通用版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十九利用空间向量求空间角.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十九） 利用空间向量求空间角 一般难度题 全员必做 1已知直三棱柱 ABCA1B1C1， ACB 90 ， CA CB CC1， D 为 B1C1的中点，求异面直线 BD 和 A1C 所成角的余弦值 解：如图所示，以 C 为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 设 CA CB CC1 2，则 A1(2,0,2)， C(0,0,0)， B(0,2,0)， D(0,1,2)， BD (0， 1,2)， A1C ( 2,0， 2)， cos BD ， A1C BD A1C | BD |A1C |

2、 105 . 异面直线 BD 与 A1C 所成角的余弦值为105 . 2.(2018 河南洛阳模拟 )已知三棱锥 A BCD， AD 平面 BCD， BDCD， AD BD 2， CD 2 3， E， F 分别是 AC， BC 的中点， P 为线段 BC上一点，且 CP 2PB. (1)求证： AP DE； (2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值 解： (1)证明：作 PG BD 交 CD 于点 G.连接 AG. CGGD CPPB 2， GD 13CD 23 3. AD 平面 BCD， AD DC， 在 ADG 中， tan GAD 33 ， DAG 30 ，在 Rt ADC 中

3、， AC2 AD2 CD2 4 12 16， AC 4，又 E 为 AC 的中点， DE AE 2， 又 AD 2， ADE 60 ， AG DE. AD 平面 BCD， AD BD， 又 BD CD， AD CD D， BD 平面 ADC， PG 平面 ADC， PG DE. 又 AG PG G， DE 平面 AGP，又 AP?平面 AGP， AP DE. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)以 D 为坐标原点，直线 DB、 DC、 DA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz， 则 D(0,0,0)， A(0,0,2)， B(2,0,0)， C(0,2

4、 3， 0)， E(0， 3， 1)， F(1， 3， 0)， DF (1， 3， 0)， DE (0， 3， 1)， AC (0,2 3， 2) 设平面 DEF 的法向量为 n (x， y， z)， 则? DF n 0，DF n 0，即 ? x 3y 0，3y z 0，令 x 3，则 n (3， 3， 3) 设直线 AC 与平面 DEF 所成角为 ， 则 sin |cos AC ， n | | AC n| AC | n| | 6 6|4 21 217 ， 所以 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值为 217 . 3.如图，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD， DPC 30 ，

5、 AF PC 于点 F， FE CD，交 PD 于点 E. (1)证明： CF 平面 ADF； (2)求二面角 D AFE 的余弦值 解 ： (1)证明 ： PD 平面 ABCD， AD?平面 ABCD， PD AD. 又 CD AD， PD CD D， AD 平面 PCD. 又 PC? 平面 PCD， AD PC. 又 AF PC， AD AF A， PC 平面 ADF， 即 CF 平面 ADF. (2)设 AB 1，则在 Rt PDC 中， CD 1，又 DPC 30 ， PC 2， PD 3， PCD 60. 由 (1)知 CF DF， DF CDsin 60 32 ， CF CDcos

6、 60 12. 又 FE CD， DEPD CFPC 14， DE 34 . 同理 EF 34CD 34. =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,1)，E? ?34 ， 0， 0 ， F? ?34 ， 34， 0 ， P( 3， 0,0)， C(0,1,0) 设 m (x， y， z)是平面 AEF 的一个法向量，则? m AE ，m EF .又 AE ? ?34 ， 0， 1 ， EF ? ?0， 34， 0 ， ? m AE 34 x z 0，m EF 34y 0.令 x 4，得 m (4,0， 3) 由 (1)知平面 ADF 的一

7、个法向量为 PC ( 3， 1,0)， 设二面角 D AFE 的平面角为 ，可知 为锐角， 故 cos |cos m， PC | |m PC |m| PC | 4 3192 2 5719 . 故二面角 D AF E 的余弦值为 2 5719 . 中档难度题 学优生做 1.(2018 郑州质量预测 )如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，各棱长均相等 D， E， F 分别为棱 AB， BC， A1C1的中点 (1)证明： EF 平面 A1CD； (2)若三棱柱 ABC A1B1C1为直棱柱，求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正 弦值 解： (1)证明：在三棱柱 ABC A1B1C1中，

8、AC A1C1，且 AC A1C1， 连接 ED(图略 )，在 ABC 中，因为 D， E 分别为棱 AB， BC 的中点，所以 DE AC， DE 12AC. 又 F 为 A1C1的中点，可得 A1F 12A1C1，所以 A1F DE， A1F DE， 因此四边形 A1FED 为平行四边形，所以 EF A1D， 又 EF?平面 A1CD， A1D? 平面 A1CD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 EF 平面 A1CD. (2)法一：因为底面 ABC 是正三角形， D 为 AB 的中点，所以CD AB，又 AA1 CD， AA1 AB A，所以 CD 平面 A1ABB1. 如图在平面

9、 A1ABB1内，过点 B 作 BG A1D，交直线 A1D 于点 G，连接 CG，则 BG 平面 A1CD，所以 BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角 设三棱柱的棱长为 a，可得 A1D 5a2 ，由 A1AD BGD，可得 BG 5a5 ， 在 Rt BCG 中， sin BCG BGBC 55 . 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 55 . 法二：设 A1B1的中点为 O，连接 OC1， OD，因为三棱柱 ABC A1B1C1为直棱柱，所以 OD 平面 A1B1C1，所以 OD OC1， OD OA1.又 A1B1C1为等边三角形，所以 OC1 A1B1.

