广东省广州市番禺区2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 2020 学年第一学期高一数学科期末测试题学年第一学期高一数学科期末测试题 【试卷说明】本试卷分第【试卷说明】本试卷分第卷（选择题） 、第卷（选择题） 、第卷（非选择题）两部分，试卷共卷（非选择题）两部分，试卷共 4 页，全卷页，全卷满分满分 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟考生应将自己的姓名、考试证号，试题答案等全部填分钟考生应将自己的姓名、考试证号，试题答案等全部填（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回回 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）

2、 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1. 设集合 2,0,2A= ，220Bx xx=+=，则AB =（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2 2. 已知a，b，c都是实数，则“ab”是“22acbc ，则45xx+的最小值为 A. -1 B. 3 C. -3 D. 1 4. 设0.7033 ,log 2abe c=，则 a，b，c的大小关系为（ ） A abc B. bac C. bca D. cba，若关于 x的方程(

3、 )0f xm=恰有两个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. 0,1) C. (1,3)0 D. 1,3)0 二、选择题： （本大题共二、选择题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分 ）分 ） 9. 下列四组函数中，表示同一函数是（ ） A. 2( )lgf xx=与( )2lgg xx= B. ( )1f xx=-与33( )(1)g xx= C

4、. ( )2,f xxx=+R与( )2,g xxx=+Z D. 1( )1uf uu+=与1( )1tf tt+= 10. 函数()sinyAx=+(0A，0，0)在一个周期内的图象如图所示，则( ) A. 该函数的解析式为22sin33yx=+ B. 该函数图象的对称中心为,03k，kZ C. 该函数的增区间是53,344kk+，kZ D. 把函数2sin3yx=+图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 11. 已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解为x|x3或 x4，则下列说法正确的是（ ） A. a0 B. 不等式 bx+c0 的解集为x|x12

5、 C. a+b+c0 的的 D. 不等式 cx2bx+a0的解集为1|4x x 12. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 满足 , , aPa b c的集合 P的个数是 3个 B. 命题“xR ，使210 xx+ ” C. 函数21( )21xxf x-=+的图象关于 y 轴对称 D. 函数21( )21xxf x-=+的值域为( 1,1) 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 三、填空题： （本大题共三、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13. 151lg2lg222+=_. 14. 函数2( )1 logf xx=的定

6、义域为_ 15. 为了得到函数3sin 23yx=的图象，可以将函数3sin2yx=的图象向右平移_个单位长度而得 16. 若不等式220axxa+的周期是. （1）求( )f x的单调递增区间； （2）求( )f x在0,2上的最值及其对应的x的值. 21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg / m，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg / m.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染

7、物数量为1r，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量nr，可由函数模型()()0.5*0015,npnrrrrpR nN+=给出，其中n是指改良工艺的次数. （1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg / m，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取lg20.3=） 22. 定义在 4,4上的奇函数( )f x，已知当 4,0 x 时，1( )43xxaf x =+ （1）求( )f x在0,4上的解析式； （2）若 2, 1x 时，不等式(

8、)223xxmf x 恒成立，求实数m的取值范围 2020 学年第一学期高一数学科期末测试题学年第一学期高一数学科期末测试题 【试卷说明】本试卷分第【试卷说明】本试卷分第卷（选择题） 、第卷（选择题） 、第卷（非选择题）两部分，试卷共卷（非选择题）两部分，试卷共 4 页，全卷页，全卷满分满分 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟考生应将自己的姓名、考试证号，试题答案等全部填分钟考生应将自己的姓名、考试证号，试题答案等全部填（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回回

9、 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1. 设集合 2,0,2A= ，220Bx xx=+=，则AB =（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合 B，再利用集合交集运算即得结果. 【详解】 2,0,2A= ，2202,1Bx xx=+= ，则2AB = . 故选：D 2. 已知a，b，c都是实数，则“ab”是“22acbc”的（ ） A.

10、 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用充分、 必要条件的定义， 结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系， 即可知条件间的充分、必要关系. 【详解】当ab时，若0c =时22acbc不成立； 当22acbc时，则必有ab成立， “ab”是“22acbc ，则45xx+的最小值为 A. -1 B. 3 C. -3 D. 1 【答案】A 的 【解析】 【详解】分析：代数式45xx+可以配凑成4555xx+ +，因50 x+，故可以利用基本不等式直接求最小值. 详解：44552 25155xxxx+=+ + = +，当

11、且仅当3x = 时等号成立，故选 A. 点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足. 4. 设0.7033 ,log 2abe c=，则 a，b，c的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. bca D. cba，1b =，根据对数函数的性质求得01c=， 由对数函数的性质，知3330log 1log 2log 31=，即01c 所以cba， 解得1x ， 也即函数的定义域为(),1， 由此排除A,B选项.当12x

