通用版2019版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数课时达标检测五十九直接证明与间接证明数学归纳法（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（五十九） 直接证明与间接证明、数学归纳法 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 直接证明 1已知函数 f(x) ? ?12 x， a， b 为正实数， A f? ?a b2 ， B f( ab)， C f? ?2aba b ，则 A，B， C 的大小关系为 ( ) A A B C B A C B C B C A D C B A 解析：选 A 因为 a b2 ab 2aba b，又 f(x) ? ?12 x在 R 上是单调减函数，故 f? ?a b2 f( ab) f? ?2aba b ，即 A B C. 2已知实数 a， b， c 满足 b c

2、 6 4a 3a2， c b 4 4a a2，则 a， b， c 的大小关系是 ( ) A c ba B ac b C cba D acb 解析 ： 选 A c b 4 4a a2 (2 a)20 ， c b.已知两式作差得 2b 2 2a2，即 b 1 a2. 1 a2 a ? ?a 12 2 340， 1 a2a. b 1 a2a. c ba， 故选 A. 3 (2018 山西大同质检 )分析法又称 执果索因法，若用分析法证明 “ 设 abc，且 a b c 0，求证： b2 ac0 B a c0 C (a b)(a c)0 D (a b)(a c)0，即证 (2a c)(a c)0，即证

3、 2a (a b)(a c)0，即证 (a b)(a c)0，故索的因应是 (a b)(a c)0. 4已知 a， b R， m 6a36a 1 1， n13b2 b 56，则下列结论正确的是 ( ) A m n B m n C mn D mcb 6已知点 An(n， an)为函数 y x2 1图象上的点， Bn(n， bn)为函数 y x 图象上的点，其中 n N*，设 cn an bn，则 cn与 cn 1的大小关系为 _ 解析：由条件得 cn an bn n2 1 n 1n2 1 n， cn随 n 的增大而减小 cn 1cn 1 对点练 (二 ) 间接证明 1用反证法证明命题： “ 若

4、a， b， c， d R， a b 1， c d 1，且 ac bd1，则 a，b， c， d 中至少有一个负数 ” 的假设为 ( ) A a， b， c， d 中至少有一个正数 B a， b， c， d 全都为正数 C a， b， c， d 全都为非负数 D a， b， c， d 中至多有一 个负数 解析：选 C 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而 “ a， b， c， d 中至少有一个负数 ” 的否定是 “ a， b， c， d 全都为非负数 ” 2用反证法证明 “ 若 ABC的三边 a， b， c的倒数成等差数列，则 B 2 B B 2 C B 2 D B 2 答案： C 3

5、用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b 0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是 ( ) A 方程 x3 ax b 0 没有实根 B方程 x3 ax b 0 至多有一个实根 C方程 x3 ax b 0 至多有两个实根 D方程 x3 ax b 0 恰好有两个实根 解析：选 A 反证法中否定结论需全否定， “ 至少有一个 ” 的否定为 “ 一个也没有 ” 对点练 (三 ) 数学归纳法 1用数学归纳法证明 2n 2n 1， n 的第一个取值应是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 C n 1 时， 21 2,21 1 3,2

6、n 2n 1 不成立； n 2 时， 22 4,22 1 5,2n 2n 1 不成立； n 3 时， 23 8,23 1 7,2n 2n 1 成立 n 的第一个取值应是 3. 2设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足当 f(k) k 1 成立时，总能推出f(k 1) k 2 成立，那么下列命题总成立的是 ( ) A若 f(1)2 成立，则 f(10)11 成立 B若 f(3)4 成立，则当 k1 时，均有 f(k) k 1 成立 C若 f(2)3 成立，则 f(1)2 成立 D若 f(4)5 成立，则当 k4 时，均有 f(k) k 1 成立 解析：选 D 当 f(k) k 1

7、 成立时，总能推出 f(k 1) k 2 成立，说明如果当 k n时， f(n) n 1 成立，那么当 k n 1 时， f(n 1) n 2 也成立，所以如果当 k 4 时，f(4)5 成立，那么当 k4 时， f(k) k 1 也成立 3用数学归纳法证明 1 2 3 ? n2 n4 n22 ，则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上的项为 _ 解析：当 n k 时左端为 1 2 3 ? k (k 1) (k 2) ? k2， 则当 n k 1 时，左端为 1 2 3 ? k2 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2， 故增加的项为 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)

