2023年普通高等 招生全国统一考试数学模拟卷（一）.pdf

1、20232023 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数学学注意事项：1.1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2.2. 回答选择题是，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号。回答非选择题是，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一一、选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求。NM -1,0,1,

2、21,5. 1，则，若集合NMA.1,2B.2C.-1,0,1,2D.1,5的虚部是，若zzi1i 51. 2A.i 3B.i 3C.3D.3，则第三项是，前五项和为若一个数列为等差数列15. 3A.5B.-5C. 3D.-3. 4神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船。已经于 2022 年 6 月5 日上午 10 时 44 分 07 秒在酒泉卫星发射中心发射神舟十四号载人飞船， 3 名航天员进驻核心舱并在轨驻留 6 个月。 神舟十四乘组将配合地面完成空间站组装建设工作，要经历 9 种组合体构型、5次交会对接、3 次分离撤离和 2 次转位任务；将首次进驻“问天”“梦天

3、”实验舱，建立载人环境；配合地面开展两舱组合体、三舱组合体、大小机械臂测试，气闸舱出舱相关功能测试等工作；首次利用气闸舱实施出舱活动。其中，若神舟十四号的位移大小与时间的关系在 0t5，满足 g（t）=0.17t3+0.15t2+7，则 t=2 时神舟十四号的速度大小是A.8.96B.1.38C.7.54D.2.64nmCBnCAmAEEDCECDEABDABC则，且上一点，是中点，点是，在21. 5A.5B.-5C.7D.-7取值范围是，则，使得，aaxxxxfx01sin2cos2sin3)(20. 623A.，3B.，2C.3 , 2D.0，最小值是均为正数，则已知abbaba162,.

4、 724A.16B.22C.4D.8取值范围是，则的平分线，若是角上一点，且是边，中，cbADAADBCDAABC332. 8A.，6B.，3C.，12D.，4二二、选择题选择题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对得选对得 5 5 分，选对部分的得分，选对部分的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分。分。pBFAFDpBFAFCCABBpABlABACFlFppxyCO111.211.sin2.02. 922的准线相切为直径的圆与以，则倾斜角

5、为设两点，则、于且交过。直线）焦点为（：为坐标原点，抛物线已知aABDCCaDEFABCEFCABBCDEFADCBBFEDCBAABCD3-.10111111111外接球半径为，则四棱锥设正方体棱长为直线面直线异面与直线中点，则、别为、，点已知正方体重心为，则若平分则若，则若三点共线，则若的是为常数，下列结论正确，其中，已知AOBPDAOBOPOBOACABOPOBOABPBAAOBOAOPAOB31.,.,0.1121212221212121没有交点与有交点与，恒成立，则）（且）（若已知221210ln)3()()(.10)(.11.11.0,ln)(g, 2ln)3()(.12xyxxa

6、xfxhDxyxgCebaBebaAbxgxfxxxxxaxexfx三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。的系数是的展开式中）（5621.13xxx相切的直线方程是）且与圆：（过点（4)3(21 , 0.1422yxxyyeyxex则已知, 14ln, 4.15）的解集为（）（则不等式），都有（，且，上的偶函数，是定义在已知函数912, 0)()(1,)(.161212212121ffxfxfxxxxxxRxfx四、解答题：本题共、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

7、步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知在ABC中, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2228abc+-=，ABC的面积为2 3（1）求角C的大小；（2）若2 3c ，求sinsin AB的值18.记nS为等差数列 na的前n项和，已知17a ，315S （1）求 na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值19.如图所示的几何体中，111ABCABC为三棱柱，且1AA 平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，2ADCD，60ADC（1）若1AAAC，求证：1AC 平面11ABCD；（2）若2CD ，1AAAC，二面角11CADC的余弦值为24，求三棱锥11

8、CACD的体积20.一汽车销售公司对开业 4 年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料.日期第一年第二年第三年第四年优惠金额 x（千元）10111312销售量 y（辆）22243127（1）求出y关于x的线性回归方程ybxa；（2）若第 5 年优惠金额 8.5 千元，估计第 5 年的销售量 y（辆）的值.参考公式：11211,( )neiiiiiipznzliiixxyyx ynxybaybxxxxn x21.已知抛物线22(0)ypx p上一点3,2Mm到它的准线的距离为52（1）求p的值；（2）在直线l上任意一点, 2P a 作曲线C的切线，

9、切点分别为,M N，求证：直线MN过定点22.已知函数1( )lnaf xaxxx .（1）当2a 时，求函数( )f x的单调区间；（2） 设 2e3xg xmx， 当2e1a 时， 对任意11,)x ， 存在21,)x ， 使得212()2e()f xg x，证明：2eem .2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学答案一、选择题.123456789101112BCADBBDCBCABCDACD1.【答案】B【详解】考察了集合的基本运算，易得：B2 【答案】C【详解】332，故虚部为整理得：iz3 【答案】A【详解】a1+a2+a3+a4+a5=3a3=15，故 a3=54 【答案】D

10、【详解】求 g(x)的导函数即可，可以求出答案为 D5 【答案】B【详解】由向量基本运算可以求出61,65nm,故答案选 B6.【答案】B【详解】01sin2cos2sin3)(23axxxxf，化同名，将x2cos化为正弦的平方，再换元：sinx=t,则1 , 03223)(23tattttf，易求出答案为 B7 【答案】D【详解】816228162222224abbaabbaabba,故选 D8 【答案】C【详解】120)(12)(4)()(323sin23sin232sin22cbcbcbcbcbbccADbADbcSSSACDABDABC，因而即所以得：由9.【答案】BC【详解】2si