12、=时，1ln02y =，若关于 x的方程( )0f xm=恰有两个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. 0,1) C. (1,3)0 D. 1,3)0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，函数( )yf x=与ym=图像有两个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可. 【详解】解：因为关于 x的方程( )0f xm=恰有两个不同的实数解， 所以函数( )yf x=与ym=图像有两个交点， 作出函数图像，如图， 所以1,3)0m时，函数( )yf x=与ym=图像有两个交点， 所以实数 m的取值范围是1,3)0 故选：D 二、选择题： （本大题共二、选择题：

13、（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分 ）分 ） 9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 2( )lgf xx=与( )2lgg xx= B. ( )1f xx=-与33( )(1)g xx= C. ( )2,f xxx=+R与( )2,g xxx=+Z D. 1( )1uf uu+=与1( )1tf tt+= 【答案】BD 【解析】 【分析】分别判别四个选项的函数的定义

14、域及对应关系是否相同，即可得解. 【详解】对于 A，函数2( )lgf xx=的定义域为|0 x x ，函数( )2lgg xx=的定义域为|0 x x ，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故 A 错误； 对于 B，函数( )1f xx=-的定义域为 R，函数33( )(1)1g xxx=的定义域为 R，并且对应关系相同，是同一函数，故 B 正确； 对于 C，函数( )2,f xxx=+R与函数( )2,g xxx=+Z定义域不同，不是同一函数，故 C 错误； 对于 D，函数1( )1uf uu+=的定义域为)1,1，函数1( )1tf tt+=的定义域为)1,1，并且对应关系相同，是同一函

15、数，故 D 正确； 故选：BD 10. 函数()sinyAx=+(0A，0，0)在一个周期内的图象如图所示，则( ) A. 该函数的解析式为22sin33yx=+ B. 该函数图象的对称中心为,03k，kZ C. 该函数的增区间是53,344kk+，kZ D. 把函数2sin3yx=+的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项 A：根据图像和已知条件求出A和最小正周期T，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项 BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项 D：利用伸缩变换即可求解.

16、 【详解】由题图可知，2A=，周期2434T=， 所以23=，则22sin3yx=+， 因为当4x=时，22sin234y=+=，即sin16骣琪 +=琪桫， 所以262k+=+，kZ，即23k=+，kZ， 又0，故3=， 从而22sin33yx=+，故 A正确； 令233xk+=，kZ，得322xk= +，kZ，故 B 错误； 令2222332kxk+，kZ， 得53344kxk+，kZ，故 C正确； 函数2sin3yx=+的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变， 可得到22sin33yx=+，故 D 正确 故选：ACD. 11. 已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的

17、解为x|x3或 x4，则下列说法正确的是（ ） A. a0 B. 不等式 bx+c0 的解集为x|x12 C. a+b+c0 D. 不等式 cx2bx+a0的解集为1|4x x 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意知，3和 4是方程 ax2+bx+c0的两根，且 a0，利用韦达定理可推出12baca= = ，再代入解选项中的不等式，即可 【详解】由题意知，3和 4是方程 ax2+bx+c0的两根，且 a0，即选项 A正确； 由韦达定理知，34( 3) 4baca += =，即12baca= = ， 所以不等式 bx+c0 可化为ax12a0，即 x+120，解得 x12，即选项 B 正确；

18、 不等式 cx2bx+a0 可化12ax2+ax+a0，即 12x2x10，解得 x14或 x13，即选项 D正确； 因1x|x3 或 x4，所以当 x1 时，有 a+b+c0，即选项 C错误 故选：ABD 12. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 满足 , , aPa b c的集合 P的个数是 3个 B. 命题“xR ，使210 xx+ ” C. 函数21( )21xxf x-=+的图象关于 y 轴对称 D. 函数21( )21xxf x-=+的值域为( 1,1) 【答案】AD 【解析】 【分析】利用集合间的包含关系可求出集合 P进而判断 A；利用特称命题的否定是全称命题可判断 B；利用函

19、数的奇偶性可判断 C；利用常数分离法及指数函数的性质可判断 D. 【详解】对于 A，满足 , , aPa b c的集合 P可以 , , , , , , a ba ca b c，故 A正确； 对于 B，命题“xR ，使210 xx+ ?+ ，20221x +， 22021x +，21 1121x 【详解】由题意得200021 log002xxxxx ( )( )( )()0g xf xf x 15. 为了得到函数3sin 23yx=的图象，可以将函数3sin2yx=的图象向右平移_个单位长度而得 【答案】6（答案不唯一） ； 【解析】 【分析】由于3sin 23sin 236yxx=，再根据平移

