专题07方程与不等式(解析版)-2021年初升高数学 衔接(人教A版2019).docx
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1、专题07方程与不等式专题综述课程要求一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关,许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性.一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系,理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法,其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解,不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.二次函数图象是连接三个“二次”的纽带,是理解和解决问题的关键,要深入理解三者之间的区别及联系,
2、掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤:.将含x的式子用y来表示,构建一个一元二次函数;.令这个函数中的y=0,构建一个一元二次方程,求出对应方程的解,即找到图中的关键点函数的零点;.利用图象开口与零点画出对应函数的草图;观察草图,得出不等式所对应的解集.课程要求初中课程要求1、了解了一元二次不等式的概念,会解一些简单的元二次不等式,如二次项系数为1的一元二次不等式2、熟悉一元二次方程的求根公式,初步认识了一元二次方程与二次函数的关系,但对根的分布情况没有深入了解高中课程要求1、熟练各种一元二次不等式的解法,并熟记解题技巧,会解含参数的一元二次不等式2、理解一元二次方程根
3、的各种分布情况,能找出每种分布情况的等价条件并求解;掌握利用二次函数的图象来解决根的分布问题知识精讲高中必备知识点1:二元二次方程组的解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项我们看下面的两个方程组: 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解高中必备知识点
4、2:一元二次不等式的解法为了方便起见,我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解我们知道,对于一元二次方程ax2bxc0(a0),设b24ac,它的解的情形按照0,=0,0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线yax2bxc(a0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)的解(1)(1)当0时,抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(
5、x1x2),由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1,或xx2; 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 (2)当0时,抛物线yax2bxc(a0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2,由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x; 不等式ax2bxc0无解(3)如果0,抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有公共点,方程ax2bxc0没有实数根,由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数;不等式ax2bxc0无解今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以
6、1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式典例剖析高中必备知识点1:二元二次方程组的解法【典型例题】已知方程组x2+2y26=0y=mx+3有两组相等的实数解,求m的值,并求出此时方程组的解.【答案】m=1,当m=1时 x=2y=1;当m=1时 x=2y=1【解析】x2+2y26=0y=mx+3把代入后计算得2m2+1x2+12mx+12=0,方程组有两组相等的实数解,(12m)24(2m2+1)120,解得:m=1,当m=1时,解得x=2y=1当m=1时,解得x=2y=1【变式训练】解方程组:x2xy2y2=0,x2+2xy+y2=1,【答案】x1=23y1=13;
7、x2=23y2=13【解析】x2xy2y2=0x2+2xy+y2=1,由得 (x+y)(x-2y)=0,x+y=0或x-2y=0,由得 (x+y)2=1,x+y=1或x+y=-1,所以原方程组化为x+y=0x+y=1或x+y=0x+y=1或x2y=0x+y=1或x2y=0x+y=1,所以原方程组的解为x1=23y1=13x2=23y2=13【能力提升】解方程组:x+y=4;x2+xy2y2=0.【答案】x1=8y1=4,x2=2y2=2【解析】由得:(x+2y)(xy)=0所以x+2y=0或xy=0 所以x+y=4x+2y=0或x+y=4xy=0,所以原方程组的解为x1=8y1=4,x2=2y
8、2=2.高中必备知识点2:一元二次不等式的解法【典型例题】解下列不等式:(1)3x22x80;(2)0x2x24;【答案】(1) .(2) .【解析】(1)原不等式可化为3x22x80,即(3x4)(x2)0.解得2x,所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为.【变式训练】求不等式的解【答案】或【解析】由题意,不等式,可得或,由不等式组,可得解集为 由不等式组,可得解集为或,所以不等式的解集为或.【能力提升】解下列不等式:(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3)或.【解析】(1)由题意,不等式,可化为,所以不不等式的解集为;(2)由题意,可得
9、,所以不等式的解集为;(3)由不等式,可化为,即,所以不等式的解集为或.对点精练1若实数a使关于x的不等式组至少有3个整数解,且使关于y的分式方程有正整数解,则符合条件的所有整数a的和为( )ABCD【答案】B解:解不等式组可得:,不等式组至少有3个整数解,,,解分式方程可得:,分式方程有正整数解,且,且,a可以取值为-7,-5,符合条件的所有整数a的和为-7-5=-12,故选B2不等式组的解集为( )ABCD无解【答案】B解:,由得:x-1,由得:x4,不等式组的解集为:故选B3已知关于的分式方程有整数解,且关于的不等式组有且只有3个负整数解,则符合条件的所有整数的个数为( )A1B2C3D
10、4【答案】A解:分式方程去分母得:1-ax-3-2+x=0,即(1-a)x=4,由分式方程有整数解,得到1-a0,解得:x=,不等式组整理得:,即,由不等式组有且只有3个整数解,得到,解得:-1a,由x为整数,且,得到1-a=1,-2,4,解得:a=0,则符合条件的所有整数a的个数为1,故选:A4已知不等式组的解为:,则的值为( )A1B2020C-1D-2020【答案】A解:解不等式x+a1,得:x1a,解不等式2x-b2,得:x,所以不等式组的解集为1ax,不等式组的解集为2x3,1a=2,=3,解得:a=3,b=4,=1故选:A5下面是解不等式的过程,每一步只对上一步负责,则其中有错的步
11、骤是( )解:A只有BCD【答案】D,故错误;由,得,故错误;由,得,故正确;由,得,故错误综上所述:错误点步骤有:故选:D6下列命题正确的是( )A若,则Bm,n为整数,若,则C若,则D若,则【答案】D解:A、若,则,解得,故此选项不符合题意;B、m,n为整数,若,则,故此选项不符合题意;C、若,即,故此选项不符合题意;D、若,则,故此选项符合题意故选D7不等式组的解集在数轴上表示为( )ABCD【答案】A解:解不等式得,;解不等式得, 所以,不等式组的解集为:在数轴上表示为:故选:A8若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解,且一次函数不经过第三象限,则所有满足条件的整数的值之和是()ABC
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