10、以 O 为坐标原点， OA1 ， OD ， OC1 的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 设三棱柱的棱长为 a，则 O(0,0,0)， B? ? a2， a， 0 ， C? ?0， a， 32 a ， A1? ?a2， 0， 0 ， D(0，a,0)所以 BC ? ?a2， 0， 32 a ， A1D ? ? a2， a， 0 ， DC ? ?0， 0， 32 a . 设平面 A1CD 的法向量为 n (x， y， z)， 由? n A1D 0，n DC 0，得? a2x ay 0，32 az 0.令 x 2，得 n (2,1,0) 设直线

11、 BC 与平面 A1CD 所成的角为 ， 则 sin |n BC |n| BC | a5 a2 55 . 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 55 . 2如图 ，正方形 ABCD 的边长为 4， AB AE BF 12EF， AB EF，把四边形 ABCD 沿 AB折起，使得 AD 平面 AEFB， G 是 EF 的中点，如图 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证： AG 平面 BCE； (2)求二面角 CAEF 的余弦值 解： (1)证明：连接 BG， 因为 BC AD， AD 底面 AEFB， 所以 BC 底面 AEFB，又 AG? 底面 AEFB，所以 BC

12、AG， 因为 AB 綊 EG， AB AE，所以四边形 ABGE 为菱形，所以 AG BE， 又 BC BE B， BE?平面 BCE， BC? 平面 BCE， 所以 AG 平面 BCE. (2)由 (1)知四边形 ABGE 为菱形， AG BE， AE EG BG AB 4， 设 AG BE O，所以 OE OB 2 3， OA OG 2， 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)， A( 2,0,0)， E(0， 2 3， 0)， F(4,2 3， 0)， C(0,2 3， 4)， D( 2,0,4)， 所以 AC (2,2 3， 4)， AE (2， 2

13、3， 0)， 设平面 ACE 的法向量为 n (x， y， z)， 则? AC n 0，AE n 0，所以 ? 2x 2 3y 4z 0，2x 2 3y 0，令 y 1，则 x 3， z 3， 即平面 ACE 的一个法向量为 n ( 3， 1， 3)， 易知平面 AEF 的一个法向量为 AD (0,0,4)， 设二面角 CAEF 的大小为 ，由图易知 ? ?0， 2 ， 所以 cos |n AD |n| AD | 4 374 217 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 较高难度 题 学霸做 1.(2018 安徽省百所重点高中模拟 )如图所示的几何体由平面 PECF 截棱长为 2 的正方体得到

14、，其中 P， C 为原正方体的顶点， E， F 为原正方体侧棱长的中点，正方形 ABCD 为原正方体的底面， G 为棱 BC 上的动点 (1)求证：平面 APC 平面 PECF； (2)设 BG BC (0 1) ，当 为何值时，平面 EFG 与平面 ABCD 所成的角为 3 ？ 解： (1)证明：由已知可知， EB FD，且 EB FD， 如图，连接 BD，则四边形 EFDB 是平行四边形， EF BD. 底面 ABCD 为正方形， BD AC. AP 底面 ABCD， BD AP. 又 AC AP A， BD 平面 APC， EF 平面 APC. EF?平面 PECF， 平面 APC 平面

15、 PECF. (2)以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz， 则 B(2,2,0)， F(0,0,1)， E(2,2,1)， G(2,2 2 ， 0)， FE (2,2,0)， GE (0,2 ，1)， 设 m (x， y， z)是平面 EFG 的法向量， 故? m FE 0，m GE 0，即? x y，z 2y ， 令 y 1，可得 m (1， 1,2 )为平面 EFG 的一个法向量， 而平面 ABCD 的一个法向量为 n (0,0,1) 于是 cos 3 |cos m， n | |2 |2 4 2，解得 66 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 0 1 ， 66 . 2 (2018 山西太原模拟 )如图甲，在平面六边形 ABFCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，且AB 4， BC 2， AE DE 2， BF CF 5，点 M， N 分别是 AD， BC 的中点，分别沿直线 AD，BC 将 ADE， BCF 翻折成如图乙的空间几何体 ABCDEF. (1)利用下面的结论 或结论 ，证明： E， F， M， N 四点共面