广东省汕尾市2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 高一试题高一试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. 1. 集合A =x|x是小于 4的正整数，2,3,4,5B =，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. 2,3,4 B. 2,3 C. 3 D. 2 2. 已知幂函数( )yf x=的图象过（4，2）点，则12f= A. B. 12 C. 14 D. 22 3. 设xR，则“x1”是“2x1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必

2、要条件 4. 已知扇形 OAB的周长为 12，圆心角大小为2rad，则该扇形的面积是（ ）cm. A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知角的终边与单位圆相交于点1 2 2,33P，则sin2=（ ） A. 2 29 B. 2 29 C. 4 29 D. 4 29 6. 根据下表数据，可以判定方程3ln0 xx=的根所在的区间是（ ） x 1 2 e 3 4 ln x 0 0.69 1 1.10 1.39 3x 3 1.5 1.10 1 0.75 A. (3,4) B. ( ,3)e C. (2, ) e D. (1,2) 7. 已知偶函数( )yf x=在区间(,0)内单调递增，若

3、21log3af=，()1.12bf=，12cf=，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. bac D. bca 8. 规定从甲地到乙地通话t min 的电话费由( ) ()1.60.51f tt=+(元)决定，其中t0，t是大于或等于t的最小整数，如22，2.73，2.13，则从甲地到乙地通话时间为 4.5 min 的电话费为( )元 A. 4.8 B. 5.2 C. 5.6 D. 6 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要

4、求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知集合2,2 ,2ABx kx= =，且BA，则实数k的取值可以为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 若110ab|b| B. ab C. abab+ 11. 设函数243,0( )3,0 xxxg xxx+=+，若关于x的方程g( )xm=有两个实根，则m的取值为（ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 12. 设1n和2n分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010.为了方便研究， 科学家用12,P P分别来记

5、录甲、 乙两种细菌的信息， 其中 1122lg,lgPn Pn=.以下说法正确的是 （ ） A. 1210PP+= B. 11P C. 若今天的1P值比昨天的1P增加 1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了 10 个. D. 已知lg50.7，假设科学家将乙菌的个数控制为 5万，则此时155.5P 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 命题“,0?xR xx +的否定是_ 14. 函数( )12f xx=的定义域为_. 15. 已知、为锐角，3sin5=，5cos()13+= ，则cos=_ 16. 若关于x的不等式22270

6、 xaxa的解集为()00,16x x +，则实数a =_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤. 17. 已知非空集合131Axxm=+，23100Bx xx=，. （1）当2a =时，解不等式( )2g x ； （2）若不等式( )log (5)2ag xax+在x13,312aa+上恒成立，求实数a的取值范围. 高一试题高一试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选

7、项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. 1. 集合A =x|x是小于 4 的正整数，2,3,4,5B =，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. 2,3,4 B. 2,3 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合 A，再判断阴影部分表示的集合为AB，求交集即得结果. 【详解】依题意1,2,3A =，2,3,4,5B =，阴影部分表示的集合为2,3AB=. 故选：B. 2. 已知幂函数( )yf x=的图象过（4，2）点，则12f= A. B. 12 C. 14 D. 22 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设函数式为( )af xx=，代入点（4，2）得( )

8、1211242222aaf xxf= = 考点：幂函数 3. 设xR，则“x1”是“2x1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由1x 可得21x 成立，反之不成立，所以“1x ”是“21x ”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 4. 已知扇形 OAB的周长为 12，圆心角大小为2rad，则该扇形的面积是（ ）cm. A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的半径r和弧长l，根据周长和圆心角解方程得到, l r，再利用扇形面积公式计算即得结果. 【详解】设

9、扇形 OAB 的半径 r，弧长 l，则周长212rl+ =，圆心角为2lr=， 解得3,6rl=，故扇形面积为113 6922lr = =. 故选：D 5. 已知角的终边与单位圆相交于点1 2 2,33P，则sin2=（ ） A. 2 29 B. 2 29 C. 4 29 D. 4 29 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算sin2即可. 【详解】角的终边与单位圆相交于点1 2 2,33P，故12 2,33xy= =， 所以sin,cos2 2133xy= =， 故2 214 2sin22sincos2339= = . 故选：C. 6. 根据下

