全国通用2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.2直接证明与间接证明学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 13.2 直接证明与间接证明 最新考纲 考情考向分析 1.了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点 . 2.了解反证法的思考过程和特点 . 本节主要内容是直接证明的方法 综合法和分析法，间接证明的方法 反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度中档 . 1直接证明 (1)综合法 定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过 一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法

2、 框图表示： P?Q1 Q1?Q2 Q2?Q3 ? Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论 ) 思维过程：由因导果 (2)分析法 定义：一般地，从 要证明的结论 出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止，这种证明方法叫做分析法 框图 表示： Q?P1 P1?P2 P2?P3 ? 得到一个明显成立的条件 (其中 Q 表示要证明的结论 ) 思维过程：执果索因 2间接证明 反证法：一般地，假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过正确的推理，最

3、后得出 矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明 原命题成立 的证明方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明 ( ) (2)分析法是 从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 ( ) (3)用反证法证明结论 “ ab” 时，应假设 “ aQ B P Q C PQ2，又 P0， Q0， PQ. 3 P91B 组 T2设实数 a， b， c 成等比数列，非零实数 x， y 分别为 a 与 b， b 与 c 的等差中项，则 ax cy等于 ( ) A 1 B 2 C 4 D 6 答案

4、 B 解析 由题意，得 x a b2 ， y b c2 ， b2 ac， xy ?a b?b c?4 ， axcyay cxxy a b c2 c a b2xy a?b c? c?a b?2xy ab bc 2ac2xy ab bc ac b22xy ?a b?b c?2xy =【 ;精品教育资源文库 】 = ?a b?b c?2 ?a b?b c?4 2. 题组三 易错自纠 4若 a， b， c 为实数，且 aabb2 C.1aab 答案 B 解析 a2 ab a(a b)， a0， a2ab. 又 ab b2 b(a b)0， abb2， 由 得 a2abb2. 5用反证法证明命题： “

5、设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b 0 至少有一个实根 ” 时，要作的假设是 ( ) A方程 x3 ax b 0 没有实根 B方程 x3 ax b 0 至多有一个实根 C方程 x3 ax b 0 至多有两个实根 D方程 x3 ax b 0 恰好有两个实根 答案 A 解析 方程 x3 ax b 0 至少有一个实根的反面是方程 x3 ax b 0 没有实根，故选 A. 6 (2017 德州一模 )如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2 的三 个内角的正弦值，则 A2B2C2是 _三角形 答案 钝角 解析 由条件知， A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0，则 A

6、1B1C1 是锐角三角形，假设 A2B2C2是锐角三角形 由? sin A2 cos A1 sin? ? 2 A1 ，sin B2 cos B1 sin? ? 2 B1 .sin C2 cos C1 sin? ? 2 C1 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 得? A2 2 A1，B2 2 B1，C2 2 C1.那么， A2 B2 C2 2 ，这与三角形内角和为 相矛盾 所以假设不成立假设 A2B2C2是直角三角形，不妨设 A2 2 ，则 cos A1 sin A2 1， A1 0，矛盾 所以 A2B2C2是钝角三角形 . 题型一 综合法的应用 1 (2018 绥化模拟 )设 a， b， c

7、均为正实数，则三个数 a 1b， b 1c， c 1a( ) A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 答案 D 解析 a0， b0， c0， ? ?a 1b ? ?b 1c ? ?c 1a ? ?a 1a ? ?b 1b ? ?c 1c 6 ， 当且仅当 a b c 1 时， “ ” 成立，故三者不能都小于 2，即至少有一个不小于 2. 2 (2018 大庆质检 )如果 a a b ba b b a成立，则 a， b 应满足的条件是_ 答案 a0 ， b0 且 a b 解析 a a b b (a b b a) a(a b) b(b a) ( a b)(a b

8、) ( a b)2( a b) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 ， b0 且 a b 时， ( a b)2( a b)0. a a b ba b b a成立的条件是 a0 ， b0 且 a b. 3 (2018 武汉月考 )若 a， b， c 是不全相等的正数，求证： lga b2 lgb c2 lgc a2 lg a lg b lg c. 证明 a， b， c(0 ， ) ， a b2 ab 0， b c2 bc 0， a c2 ac 0. 由于 a， b， c 是不全相等的正数， 上述三个不等式中等号不能同时成立， a b2 b c2 c a2 abc0 成立 上式两边同时取常

