专题03一元二次方程(解析版)-2021年初升高数学 衔接(人教A版2019).docx
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1、专题03一元二次方程专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,向我们展示了认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索,锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系,中考考查的频率较高,高考也常与几何、二次函数等问题结合考查,是考试的热点,它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是:若已知一元二次方程,则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.
2、而其逆定理的功能是:若已知一元二次方程的两个根,可写出这个方程.课程要求初中课程要求能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数,简单地介绍了韦达定理高中课程要求熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力,会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲高中必备知识点1:根的判别式我们知道,对于一元二次方程ax2bxc0(a0),用配方法可以将其变形为因为a0,所以,4a20于是(1)当b24ac0时,方程的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x1,2;(2)当b24ac0时,方程的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x1x2;(3)当b24ac0时,方程的右端是一个负数,而方程的左
3、边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根由此可知,一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可以由b24ac来判定,我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式,通常用符号“”来表示综上所述,对于一元二次方程ax2bxc0(a0),有(1)当0时,方程有两个不相等的实数根x1,2;(2)当0时,方程有两个相等的实数根x1x2;(3)当0时,方程没有实数根高中必备知识点2:根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个实数根,则有;所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax2bxc0(a0)的两根分别是x1,x2,那么x1x2,x1x2
4、这一关系也被称为韦达定理特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知x1x2p,x1x2q,即p(x1x2),qx1x2,所以,方程x2pxq0可化为x2(x1x2)xx1x20,由于x1,x2是一元二次方程x2pxq0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20典例剖析高中必备知识点1:根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2(m1)x+2m1=0,其根的判别式为16,求m的值【答案】m1=11,m2=1【解析】由题意得,=(m1)24(2m1)=16,整理得,m210m11=0,解得:m1=11,m2=1【变式训练
5、】已知关于x的一元二次方程mx2(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3,求m的值及另一个根;(2)若该方程根的判别式的值等于1,求m的值【答案】(1)m=23;即原方程的另一根是1;(2) m=1,m=3【解析】(1)设方程的另一根是x2一元二次方程mx2(m+2)x+2=0的一个根为3,x=3是原方程的解,9m(m+2)3+2=0,解得m=;又由韦达定理,得3x2=,x2=1,即原方程的另一根是1;(2)=(m+2)24m2=1m=1,m=3【能力提升】方程(x5)(2x1)=3的根的判别式b24ac= 【答案】105【解析】先把方程(x5)(2x1)=3化为一元二次方程的一般形式,再
6、求出根的判别式即可方程(x5)(2x1)=3化为一元二次方程的一般形式为:2x211x+2=0,故=b24ac=(11)2422=105高中必备知识点2:根与系数的关系(韦达定理)【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0(a0)有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”(1)请问一元二次方程x26x+80是倍根方程吗?如果是,请说明理由(2)若一元二次方程x2+bx+c0是倍根方程,且方程有一个根为2,求b、c的值【答案】(1)该方程是倍根方程,理由见解析;(2)当方程根为1,2时, b3,c2;当方程根为2,4时b6,c8【解析】(1)该方程是倍根
