通用版2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时达标检测十六导数与函数的综合问题（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（十六） 导数与函数的综合问题 一般难度题 全员必做 1 (2017 全国卷 )设函数 f(x) (1 x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时， f(x) ax 1，求 a 的取值范围 解： (1)f( x) (1 2x x2)ex. 令 f( x) 0，得 x 1 2或 x 1 2. 当 x ( ， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， ) 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， 1 2)， ( 1 2， ) 上单调递减，在 ( 1 2， 1

2、 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex. 当 a1 时，设函数 h(x) (1 x)ex，则 h( x) xex 0(x 0) 因此 h(x)在 0， ) 上单调递减， 又 h(0) 1，故 h(x)1 ， 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1. 当 0 a 1 时，设 函数 g(x) ex x 1， 则 g( x) ex 1 0(x 0)， 所以 g(x)在 0， ) 上单调递增，而 g(0) 0， 故 ex x 1. 当 0 x 1 时， f(x) (1 x)(1 x)2， (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2)， 取 x0 5 4a

3、12 ， 则 x0 (0,1)， (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0， 故 f(x0) ax0 1. 当 a0 时，取 x0 5 12 ， 则 x0 (0,1)， f(x0) (1 x0)(1 x0)2 1 ax0 1. 综上， a 的取值范围是 1， ) 2 (2018 沈阳监测 )已知函数 f(x) aln x(a0)， e 为自然对数的底数 (1)若过点 A(2， f(2)的切线斜率为 2，求实数 a 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 x0 时，求证 f(x) a? ?1 1x ； (3)若在区间 (1， e)上 exa e1a x0)， 则 g( x) a?

4、?1x 1x2 . 令 g( x)0，即 a? ?1x 1x2 0，解得 x1， 令 g( x)x 1ln x. 令 h(x) x 1ln x，则 h( x)ln x 1 1xx 2 ， 由 (2)知，当 x (1， e)时， ln x 1 1x0， h( x)0，即 h(x)在 (1， e)上单调递增， h(x)0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k 2 时， f( x) 1x2 2x ? ?1x 1 2 11 ，当且仅当 x 1 时，等号成立 所以函数 f(x)的图象的切线斜率中的最大值为 1. (2)因为关于 x 的方程 f(x) k 有解，令 g(x) f(x) k 1x kl

5、n x k，则问题等价于函数 g(x)存在零点 g( x) 1x2 kx kx 1x2 .当 k0， g(e1 1k) 1e1 1k k? ?1 1k k 1e1 1k 10 时，令 g( x) 0，得 x 1k.g( x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x ? ?0， 1k 1k ? ?1k， g( x) 0 g(x) 极小值 所以 g? ?1k k k kln 1k kln k 为函数 g(x)的最小值，当 g? ?1k 0，即 00，所以函数 g(x)存在零点综上，当 k0，设 g(x) ln x mx. (1)求 a 的值； (2)对任意 x1x20， g x1 g x2x1 x

6、2 a.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( a,1 a) 1 a (1 a， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) 0 f(x) 极小值 因此， f(x)在 1 a 处取得最小值 故由题意 f(1 a) 1 a 0，所以 a 1. (2)由 g x1 g x2x1 x2x20 恒成立， 即 h(x) g(x) x ln x x mx在 (0， ) 上为减函数 h( x) 1x 1 mx20 在 (0， ) 上恒成立， 所以 m x x2在 (0， ) 上恒成立， 而 (x x2)max 14，则 m 14， 即实数 m 的取值范围为 ? ?14， .

7、 (3)由题意知方程可化为 ln x mx x，即 m x2 xln x(x1) 设 m(x) x2 xln x，则 m( x) 2x ln x 1(x1) 设 h(x) 2x ln x 1(x1) ，则 h( x) 2 1x0，因此h(x)在 1， ) 上单调递增， h(x)min h(1) 1.所以 m(x) x2 xln x 在 1， ) 上单调递增因此当 x1 时， m(x) m(1) 1.所以当 m1 时方程有一个根，当 m0 恒成立，则函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增，无单调递减区间； 当 m0 时，由 f( x) 1 mxx 0，得 x ? ?0， 1m ， 由 f( x