9、用对数，得 lg? ?a b2 b c2 c a2 lg abc， lg a b2 lgb c2 lgc a2 lg a lg b lg c. 思维升华 (1)综合法是 “ 由因导果 ” 的证明方法，它是一种从已知到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断 (命题 )出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性 (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 题型二 分析法的应用 典例 (2018 长沙模拟 )已知函数 f(x) tan x， x ? ?0， 2 ，若 x1， x2 ? ?0， 2 ，且 x1 x2，求证： 12f(x1) f(x2)f

10、? ?x1 x22 . 证明 要证 12f(x1) f(x2)f? ?x1 x22 ， 即证明 12(tan x1 tan x2)tan x1 x22 ， 只需证明 12? ?sin x1cos x1 sin x2cos x2tan x1 x22 ， 只需证明 sin?x1 x2?2cos x1cos x2 sin?x1 x2?1 cos?x1 x2?. 由于 x1， x2 ? ?0， 2 ，故 x1 x2(0 ， ) 所以 cos x1cos x20， sin(x1 x2)0,1 cos(x1 x2)0， 故只需证明 1 cos(x1 x2)2cos x1cos x2， =【 ;精品教育资源

11、文库 】 = 即证 1 cos x1cos x2 sin x1sin x22cos x1cos x2， 即证 cos(x1 x2)f? ?x1 x22 . 引申探究 若本例中 f(x)变为 f(x) 3x 2x，试证：对于任意的 x1， x2 R，均有 f?x1? f?x2?2 f? ?x1 x22 . 证明 要证明 f?x1? f?x2?2 f? ?x1 x22 ， 即证明 1212(3 2 ) (3 2 )2xxxx 1223xx? 2 x1 x22 ， 因此只要证明 12332xx? (x1 x2) 1223xx? (x1 x2)， 即证明 12332xx? 1223xx? ， 因此只要

12、证明 12332xx? 1233xx? ， 由于当 x1， x2 R 时， 13x 0, 23x 0， 由基本不等式知 12332xx? 1233xx? 显然成立，当且仅当 x1 x2时，等号成立故原结论成立 思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键 (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价 (或充分 )的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证 跟 踪训练 已知 a0，证明： a2 1a2 2 a 1a 2. 证明 要证 a2 1a2 2 a 1a 2

13、， 只需证 a2 1a2 ? ?a 1a (2 2) 因为 a0，所以 ? ?a 1a (2 2)0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以只需证 ? ?a2 1a2 2 ? ? ?a 1a ?2 2? 2， 即 2(2 2)? ?a 1a 8 4 2， 只需证 a 1a2. 因为 a0， a 1a2 显然成立 (当 a 1a 1 时等号成立 )，所以要证的不等式成立 题型三 反证法的应用 命题点 1 证明否定性命题 典例 (2018 株州月考 )设 an是公比为 q 的等比数列 (1)推导 an的前 n 项和公式； (2)设 q1 ，证明：数列 an 1不是等比数列 (1)解 设 an的前

14、 n 项和为 Sn，则 当 q 1 时， Sn a1 a1 ? a1 na1； 当 q1 时， Sn a1 a1q a1q2 ? a1qn 1， qSn a1q a1q2 ? a1qn， 得， (1 q)Sn a1 a1qn， Sn a1?1 qn?1 q ， Sn? na1， q 1，a1?1 qn?1 q ， q1.(2)证明 假设 an 1是等比数列，则对任意的 k N*， (ak 1 1)2 (ak 1)(ak 2 1)， a2k 1 2ak 1 1 akak 2 ak ak 2 1， a21q2k 2a1qk a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1， a10 ， 2 qk qk 1 qk 1. q0 ， q2 2q 1 0， q 1，这与已知矛盾 假设不成立，故 an 1不是等比数列 命题点 2 证明存在性命题 典例 已知四棱锥 S ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB SD 2， SA 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证： SA 平面 ABCD； (2)在棱 SC 上是否存在异于 S， C 的点 F，使得 BF 平面 SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不