20、求解即可. 【详解】解：由于3sin 23sin 236yxx=， 故将函数3sin2yx=的图象向右平移6个单位长度可得3sin 23yx=函数图像. 故答案为：6 16. 若不等式220axxa+对一切Rx恒成立，则 a的取值范围是_. 【答案】(), 1 【解析】 【分析】先讨论0a =时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解. 【详解】当0a =时，则220axxa+化为20 x （不恒成立，舍） ， 当0a 时，要使220axxa+对一切Rx恒成立， 需20440aa，即1a ， 即 a的取值范围是(), 1 . 故答案为：(), 1 . 四、解答题： （本大题共四、

21、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数( )bf xxx=+过点(1,2) （1）求( )f x的解析式； （2）求( 1)f 的值； （3）判断( )f x在区间(1,)+上的单调性，并用定义证明 【答案】 （1）1( )f xxx=+ （2）( 1)2f = （3）( )f x在区间(1,)+上单调递增；证明见解析 【解析】 【分析】 （1）直接将点(1,2)的坐标代入函数中求出b，从而可求出函数解析式， （2）直接利用解析求解即可， （3）利用单调性的定义直接证明即可 【

22、小问 1 详解】 函数( )bf xxx=+过点(1,2)，121b+=， 1b =，得( )f x的解析式为：1( )f xxx=+ 【小问 2 详解】 1( 1)121f = += 【小问 3 详解】 ( )f x在区间(1,)+上单调递增 证明：12,(1,)x x+，且12xx，有 12121211yyxxxx=+ ()()1212121xxx xx x= 1212,(1,),x xxx+ ()()12121210 xxx xx x，即12 yy的周期是. （1）求( )f x的单调递增区间； （2）求( )f x在0,2上的最值及其对应的x的值. 【答案】 （1）(),63kkkZ+

23、； （2）当0 x =时，( )min2f x= ；当3x=时，( )max1f x=. 【解析】 【分析】 （1）先由周期为求出2=,再根据222262kxk+,kZ进行求解即可； （2）先求出52666x,可得12sin 226x ,进而求解即可 【详解】 （1）解：2T=,2=, 又0,2=,( )2sin 216f xx=, 222262kxk+,kZ, 222233kxk+,kZ, 63kxk+,kZ, ( )f x的单调递增区间为(),63kkkZ+ （2）解：02x02x ,52666x, 1sin 2126x, , 12sin 226x , 22sin 21 16x , 当0

24、x =时,( )min2f x= , 当226x=,即3x=时,( )max1f x= 【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题 21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg / m，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg / m.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量nr，可由函数模型()()0.5*

25、0015,npnrrrrpR nN+=给出，其中n是指改良工艺的次数. （1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg / m，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取lg20.3=） 【答案】 （1）()0.50.5*20.06 5nnrnN=； （2）至少进行 6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【解析】 【分析】 （1）由题设可得方程0.51.942(21.94) 5p+=，求出p，进而写出函数模型； （2）由（1

26、）所得模型，结合题设0.08nr ，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数. 【详解】 （1）由题意得：02r =，11.94r =， 当1n =时，()0.510015prrrr+=，即0.51.942(21.94) 5p+=，解得0.5p = ， ()0.50.5*20.06 5nnrnN=，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.06 5nnrnN=. （2）由题意得，0.50.520.0650.08nnr=，整理得：0 50 5.1 950.20 6n，即0.50.5532n， 两边同时取常用

27、对数，得：lg320 50 55.lg. n ，整理得：5lg2211lg2n +， 将lg20.3=代入，得5lg2302115.31lg27+ =+ ，又*nN， 6n ， 综上，至少进行 6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 22. 定义在 4,4上的奇函数( )f x，已知当 4,0 x 时，1( )43xxaf x =+ （1）求( )f x在0,4上的解析式； （2）若 2, 1x 时，不等式( )223xxmf x 恒成立，求实数m的取值范围 【答案】 （1）( )34xxf x =； （2）254,+ 【解析】 【分析】 （1）由函数( )f x是奇

28、函数，求得1a = ，再结合函数的奇偶性，即可求解函数( )f x在0,4上的解析式； （2）把2, 1x ，不等式( )232xxmf x 恒成立，转化为1223xxm+，构造新函数( )1223xxg x=+，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解 【详解】解： （1）由题意，函数( )f x是定义在4,4上的奇函数， 所以( )010fa= +=，解得1a = ， 又由当4,0 x 时，( )1114343xxxxaf x =+=， 当0,4x时，则4,0 x，可得()114343=xxxxfx， 又( )f x是奇函数，所以( )()34xxf xfx= =， 所以当0,4x

29、时，( )34xxf x = （2）因为2, 1x ，( )232xxmf x 恒成立， 即1422133xxxxm在2, 1x 恒成立，可得14321xxxm+在2, 1x 时恒成立， 因为20 x，所以1223xxm+， 设函数( )1223xxg x=+，根据基本初等函数的性质，可得函数( )g x在R上单调递减， 因为2, 1x 时，所以函数( )g x的最大值为()2225412223g=+=， 所以254m ，即实数m的取值范围是254,+ 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及利用分离参数，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题