江苏省泰兴如皋四校2021-2022高二下学期数学期末试卷及答案.pdf

1、高二数学共 6 页第页12021202120222022 学年学年第二学期第二学期高二年级期高二年级期末考试末考试数学数学试试卷卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二项式122xx展开式中常数项是()A第 7 项B第 8 项C第 9 项D第 10 项2.在四面体OABC中，OAa ，OBb ，OCc，点M在线段OA上，且2OMMA，N是线段BC的中点，则MN ()A121232abcB221332abcrrrC111222abcD211322abc3.设nA，nB分别为等比数列 na， nb的前n项和若23nnn

2、nAaBb（a，b为常数） ，则74ab()A12881B12780C3227D27264.周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论 已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为 10.5 尺和 4.5 尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计， 则所选取这 2 个节气中至少有 1 个节气的日影长小于 5 尺的概率为()A37B47C1321D575. “莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，转子发动机

3、”的核心零部件为“曲侧面三棱柱” ，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为 5，且底面任意两顶点之间的距离为 4，则其表面积为()A.31632B.31636C.31642D.316486.(1)将k个小球随机地投入编号为 1，2，1k 的1k 个盒子中（每个高二数学共 6 页第页2盒子容纳的小球个数没有限制） ，记 1 号盒子中小球的个数为1； （2）将1k 个小球随机地投入编号为 1，2，2k 的2k 个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制） ，记2k 号盒子中小球的个数为2，则()A 1212EEDDB 1212

4、EEDDC 1212EEDDD 1212EEDD7.已知球O的半径为 2，A，B，C为球面上的三个点，2AB ，点P在AB上运动，若OP与平面ABC所成角的最大值为3，则O到平面ABC的距离为()A.23B.23C.721D.2338.已知直线0lykx k：（）既是函数 21f xx的图象的切线，同时也是函数 ln1pxg xx pRx的图象的切线，则函数 g x零点个数为()A0B1C0 或 1D1 或 2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.下列说法中，正确

5、的有（）A数据 6，2，3，4，5，7，8，9，1，10 的 70%分位数是 7B若事件A，B满足 0,1P AP B且 1ABP AP BP，则A与B独立C若随机变量16,3XB，则49D XD已知 6 个正整数，它们的平均数是 5，中位数是 4，唯一的众数是3，则这 6 个数的极差最大时，方差的值是33710. 已知等差数列 na的公差不为 0，11a 且248,a a a成等比数列，则（）A.19232aaaaB.4534aaaaC.1112nSnnD.nnSa11.18 世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量 X 服从二项分布( , )B n p，那么当 n 比较大时，可视为

6、 X 服从正态分布2,N ，其密度函数2221( )e2xx ，(,)x 任意正态分布高二数学共 6 页第页32,XN ，可通过变换xZ转化为标准正态分布（0且1） 当(0,1)ZN时，对任意实数 x，记( )()t xP Zx，则（）A.()1( )txt x B. 当0 x 时，(|)12 ( )P Zxt x C. 随 机 变 量2,XN ， 当减 小 ，增 大 时 ， 概 率(|)PX保持不变D. 随机变量2,XN ， 当, 都增大时， 概率(|)PX单调增大12. 甲罐中有 2 个红球、2 个黑球，乙罐中有 3 个红球、2 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 以A表示事件 “由

7、甲罐取出的球是红球” ，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球” ，则()AP(A)12BP(B|A)13CP(B)712DP(A|B)47三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 若函数 2lnf xxmx在 1,1f处的切线过点0,2， 则实数m _14. 若,)2(2022202222102022xaxaxaax则2022420aaaa被 4 除得的余数为_.15. 3 名女生和 4 名男生随机站成一排， 则每名女生旁边都有男生的概率为_16如图所示的木质正四棱锥模型PABCD，过点A作一个平面分别交,PB PC PD于点E，F，G，若31,5

