2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4-2.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 选修 42 矩阵与变换 第 1 课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法 1. 已知矩阵 A ? ?1 22 1 ， B ? ?31 满足 AX B， 求矩阵 X. 解：设 X ? ?ab ， 由 ? ?1 22 1 ? ?ab ? ?31 得?a 2b 3，2a b 1， 解得?a 1，b 1， 所以 X ?11 . 2. 已知变换矩阵 A：平面上的点 P(2， 1)， Q( 1， 2)分别变换成点 P1(3， 4)， Q1(0，5)， 求变换矩阵 A. 解：设所求的变换矩阵 A ? ?a bc d ， 依题意 ， 可得 ?a bc d ? 2 1 ? 3 4 及

2、?a bc d ? 12 ?05 ， 即?2a b 3，2c d 4， a 2b 0， c 2d 5，解得?a 2，b 1，c 1，d 2，所以所求的变换矩阵 A ? ? 2 1 1 2 . 3. 已知 M ? ? 2 1 4 3 ， N ? ? 4 1 3 1 ， 求二阶矩阵 X， 使 MX N. 解：设 X ? ?x yz w ， 由题意有 ? ? 2 1 4 3 ? ?x yz w ? ? 4 1 3 1 ， 根据矩阵乘法法则有?2x z 4，2y w 1， 4x 3z 3， 4y 3w 1，解得?x 92，y 1，z 5，w 1. X?92 15 1. 4. 曲线 x2 4xy 2y2

3、 1 在二阶矩阵 M ? ?1 ab 1 的作用下变换为曲线 x2 2y2 1， 求实数 a， b 的值 解：设 P(x， y)为曲线 x2 2y2 1 上任意一点 ， P (x ， y )为曲线 x2 4xy 2y2 1 上与 P 对应的点 ， 则 ? ?1 ab 1 ? ?xy ? ?xy ， 即?x x ay ，y bx y ， 代入 x2 2y2 1 得 (x ay) 2 2(bx y) 2 1， 整理得 (1 2b2)x 2 (2a 4b)xy (a2 2)y 2 1， 又 x 2 4xy 2y 2 1， 所以?1 2b2 1，2a 4b 4，a2 2 2，解得?a 2，b 0. =

4、【 ;精品教育资源文库 】 = 5. (2017 扬州中学期初 )已知点 M(3, 1)绕原点按逆时针旋转 90 后 ， 在矩阵 A?a 02 b 对应的变换作用下 ， 得到点 N(3， 5)， 求 a， b 的值 解：由题意 ， ? ?0 11 0 ? ? 3 1 ? ?13 ， 又 ? ?a 02 b ? ?13 ? ?35 ， 所以?a 3，2 3b 5， 解得?a 3，b 1. 6. 已知曲线 C: y2 2x 在矩阵 M ? ?1 00 2 对应的变换作用下得到曲线 C1， C1在矩阵 N ? ?0 11 0 对应的变换作用下得到曲线 C2， 求曲线 C2的方程 解：设 A NM，

5、则 A ? ?0 11 0 ? ?1 00 2 ? ?0 21 0 ， 设 P (x ， y )是曲线 C 上任一点 ， 在两次变换作用下 ， 在曲线 C2上的对应点为 P(x, y)， 则 ? ?xy ? ?0 21 0 ? ?xy ? 2yx ， 即 ?x 2y ，y x ， ?x y，y 12x. 又点 P(x ， y )在曲线 C: y2 2x 上 ， ? ? 12x 2 2y， 即曲线 C2的方程为 y 18x2. 7. 设曲线 2x2 2xy y2 1 在矩阵 A ? ?a 0b 1 (a 0)对应的变换作用下得到的曲线为 x2 y2 1.求实数 a， b 的值 解：设曲线 2x2

6、 2xy y2 1 上任一点 P(x， y)在矩阵 A 对应变换作用下得到点 P(x ，y )， 则 ?a 0b 1 ?xy ?axbx y ?xy ， 所以?ax x ，bx y y. 因为 x 2 y 2 1， 所以 (ax)2 (bx y)2 1， 即 (a2 b2)x2 2bxy y2 1， 所以?a2 b2 2，2b 2. 解得 ?a 1，b 1. 8. 求圆 C： x2 y2 1 在矩阵 A ? ?5 00 2 对应的变换作用下所得的曲线的方程 解 ：设圆 C 上任一点 (x1， y1)在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 (x， y)， 则 ? ?5 00 2 ? ?x1y1 ?

7、?xy ， 则 x1 x5， y1 y2， 代入 x2 y2 1 得所求曲线的方程为 x225y24 1. 9. 已知矩 阵 A ? ?1 00 2 ， B?1120 1.若矩阵 AB 对应的变换把直线 l： x y 2 0变为直线 l ， 求直线 l 的方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： A ? ?1 00 2 ， B?1120 1， AB ? ?1 00 2?1120 1?1120 2. 在直线 l 上任取一点 P(x， y)， 设它是由 l 上的点 P0(x0， y0)经矩阵 AB 所对应的变换作用所得 ， 点 P0(x0， y0)在直线 l： x y 2 0 上 ， x0 y