7、方程,理由如下:x26x+80,解得x12,x24,x22x1,一元二次方程x26x+80是倍根方程;(2)方程x2+bx+c0是倍根方程,且方程有一个根为2,方程的另一个根是1或4,当方程根为1,2时,b1+2,解得b3,c122;当方程根为2,4时b2+4,解得b6,c248【变式训练】求方程x22x20的根x1,x2(x1x2),并求x12+2x2的值【答案】6【解析】方程x22x20的根x1,x2, 【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m20有两根,(1)求m的取值范围;(2)若+0求m的值【答案】(1)m34;(2)m的值为3【解析】(1)由题意知,(2m+3)
8、241m20,解得:m34;(2)由根与系数的关系得:+(2m+3),m2,+0,(2m+3)+m20,解得:m11,m13,由(1)知m34,所以m11应舍去,m的值为3对点精练1若直线yn截抛物线yx2+bx+c所得线段AB4,且该抛物线与x轴只有一个交点,则n的值为()A1B2C25D4【答案】D解:抛物线与x轴只有一个交点,b24c0,设A、B的交点的横坐标为x1、x2,x1、x2是方程x2+bx+cn的两个根,x1+x2b,x1x2cn,AB4,|x1x2|4,(x1x2)2(x1+x2)24x1x216,(b)24(cn)16,即b24c+4n16,4n16,n4,故选:D2若实数
9、a(a0)满足ab3,a+b+10,则方程ax2+bx+10根的情况是( )A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根D有两个实数根【答案】B解:在方程ax2+bx+10中,=b24a,ab3,a3+b,代入a+b+10和b24a得,b2,b24(3+b)= b24b12= (b+2)(b6)b+20, b-60,(b+2)(b-6) 0,所以,原方程有有两个不相等的实数根;故选:B3已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于(x1,0)、(x2,0)两点,且0x11,1x22,与y轴交于点(0,2)下列结论:2a+b1;3a+b0;ab2;a1其中正确结论的个数为()A4B3C
10、2D1【答案】C解:如图:0x11,1x22,并且图象与y轴相交于点(0,2),可知该抛物线开口向下即a0,c2,当x2时,y4a+2b+c0,即4a+2bc;c2,4a+2b2,2a+b1,故结论错误;0x11,1x22,1x1+x23,又x1+x2,13,3a+b0,故结论错误;当x1时,yab+c0,c2,abc,即ab2,故结论正确;0x1x22,x1x22,又c2,a1故结论正确故选:C4如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,第行有个点,前行的点数和不能是以下哪个结果 ( )A741B600C465D300【答案】B解:通过观察图形可知:第
11、一行有1个点,第二行有2个点第n行有n个点,则前5行共有(12345)个点,前10行共有(12345678910)个点,前n行共有12345nn(n1)个点,其中n为正整数,当n(n1)=741时,解得:(舍),当n(n1)=600时,解得: (舍),当n(n1)=465时,解得:(舍),当n(n1)=300时,解得:(舍),故选:B5如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OC2OB则下列结论: ; ,其中正确的结论有( )A1个B2个C3个D4个【答案】C解:观察图象可知:抛物线的开口方向向上,对称轴在y轴左侧,与y轴的交点在y轴负半轴a0,b0,c0,abc0,所以正
12、确;当x1时,ya+b+c,不能说明y的值是否大于还是小于0,所以错误;设A(x1,0)(x10),B(x2,0)(x20),OC2OB,2x2c,B(,0)将点B坐标代入yax2+bx+c中,所以正确;当y0时,ax2+bx+c0,方程的两个根为x1,x2,根据根与系数的关系,得,即所以正确故选:C6对于函数,我们定义(,为常数)例如:,则已知:,若方程有两个相等的实数根,则的值为( )A0BCD1【答案】D解:由题意得:,即,方程有两个相等的实数根,此方程根的判别式,解得,故选:D7若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )ABC且D且【答案】D解:根据题意得k0且
13、=(-2)2-4k(-1)0,解得k-1且k0故选:D8已知、是关于的一元二次方程的两个根,且满足,则的取值范围是( )ABCD【答案】D一元二次方程的两个根,所以=,或,令y=,抛物线开口向上,且满足,解得,解得,的取值范围是故选择D9若关于x的一元二次方程x2+5x+m0有两个不相等的实数根,且m为正整数,则符合条件的m有()A5个B6个C7个D8个【答案】B解:关于x的一元二次方程x2+5x+m0有两个不相等实数根,5241m0,解得:m,m为正整数,m1,2,3,4,5,6,符合条件的m有6个,故选:B.10已知,是一元二次方程的两不相等的实数根,且,则的值是( )A或BCD【答案】C
14、解:根据题意得0,解得m,根据根与系数的关系的,整理得,解得,m,m的值为故选:C11如图,在矩形中,对角线,相交于点O,动点P由点A出发,沿运动设点P的运动路程为x,的面积为y,y与x的函数关系图象如图所示,则边的长为_【答案】6如图,过点O作OMAB,垂足为M,四边形ABCD是矩形,OD=OB,DAAB,AD=BC,OMAB,OMAB,AM=BM,OM=,结合图像知,当运动到点B是三角形的面积最大,即ADAB=24,当点P运动到点C时,面积为0即AB+BC=10,AD+AB=10,AB,AD是方程的两个根,解得x=4或x=6,AB=6,故答案为:612在边长为4的正方形ABCD中,点E在A
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