8、2PEPFPBPC，则PGPD的值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 10 分)（1）已知567117CC10Cmmm，求1234778910CCCCCmmmmm的值（用数字作答） ；（2）已知211CC ,11CC,3xxnnxxnn试求x，n的值高二数学共 6 页第页418.(本小题满分 12 分)已知 na为等差数列， nb为等比数列，111 ba，)(5345aaa，)(4345bbb。（1）求 na和 nb的通项公式；（2）对任意的正整数n，设为偶数为奇数，nbanaabacnnnnnnn ,)23(112，求

9、12531ncccc求ncccc264219.(本小题满分 12 分)如图， 三棱锥A-BCD中，62BCBDCD，O为CD中点， 平面AOB平面BCD.（1）证明：ACAD（2） 若三棱锥A-BCD的体积为23， 二面角A CDB的余弦值为55，E为BC中点.求BD与平面AED所成角的正弦值.高二数学共 6 页第页520.(本小题满分 12 分)今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣 某大学学生发展中心对大一的 400 名男生做了单次引体向上的测试， 得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数) 学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组(1

10、)第一小组决定从单次完成 115 个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取 11 人进行全面的体能测试，单次完成 1115 个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少?该小组又从这 11 人中抽取 3 人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上 15 个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400 人的学业成绩与体育成绩之间的 22 列联表：学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有 99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关?参考公式及数据：K2n

11、(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中nabcdP(K2k0) 0.500.400.250.150.100.05 0.0250.010.0050.001k00.460.711.322.072.713.84 5.024 6.6357.87910.828个频率/组距0.50.0155.510.515.520.525.530.50.0600.0400.0350.0300.020高二数学共 6 页第页621.（本小题满分 12 分）2022 年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为 2022 年 1 月份到 7 月份，销量y（单位：百件）与月份x之间

12、的关系月份x1234567销量y611213466101196(1)根据散点图判断yaxb与xycd（c，d均为大于零的常数）哪一个适合作为销量y与月份x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测2022 年 8 月份的销量；（3）考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从 2022 年 1 月份到12 月 份 （x的 取 值 依 次 记 作 1 到 12 ） ， 每 百 件 该 产 品 的 利 润 为20 050 610 xxP元，求 2022 年几月份该产品的利润Q最大参考数据：yv71iiix y71iiixv0

13、 541062.141.54253550.123.47其中lgiivy，7117iivv参考公式：对于一组数据11,u v，22,u v，,nnu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniiu vnuvunu，vu22.（本小题满分 12 分）已知函数1( )sinln122mf xxxx.（1）当2m 时，试判断函数( )f x在( ,) 上的单调性；（2）存在12,(0,)x x ，12xx， 12f xf x，求证：212x xm.12021-20222021-2022 学年第二学期高二年级期末考试学年第二学期高二年级期末考试数学试卷参考答案数学试卷参

14、考答案1.C2.D3.C4.D5.B6.A7.A8.B9.BD10.ABD11. AC12.ACD13.614.115.352216.4317.解： （1）由567117CC10Cmmm可得! 5! 6!7!7!5!6!10 7!mmmmmm，即 ! 5!65!7!765!5!6 5!10 7 6 5!mmmmmmmmm ，可得7661610 6mmm，整理可得223420mm，解得2m 或21m ，因为05m，所以2m ，3 分所以234563456456567789108891099101010CCCCCCCCCCCCCC65111111 10 9 8 7CC4625 4 3 2 1 5

15、分（2）由2CCxxnn可得2xx（舍去）或2xxn，所以3nx，6 分所以113311CC3nnnn，即!11!31 !1 !1 !1 !3333nnnnnnnn ，化简得22111313333nnnn，即1136 23nn，解得15n ，所以5x 10 分18.解：(1)设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为 q.由11a ，5435aaa，可得 d=1.从而 na的通项公式为nan.2 分由15431,4bbbb，又 q0，可得2440qq，解得 q=2，从而 nb的通项公式为12nnb.4 分(2）当 n 为奇数时，111232(32)222(2)2nnnnnnnnabnc