8、0 2 0 . 又 AB? ?x0y0 ? ?xy ， 即?1120 2 ? ?x0y0 ? ?xy ， ?x012y0 x，2y0 y， ?x0 x 14y，y0 12y. 将 代入 得 x 14y 12y 2 0， 即 4x y 8 0， 直线 l 的方程为 4x y 8 0. 10. 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 设点 P(x， 3)在 矩阵 M ? ?1 23 4 对应的变换作用下得到点 Q(y 4， y 2)， 求 M2? ?xy . 解：依题意 ， ? ?1 23 4 ? ?x3 ? ?y 4y 2 ， 即?x 6 y 4，3x 12 y 2， 解得 ?x 0，y 10， M2

9、 ? ?1 23 4 ? ?1 23 4 ? ?7 1015 22 ， 所以 M2? ?xy ? ?7 1015 22 ? ?010 ? ?100220 . 11. 已知曲线 C1： x2 y2 1， 对它先作矩阵 A ? ?1 00 2 对应的变换 ， 再作矩阵 B?0 m1 0 对应的变换 ， 得到曲线 C2：x24 y2 1， 求实数 m 的值 解： BA ? ?0 m1 0 ? ?1 00 2 ? ?0 2m1 0 ， 设 P(x0， y0)是曲线 C1上的任一点 ， 它在矩阵BA 变换作用下变成点 P (x ， y )， 则 ? ?xy ? ?0 2m1 0 ? ?x0y0 ? ?2

10、my0x0， 则?x 2my0，y x0， 即 ?x0 y ，y0 12mx. 又点 P 在曲线 C1上 ，则 y 2 x24m2 1，所以 m2 1， 所以 m 1. 第 2 课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 1. 已知变换 T： ? ?xy ? ?xy ? ?x 2yy ， 试写出变换 T 对应的矩阵 A， 并求出其逆矩阵 A=【 ;精品教育资源文库 】 = 1. 解：由 T： ? ?xy ? ?xy ? ?1 20 1 ? ?xy ， 得 A ? ?1 20 1 . 设 A 1 ? ?a bc d ， 则 AA 1 ? ?1 20 1 ? ?a bc d ? ?a 2c b

11、2dc d ? ?1 00 1 ， 所以?a 2c 1，b 2d 0，c 0，d 1，解得?a 1，b 2，c 0，d 1.所以 A 1 ? ?1 20 1 . 2. (2017 苏北四市期末 )已知矩阵 A ? ?1 a 1 b 的一个特征值为 2， 其对应的一个特征向量为 ? ?21 .求实数 a， b 的值 解：由条件知 ， A 2 ， 即 ? ?1 a 1 b ? ?21 2? ?21 ， 即 ? ? 2 a 2 b ? ?42 ， 所以?2 a 4， 2 b 2， 解得 ?a 2，b 4. 3. (2017 扬州期末 )已知 a， b R， 若 点 M(1， 2)在矩阵 A ? ?a

12、 1b 4 对应的变换作用下得到点 N(2， 7)， 求矩阵 A 的特征值 解：由题意得 ? ?a 1b 4 ? ? 1 2 ? ? 2 7 ， 即?a 2 2，b 8 7， 解得 ?a 4，b 1， 所以 A ? ?4 11 4 ， 所以矩阵 A 的特征 多项式为 f() ? ? 4 1 1 4 2 8 15. 令 f() 0， 解得 5 或 3， 即矩阵 A 的特征值为 5 和 3. 4. 已知二阶矩阵 A ? ?a bc d ， 矩阵 A 属于特征值 1 1 的一个特征向 量为 1? 1 1 ， 属于特征值 2 4 的一个特征向量为 2 ?32 ， 求矩阵 A. 解：由特征值、特征向量定

13、义可知 ， A 1 1 1， 即 ? ?a bc d ? ? 1 1 1 ? ? 1 1 ， 得?a b 1，c d 1. 同理可得 ?3a 2b 12，3c 2d 8. 解得?a 2，b 3，c 2，d 1.因此矩阵 A ? ?2 32 1 . 5. 已知矩阵 A ? ?3 02 a ， A 的逆矩阵 A 1?13 0b 1， 求 A 的特征值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： AA 1 ? ?1 00 1 , ? ?3 02 a?13 0b 1 ? ?1 00 1 ， 则?23 ab 0，a 1，解得?a 1，b 23， A ? ?3 02 1 ， A 的特征多项式 f() ? ?

14、3 0 2 1 ( 3)( 1) 令 f() 0， 解得 3 或 1. A 的 特征值为 3 和 1. 6. 已知矩阵 A ? ?a 2b 1 .若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ? ?11 ， 求该矩阵的另一个特征值 解：因为 ? ?a 2b 1 ? ?11 3? ?11 ， 则?a 2 3，b 1 3， 解得?a 1，b 2， 所以 A ?1 22 1 . 由 f() ? ? 1 2 2 1 ( 1)2 4 0， 所以 ( 1)( 3) 0， 解得 1 1， 2 3. 所以另一个特征值是 1. 7. 已知 a， b R， 矩阵 A ? ?a b1 4 ， 若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1? 3 1 ， 属于特征值 5 的一个特征向量为 2 ?11 .求矩阵 A， 并写出 A 的逆矩阵 解：由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1 ? ? 3 1 ， 得 ? ?a b1 4 ? ? 3 1 ? ? 3 1 ， 3a b 3. 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 2 ? ?11 ， 得 ? ?a b1 4 ? ?11 5? ?11 ， a b 5. 联立 ， 解得?a 2，b 3， 即 A ?2 31 4 . A 的逆矩阵 A 1?45 35