8、2. 答案： (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2 大题综合练 迁移贯通 1已知数列 an的通项公式为 an 12n 1.求证：数列 an中不存在三项按原来顺序成等差数列 证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap 1， aq 1， ar 1(pqr，且 p， q， r N*)， 则 2 12q 12p 12r， 所以 22 r q 2r p 1. 又因为 pqr，且 p， q， r N*，所以 r q， r p N*. 所以 式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立 所以假设不成立，原命题得证 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2在数列 an与 bn中， a1 1， b1 4，数

9、列 an的前 n 项和 Sn满足 nSn 1 (n 3)Sn0,2an 1为 bn与 bn 1的等比中项， n N*. (1)求 a2， b2的值； (2)求数列 an与 bn的通项公式 解： (1)由题设有 a1 a2 4a1 0， a1 1，解得 a2 3. 又 4a22 b2b1， b1 4，解得 b2 9. (2)由题设 nSn 1 (n 3)Sn 0， a1 1， b1 4，及 a2 3， b2 9，进一步可得 a3 6， b3 16， a4 10， b4 25， 猜想 an n n2 ， bn (n 1)2， n N*. 先证 an n n2 ， n N*. 当 n 1 时， a1

10、 2 1，等式成立 当 n2 时，用数学归纳法证明如下： ( )当 n 2 时， a2 2 3，等式成立 ( )假设当 n k 时等式成立，即 ak k k2 ， k2. 由题设， kSk 1 (k 3)Sk， (k 1)Sk (k 2)Sk 1. 的两边分别减去 的两边，整理得 kak 1 (k 2)ak； 从而 ak 1 k 2k ak k 2k k k2 k k 12 . 这就是说，当 n k 1 时等式也成立 根据 ( )和 ( )可知，等式 an n n2 对任何的 n2 成立 综上所述，等式 an n n2 对任何的 n N*都成立 再用数学归纳法证明 bn (n 1)2， n N

11、*. (a)当 n 1 时， b1 (1 1)2 4，等式成立 (b)假设当 n k 时等式成立， 即 bk (k 1)2，那么 bk 1 4a2k 1bk k 2 k 2k 2 (k 1) 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 这就是说，当 n k 1 时等式也成立 根据 (a)和 (b)可知，等式 bn (n 1)2对任何的 n N*都成立 3对于定义域为 0,1的函数 f(x)，如果同时满足： 对任意 的 x 0,1，总有 f(x)0 ； f(1) 1； 若 x10 ， x20 ， x1 x21 ，都有 f(x1 x2) f(x1) f(x2)成立，则称函数 f(x)为理想函数 (1

12、)若函数 f(x)为理想函数，证明： f(0) 0； (2)试判断函数 f(x) 2x(x 0,1)， f(x) x2(x 0,1)， f(x) x(x 0,1)是不是理想函数 解： (1)证明：取 x1 x2 0，则 x1 x2 01 ， f(0 0) f(0) f(0)， f(0)0. 又对任意的 x 0,1，总有 f(x)0 ， f(0)0 ，于是 f(0) 0. (2)对于 f(x) 2x， x 0,1， f(1) 2 不满足新定义中的条件 ， f(x) 2x， (x 0,1)不是理想函数 对于 f(x) x2， x 0,1，显然 f(x)0 ，且 f(1) 1. 任意的 x1， x2

13、 0,1， x1 x21 ， f(x1 x2) f(x1) f(x2) (x1 x2)2 x21 x22 2x1x20 ， 即 f(x1) f(x2) f(x1 x2) f(x) x2(x 0,1)是理想函数 对于 f(x) x， x 0,1，显然满足条件 . 对任意的 x1， x2 0,1， x1 x21 ， 有 f2(x1 x2) f(x1) f(x2)2 (x1 x2) (x1 2 x1x2 x2) 2 x1x20 ， 即 f2(x1 x2) f(x1) f(x2)2. f(x1 x2) f(x1) f(x2)，不满足条件 . f(x) x(x 0,1)不是理想函数 综上， f(x) x2(x 0,1)是理想函数， f(x) 2x(x 0,1)与 f(x) x(x 0,1)不是理想函数