物线 C：y22px（p0）上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|4，直线 l：yk（x2）与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B （1）求抛物线 C 的方程； （2）若|AB|16，求 k 的值 解：（1）由抛物线的定义知，|PF|2+4， p4， 抛物线 C 的方程为 y28x （2）抛物线

22、 C 的方程为 y28x， F（2，0）， 直线 l 过点 F， 设 A、B 两点的横坐标分别为 x1，x2， 联立，得 k2x2（4k2+8）x+4k20， x1+x24+， |AB|x1+x2+44+416， 解得 k1 19已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足bn为等差数列，其前 n 项和为Tn，如图_，Tn的图象经过 A，B 两个点 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 Rn.从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答 解：（1）由，可得 n1 时，a1S12， n2 时，anSnSn12n+12（2n2）2n， 上式对 n1 也成立，

23、所以数列an的通项公式为 an2n，nN*； （2）设等差数列bn的公差为 d， 选图，可得 T11，T33， 即有 b11，31+32d3，解得 d2， 则 bn12（n1）32n， anbn（32n）2n， Rn12+（1）22+（3）23+（32n）2n， 2Rn122+（1）23+（3）24+（32n）2n+1， 两式相减可得Rn22（22+23+2n）（32n）2n+1 22（32n）2n+1， 化简可得 Rn（52n）2n+110； 选图，可得 T11，T36， 即有 b11，31+32d6，解得 d1， 则 bn1+（n1）n， anbnn2n， Rn12+222+323+n2n

24、， 2Rn122+223+324+n2n+1， 两式相减可得Rn2+22+23+2nn2n+1 n2n+1， 化简可得 Rn（n1）2n+1+2； 选图，可得 T13，T30， 即有 b13，3（3）+32d0，解得 d3， 则 bn3+3（n1）3n6， anbn（3n6）2n， Rn（3）2+022+323+（3n6）2n， 2Rn（3）22+023+324+（3n6）2n+1， 两式相减可得Rn6+3（22+23+2n）（3n6）2n+1 6+3（3n6）2n+1， 化简可得 Rn（3n9）2n+1+18 20在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）若 a，b

25、，c 成等差数列，求 cosB 的值； （2）是否存在ABC 满足 B 为直角？若存在，求 sinA 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）若 a，b，c 成等差数列， 所以 a+c2b， 由于 所以 cosB， 由于， 所以 （2）假设 B 为直角， 则 sinB1， sinCcosA， 由于， 根据正弦定理（sinA+sinC）sinB， 即 sinA+cosA， 上式两边平方得：， 所以（9sin2A+5）（4sin2A5）0， 由于 0sin2A1， 所以 9sin2A+50，4sin2A50， 与（9sin2A+5）（4sin2A5）0 矛盾， 故不存在ABC 满足 B 为直角 21

26、如图，在四棱锥 PABCD 中，PAB 是正三角形，BCAB，BCCD2，ABAD2 （1）若 PB3BE，求证：AE平面 PCD； （2）若 PC4，求二面角 APCB 的正弦值 【解答】（1）证明：如图，作 EFPC，交 BC 于 F，连接 AF 因为 PB3BE，所以 E 是 PB 的三等分点，可得 因为 ABAD2，ACAC，所以ABCADC， 因为 BCAB，所以ABC90， 因为，所以ACBACD30，所以BCD60， 因为，所以AFB60，所以 AFCD， 因为 AF平面 PCD，CD平面 PCD，所以 AF平面 PCD 又 EFPC，EF平面 PCD，PC平面 PCD，所以 E

27、F平面 PCD 因为 AFEFF， AF、 EF平面 AEF， 所以平面 AEF平面 PCD， 所以 AE平面 PCD （2）解：因为PAB 是等边三角形，AB2，所以 PB2 又因为 PC4，所以 PC2PB2+BC2，所以 BCPB 又 BCAB，AB，PB平面 PAB，ABPBB，所以 BC平面 PAB 因为 BC平面 ABCD，所以平面 PAB平面 ABCD在平面 PAB 内作 Bz平面 ABCD 以 B 点为坐标原点，分别以 BC，BA，Bz 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz， 则，A（0，2，0）， 所以， 设 （x1，y1，z1）为平面 BPC

28、的法向量，则，即， 令 z11，可得 设 （x2，y2，z2）为平面 APC 的法向量，则，即， 令 z21，可得 所以 则，所以二面角 APCB 的正弦值为 22已知数列an满足：anan1+2anan10，（n2，nN），a11，前 n 项和为 Sn的数列bn满足：b11，bn（n2，nN），又 cn（n2，nN） （1）求数列an的通项公式； （2）证明：（n2，nN） 解： （1）由条件得 anan1+2anan10an12an+anan1，易知 an0，两边同除以 anan1得， 又，故（nN*）， （2）因为：（n2，nN）， 所以， 故只需证， 由条件 （n2，nN） 一方面：当 n2 时 当 n3，nN 时，Snb1+b2+bn， 另一方面：当 n2，nN 时，bn0 所以 Snb1+b2+bn1+12 所以当 n2，nN 时