16、a an nnn，对任意的正整数 n，有222221112221212121kknnnkkkckkn，8 分当 n 为偶数时，1112nnnnancb，223111211352321444444nnkknnkkknnc由得22314111352321444444nknnknnc2由得22111211312221121441444444414nnknnnknnc，由于11211121221121156544144334444123 414nnnnnnnn，从而得：2156599 4nknknc.12 分19.解： （1）证明：因为BCBD，O 为 CD 中点，所以 BOCD，又因为平面 AOB平

17、面 BCD，交线为 BO，所以 CD平面 AOB，因为AO 平面 AOB，所以 CDAO，由三线合一知：ACAD.4 分（2）过点 A 作 AHBO，因为平面 AOB平面 BCD，交线为 BO，所以 AH平面 BCD，在 RtBCO 中，112COCD，6BC，所以BO=5，由13A BCDBCDVSAH，即21153323CD BO AHAH解得：2 55AH 6 分由（1）可知：CDBO，且 CDAO，故AOB为二面角 A-CD-B 的平面角，在 RtAHO 中，5cos5AOB，2 55AH ，故 AO=1，55OH ，以 H 为坐标原点，,HO HA 分别为 y 轴，z 轴建立空间直角

18、坐标系，则2 54 55513 50,0,0,0 ,1,0 ,1,0 ,05555210ABCDE所以1, 5,0BD ，13 52 5,2105AE ，52 51,55AD ，设平面 AED 的法向量为, ,nx y z，3则13 52 50210552 5055AE nxyzAD nxyz ，不妨取5, 3,1n 9 分设 BD 与平面 AED 所成角为，则2sincos,3BD nBD nBDn .12 分20.解： (1)0.02：0.03：0.062：3：6 1 分所以211112，311113，6n116，即从 15 中选 2 个，610 个中选 3 个，1115 个中选 6 个，

19、2 分又 因 为 单 次 完 成 11 15 个 引 体 向 上 的 人 共 有 0.06 5 400 120人，3 分记“单次完成 1115 个引体向上的甲被抽中”为事件 A，则 P(A)61205119CC61201205 分X 的分布列如下：X012PC39C3112855C12C29C3112455C22C19C311355所以 E(X)028551245523556118 分(2)因为 K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)400(500010000)23001001502508098.8897.879 10 分所以有 99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关 .12

20、 分21解： （1）根据散点图判断，xycd适合作为销量y与月份x的回归方程类型2 分（2）对xycd两边同时取常用对数得：lglglgycxd，设lg yv，则lglgvcxd，因为4x ，1.54v ，721140iix，所以lgd 0.25，4 分把样本中心点4,1.54代入lglgvcxd，得：lg0.54c ，所以0.540.25vx，即lg0.540.25yx，6 分所以y关于x的回归方程为0 54 0 250 540 250 25 ,1010103.47 10 xxxy把8x 代入上式，得23.47 10347y ， （8 分）所以预测 2022 年 8 月份的销量为 347 百

21、件（34700 件） （3）由题意得xxyPQ850050-21047. 3（Nx且112x） ，构造函数 20.050.850f xxx x ，所以当8x 或 9 时， f x取最大值，即 2022 年 8 月份或 9 月份利润最大12 分422.解： （1）当2m 时，1( )sinln12f xxxx，11( )1cos2fxxx ，当( ,)x时，111111( )1cos10222fxxx ，所以，当2m 时，函数( )f x在( ,) 上单调递增.4 分（2）证明：不妨设120 xx，由 12f xf x得，11122211sinln1sinln12222mmxxxxxx ，212

22、1211lnlnsinsin22mxxxxxx.设( )sing xxx，则( )1 cos0g xx ，故( )g x在(0,)上为增函数，2211sinsinxxxx，从而2121sinsinxxxx，2121212111lnlnsinsin222mxxxxxxxx，2121lnlnxxmxx，8 分要证212x xm只要证12mx x，下面证明：211221lnlnxxx xxx，即证212211ln1xxxxxx，令21xtx，则1t ，即证明1lnttt，只要证明：1ln0ttt，设1( )lnth ttt，2(1)( )02th tt t ，则( )h t在(1,)单调递减，当1t 时，( )(1)0h th，从而1ln0ttt得证，即211221lnlnxxx xxx，12mx x，即212x xm.12 分