8、) 1 mxx 0 时，函数 f(x)的单调递增区间是 ? ?0， 1m ，单调递减区间是 ? ?1m， . (2)由 (1)知：当 m0 时， f(x)在 (0， ) 上单调递增， f(1) 0，显然不符合题意； 当 m0 时， f(x)max f? ?1m ln 1m 1 m m ln m 1， 只需 m ln m 10 即可 令 g(x) x ln x 1，则 g( x) 1 1x x 1x ， x (0， ) ， g(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增 g(x)min g(1) 0. g(x)0 对 x (0， ) 恒成立， 也就是 m ln m 10 对 m (

9、0， ) 恒成立， 由 m ln m 1 0，解得 m 1. 若 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，则 m 1. (3)证明： f b f ab a ln b ln a a bb a ln b ln ab a 1ln baba 1 1a 1. 由 (2)得 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，即 ln x x 1，当且仅当 x 1 时取等号 又由 01， 00， 故当 x 1， x0)时， H1( x)0， H1(x)单调递增 因此，当 x 1， x0) (x0,2时， H1(x)H1(x0) f(x0) 0，可得 H1(m)0，即 h(m)0. 令函数 H2(x) g(x0)(x x0

10、) f(x)， 则 H2( x) g(x0) g(x) 由 (1)知 g(x)在 1,2上单调递增， 故当 x 1， x0)时， H2( x)0， H2(x)单调递增； 当 x (x0,2时， H2( x)0，故 f(x)在 1,2上单调递增，所以 f(x)在区间 1,2上除x0外没有其他的零点，而 pq x0，故 f? ?pq 0. 又因为 p， q， a 均为整数，所以 |2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4|是正 整数，从而 |2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4|1. 所以 ? ?pq x0 1g q4. 所以只要取 A g(2)，就有 ? ?pq x0 1Aq4.

11、 2 (2017 江苏高考 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx 1(a0， b R)有极值，且导函数f( x)的极值点是 f(x)的零点 (极值点是指函数取极值时对 应的自变量的值 ) (1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明： b23a； (3)若 f(x)， f( x)这两个函数的所有极值之和不小于 72，求 a 的取值范围 解： (1)由 f(x) x3 ax2 bx 1， 得 f( x) 3x2 2ax b 3? ?x a3 2 b a23. 当 x a3时， f( x)有极小值 b a23. 因为 f( x)的极值点 是 f(x)的零点， 所以 f? ?

12、 a3 a327a39ab3 1 0， 又 a0，故 b 2a29 3a. 因为 f(x)有极值， 故 f( x) 0 有实根， 从而 b a2319a(27 a3)0 ，即 a3. 当 a 3 时， f( x)0(x 1)， 故 f(x)在 R 上是增函数， f(x)没有极值； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a3 时， f( x) 0 有两个相异的实根 x1 a a2 3b3 ， x2 a a2 3b3 . 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， x1) x1 (x1， x2) x2 (x2， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(

13、x)的极值点是 x1， x2.从而 a3. 因此 b 2a29 3a，定义域为 (3， ) (2)证明：由 (1)知， ba 2a a9 3a a . 设 g(t) 2t9 3t，则 g( t) 29 3t2 2t2 279t2 . 当 t ? ?3 62 ， 时， g( t)0， 从而 g(t)在 ? ?3 62 ， 上单调递增 因为 a3，所以 a a3 3， 故 g(a a)g(3 3) 3，即 ba 3.因此 b23a. (3)由 (1)知， f(x)的极值点是 x1， x2，且 x1 x2 23a， x21 x22 4a2 6b9 . 从而 f(x1) f(x2) x31 ax21 bx1 1 x32 ax22 bx2 1 x13(3x21 2ax1 b) x23(3x222ax2 b) 13a(x21 x22) 23b(x1 x2) 2 4a3 6ab27 4ab9 2 0. 记 f(x)， f( x)所有极值之和为 h(a)， 因为 f( x)的极值为 b a2319a2 3a， 所以 h(a) 19a2 3a， a3. 因为 h( a) 29a 3a20， =【 ;精品教育资源文库 】 = 于是 h(a)在 (3， ) 上单调递减 因为 h(6) 72，于是 h(a) h(6)，故 a6. 因此 a 的取值范围为 (3,6