11、n2pAB ，故 A 错误；以 AB 为直径的圆与准线相切，故 B 正确；pBFAF211，故 C 正确，D 错误10.【答案】 AB【详解】EF 与 CD 异面，故 A 正确；ABEC1且 AB 面 EFC1而 EC1面 EFC1，因此 AB面 EFC1，故 B 正确；AB 与 EF 不垂直，故 C 错误；该四棱锥外接球与正方体外接球半径相同，因此半径为23a11.【答案】CD【详解】121211，OP1OA2OB1OA(11)OBBP1BA，A,B,P三点共线A 错误1|OA|22|OB|2，OPAB(1OA2OB)(OBOA)(12)OAOB2OB21OA2(12)OAOBB 错误1|O

12、A|2|OB|，OPOA1OA22OAOB1|OA|22|OA|OB|cosAOB1|OA|2(1cosAOB)，OPOA|OA|1|OA|(1cosAOB)又OPOB1OAOB2OB21|OA|OB|cosAOB2|OB|21|OA|OB|(1cosAOB)，OPOB|OB|1|OA|(1cosAOB)OPOA|OA|OP平分AOBC 正确设AB的中点为M，则OAOB2OM1213，OP1OA2OB23OMP为AOB的重心D 正确12.【答案】ACD【详解】同构二、填空题5.13 04430.14yxx或e4 .151 ,.16三、解答题17.【答案】（1）3；（2）32【解析】（1）由AB

13、C的面积为2 3可得1sin2 32abC ，由2228abc及余弦定理可得2cos8abC ，故tan3,3CC；（2）,2cos8,83CabCab，又2228,2 3abcc，可得6ab，由正弦定理sinsinsinabcABC，得sinsinsin3sinsin2aCbCCABabccc18.【答案】 （1）an=2n9； （2）Sn=n28n，最小值为16【解析】 （1）设an的公差为d，由题意得 3a1+3d=15由a1=7 得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4 时，Sn取得最小值，最小值为1619.【答案】（1）见解析

14、（2）4【解析】（1）连接1AC交1AC于E，因为1AAAC，又1AA 平面ABCD，所以1AAAC，所以四边形11A ACC为正方形，所以11ACAC，在ACD中，2,60ADCDADC，由余弦定理得2222cos60ACADCDAD CD，所以3ACCD，所以222ADACCD，所以CDAC，又1AACD，所以CD 平面11A ACC，所以1CDAC，又因为1,CDACCAC1平面A1B1CD；（2）如图建立直角坐标系，则112,0,0 ,0,2 3,0 ,0,0,2 3,0,2 3,2 3DACA112,0,2 3,2,2 3,2 3DCDA ，设平面11AC D的法向量为1111,x

15、y zn，由111100DCDA nn即1111122 3022 32 30 xzxyz，解得11113,03 ,0,1xz y， n，设平面1ACD的法向量为2222,xy zn，由12200CDCA nn，得222202 32 30 xyz，解得22220,0,1xyz n，由12221212cos| | |4311 n nnn得1，所以1,AAAC此时12,2 3,CDAAAC所以1111112 32 32432CACDD ACCVV20.【答案】（1）38.5yx；（2）第 5 年优惠金额为 8.5 千元时，销售量估计为 17 辆【解析】（1）由题中数据可得11.5,26xy，4421

16、11211,534iiiiix yx 414222141211 4 11.5 261535344 11.554iiiiix yxybxx ，故263 11.58.5 aybx ，38.5 yx；（2）由（1）得，当8.5x 时，17y ，第 5 年优惠金额为 8.5 千元时，销售量估计为 17 辆21.【答案】（1）2；（2）证明见解析【解析】（1）抛物线220Eypx p：（）的准线为2px ，由已知得32Mm，到准线的距离为52，35222p，2p ，E方程24yx，（2）由已知可设112222lxm ylxm y：， ：，由2142yxxm y，化简得21480ym y，设1122A x

17、yC xy（ ， ），（ ， ），则1214yym，12Mym，又2122Mxm，即21122 2Mmm ，同理可得：22222 2Nmm ， 211222122122102222MNmmkmmmmmm，211121222MNymxmmm：，即1212122yxm mmm，12ll，的斜率之积为2，12112mm ，即1212m m ，1213MNyxmm： 即直线MN过定点30（ ， ），当120mm时，不妨设1200mm，则122222mm ，直线MN也过点30，综上，即直线MN过定点30，22.【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】 （1）函数( )f x的定义域为(0,)，2

18、21(1)(1)( )1aaxxafxxxx ，由( )0fx，得1x 或1xa.当2a 即1 1a 时，由( )0fx得11xa，由( )0fx得01x或1xa；当2a 即1 1a 时，当0 x 时都有( )0fx；当2a 时，单调减区间是1,1a，单调增区间是0,1，1,a；当2a 时，单调增区间是0,，没有单调减区间.（2）当2e1a 时，由（1）知( )f x在21,e上单调递减，在2e ,上单调递增，从而( )f x在1,上的最小值为22(e )e3f .对任意11,x ， 存在21,x ， 使得 2212eg xf x， 即存在21,x ，使( )g x的值不超过 22ef x 在区间1,上的最小值2e3.由222e32ee3xmx 得22eexmx，22eexmx.令22ee( )xh xx，则当1,x时，max( )mh x.222232e2 eee2 ee( )xxxxxxxh xxx ，当1,2x时( )0h x；当2,)x时，2e2 eee2e0 xxxxxx，( )0h x.故( )h x在1,)上单调递减，从而2max( )(1)eeh xh，从而2eem 得证.