10、表数据，可以判定方程3ln0 xx=的根所在的区间是（ ） x 1 2 e 3 4 ln x 0 0.69 1 1.10 1.39 3x 3 1.5 1.10 1 0.75 A. (3,4) B. ( ,3)e C. (2, ) e D. (1,2) 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数( )3lnf xxx=，通过表格判断( )( )30f e f，判断零点所在区间，即得结果. 【详解】设函数( )3lnf xxx=，易见函数在()0,+上递增， 由表可知，( )( )1 1.10.10,31.1 10.10f ef= = ， 故( )( )30f e f B. acb C. bac D.

11、 bca 【答案】D 【解析】 【 分 析 】 先 利 用 偶 函 数 的 对 称 性 判 断 函 数 在 区 间(0,)+内 单 调 递 减 ， 结 合 偶 函 数 定 义 得()221loglog 33aff=，再判断2log 3，1.12和12的大小关系，根据单调性比较函数值的大小，即得结果. 【详解】偶函数( )yf x=的图象关于 y轴对称，由( )yf x=在区间(,0)内单调递增可知，( )yf x=在区间(0,)+内单调递减. 221loglog 33= ，故()221loglog 33aff=，而()2222log 2log 3log 4,log 31,2，111.2212，

12、 由单调性知()()1.12211loglog 3232ffff=. 故选：D. 8. 规定从甲地到乙地通话t min 的电话费由( ) ()1.60.51f tt=+(元)决定，其中t0，t是大于或等于t的最小整数，如22，2.73，2.13，则从甲地到乙地通话时间为 4.5 min 的电话费为( )元 A. 4.8 B. 5.2 C. 5.6 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】计算4.55=，代入函数( )f t，计算即得结果. 【详解】由4.55=，得( ) ()()1.60.511.60.5 5 15.6f tt=+= +=. 故选：C. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4

13、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知集合2,2 ,2ABx kx= =，且BA，则实数k的取值可以为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先判断0k =时， B =符合题意，再由0k 时化简集合 B，即得22k= 或2，解得结果即可. 【详解】依题意BA， 当0k =时， B =A，满足题意； 当0k 时，2Bk = ，要使BA，

14、则有22k= 或2，解得1k = . 综上，1k = 或0或1. 故选：ABC. 10. 若110ab|b| B. ab C. abab+ 【答案】CD 【解析】 【分析】 先利用不等式性质得到0ba，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可. 【详解】由110ab知，0,0ab，110ab，即0baab，故0ba， 所以|a| |b|，A 错误，B 错误； 由0,0ab知，0ab+，则abab+，故 C 正确； 由0ba知，0ab ，则()()330ab ，故33ab，D 正确. 故选：CD. 11. 设函数243,0( )3,0 xxxg xxx+=+，若关于x的方程g( )xm=有两个实根

15、，则m的取值为（ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 【答案】BD 【解析】 【分析】画出函数图象，结合图象即得结果. 【详解】函数g( )x的图象如下， 故当1m = 或3时，g( )xm=有两个实根. 故选：BD. 12. 设1n和2n分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010.为了方便研究， 科学家用12,P P分别来记录甲、 乙两种细菌的信息， 其中 1122lg,lgPn Pn=.以下说法正确的是 （ ） A. 1210PP+= B. 11P C. 若今天的1P值比昨天的1P增加 1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了 10 个. D. 已

16、知lg50.7，假设科学家将乙菌的个数控制为 5万，则此时155.5P 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知可得101210n n=，两边取对数，可判断选项 A；当11n =时，10P =，可判断选项 B；取11P =和12P =，可判断选项 C；根据乙菌的个数求出甲菌个数，可判断选项 D. 【详解】因为甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010，所以101210n n=， 所以12lg()10n n=，即12lglg10nn+=，所以1210PP+=，故 A 正确； 当11n =时，10P =，故 B 错误； 若11P =，则110n =，若12P =，则1100n =，此时增加了90个，故

17、 C 错误； 若425 10n = ，则10514102 105 10n =， 所以511lglg(2 10 )lg251 lg555.3(5,5.5)Pn=+= +，故 D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 命题“,0?xR xx +的否定是_ 【答案】,0 xR xx +； 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题即可得解； 【详解】 解： 因为命题“,0 xR xx +即可得出函数( )f x的定义域. 【详解】对于函数( )12f xx=，有20 x，解得2x . 因此，函数( )

18、12f xx=的定义域为(),2. 故答案为：(),2. 15. 已知、为锐角，3sin5=，5cos()13+= ，则cos=_ 【答案】1665 【解析】 【分析】由，都是锐角，得出+的范围，由sin和cos()+的值，利用同角三角函数的基本关系分别求出cos和sin()+的值，然后把所求式子的角变为()+，利用两角和与差的余弦函数公式化简计算，即得结果 【详解】，都是锐角，(0, )+， 又3sin5=，5cos()13+= ，4cos5=，12sin()13+=， 则coscos()=+cos()cossin()sin=+54123135135= +1665= 故答案为：1665. 1

19、6. 若关于x的不等式22270 xaxa的解集为()00,16x x +，则实数a =_ 【答案】2 2 【解析】 【分析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合()()221212124xxxxx x=+解得参数 a即可. 【详解】关于x的不等式22270 xaxa的解集为()00,16x x +， 则方程22270 xaxa=的两根为1020,16xx xx=+，则()120021200162167xxxxax xxxa+=+=+= ， 则由()()221212124xxxxx x=+，得()()22216247aa= ，即28a =， 故2 2a = . 故答案为：2 2

20、. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知非空集合131Axxm=+，23100Bx xx= （1）当2m =时，求AB； （2）若AB，求实数m的取值范围 【答案】 （1）15xx； （2）403，. 【解析】 【分析】 （1）2m =时，先解一元二次不等式，化简集合 A和 B，再进行交集运算即可； （2）根据子集关系列不等式，解不等式即得结果. 【详解】解： （1）当2m =时，17Axx=， 由23100 xx，解得25x ，25Bxx= ， A 1725Bxxxx=

21、 15xx=； （2）由（1）知25Bxx= ， ABA 且 31 1315mm+ + ，解得403m， 实数m的取值范围为403，. 18. 一家货物公司计划在距离车站不超过 8千米的范围内征地建造仓库，经过市场调查了解到下列信息：征地费用1y（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）的关系为180035yx=+.为了交通方便，仓库与车站之间还要修一条道路，修路费用2y（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）成正比.若仓库到车站的距离为 3千米时，修路费用为 18万元.设( )f x为征地与修路两项费用之和. （1）求( )f x的解析式； （2）仓库应建在离车站多远处，可使总

22、费用( )f x最小，并求( )f x最小值 【答案】 （1）800( )635f xxx=+，(0,8x； （2）当仓库建在离车站 5 千米时，总费用最少，最小值为70 万元. 【解析】 【分析】 （1）先设2(0)ykx k=，依题意求参数，即得12( )f xyy=+的解析式； （2）先整理函数800800( )62(35) 103535f xxxxx=+=+，再利用基本不等式求最值，即得函数最小值及取最小值的条件. 【详解】解： （1）根据题意，设修路费用2(0)ykx k=，318k = ，解得6k =，26yx=. 12800( )635f xyyxx=+=+，(0,8x； （2）

23、800800( )62(35) 103535f xxxxx=+=+80022(35)1035xx+=2 40 1070=，当且仅当8002(35)35xx=+ 即5x =时取等号. 当仓库建在离车站 5 千米时，总费用最少，最小值为 70 万元. 19. 已知3cos()cos()2( )sin()tan()2f+=+. （1）若为第四象限角且tan2 6= ，求( )f的值； （2）令函数( )( )3sing xf xx=+，(0,)2x，求函数( )g x的递增区间. 【答案】 （1）15； （2）03，. 【解析】 【分析】 （1）先利用诱导公式化简( )cosf=，再利用同角三角函数

24、的基本关系求解cos，代入即得结果； （2）利用两角和的正弦公式的逆应用化简函数( )g x，再利用整体代入法，结合范围得到递增区间即可. 【详解】解： （1）3cos()cos()2( )sin()tan()2f+=+cos sincos ( tan )=cos=， 22sintan2 6cossincos1= +=由，1cos5= 得， 为第四象限角，( )1cos5f=； （2）由（1）知( )cosf xx=，故( )( )3sing xf xx=+312sincos )22xx=+（2sin)6x=+（， 令22,262kxkkZ+，得222,33kxkkZ+， 又02x03x ，

25、函数( )g x的递增区间为03，. 20. 已知函数( )221xf xa=+为奇函数. （1）求a的值； （2）探究( )f x在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】 （1）1a =； （2）( )f x在R上为增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由( )020021fa=+可求得a的值； （2）任取12xx，可证明( )()()()()1212122 2202121xxxxf xf x=+，则()()120f xf x，从而可得结论. 【详解】 （1）由于( )f x是定义在R上的奇函数， 故( )020021fa=+，解得1a =. 经检验，( )22

26、112121xxxf x= =+是奇函数； （2）( )f x是R上的增函数，证明如下： 任取12xx， ( )()()()()1212122 222121xxxxf xf x=+， 由于12xx，所以12220 xx， 所以()()120f xf x，即()()12f xf x，( )f x的图象相邻两条对称轴的距离为2， （1）求函数( )f x的解析式； （2）求函数( )( )cos2g xf xx=在,12 6上的取值范围. 【答案】 （1）( )4sin(2)6f xx=+； （2）0,3. 【解析】 【分析】 （1）先根据对称性和周期公式求，选择，化简4sin(2)6yx=+，根

27、据对称性利用整理代入法求参数即可；条件，直接根据对称性，利用整理代入法求参数即可； （2）先利用辅助角公式，化简函数( )2sin(4) 16g xx=+，再由126x，得到1sin(4)126x+，即得( )g x取值范围. 【详解】解：函数( )4sin()f xx=+的图象相邻两条对称轴的距离为2， 22T=，即T=，22T=，( )4sin(2)f xx=+. (1)若补充条件，函数()12yf x=的图象关于原点对称. ()4sin 2()4sin(2)12126yf xxx=+=+ ,6kkZ= 即6,kkZ=+， 02，1k=时，6=， 函数( )f x的解析式为( )4sin(

28、2)6f xx=+； 若补充条件，函数( )yf x=的图象关于直线23x=对称， 2sin(2)13+= ，4,32kkZ+=+， 5,6kkZ= +， 02，. （1）当2a =时，解不等式( )2g x ； （2）若不等式( )log (5)2ag xax+在x13,312aa+上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）26xx与01a 解得 26x 不等式( )2g x 的解集为26xx+ 且，解得112aa且 ( )log ()log (5)aaf xxaax=+ 221(65)aogxaxa=+，( ,5 )xaa ( )( )log (5)2af xg xax=+在13,3

29、12aa+上恒成立 222log (65)logaaxaxaa+在13,312aa+上恒成立 令22( )65h xxaxa= +，x13,312aa+ ( )h x的图象是开口向下，对称轴方程为3xa=的抛物线. 1a 时，222log (65)logaaxaxaa+在13,312aa+上恒成立 等价于22max( )(3 )4h xhaaa= 解得0a =，这与1a 矛盾. 当112a时，222log (65)logaaxaxaa+在13,312aa+上恒成立 等价于22min( )(31)41h xhaaa=+= 解得33a 或33a 又112a 313a 综上所述，实数a的取值范围是3,1)3 【点睛】关键点点睛：由题意转化为222log (65)logaaxaxaa+在13,312aa+上恒成立，分类讨论去掉对数符号， 转化为二次函数在13,312aa+上的最大值或最小值， 是解题的关键所在， 属于中档题.