全国通用2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用学案.doc

1、=【;精品教育资源文库】=4.7 解三角形的综合应用最新考纲 考情考向分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题求 AB 图形 需要测量的元素 解法底部可达 ACB ， BCa解直角三角形AB atan 求竖直高度底部不可达 ACB ， ADB ，CD a解两个直角三角形ABatan tan tan tan 山两侧 ACB ，AC b，BC a用余弦定理AB a2 b2 2abc

2、os 河两岸 ACB ， ABC ，CB a用正弦定理 ABasin sin? ?求水平距离河对岸 ADC ， BDC ， BCD ， ACD ，CD a在 ADC 中， AC ；asin sin? ?在 BDC 中， BC ；asin sin? ?在 ABC 中，应用=【;精品教育资源文库】=余弦定理求 AB知识拓展实际问题中的常用术语1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角

3、为 (如图)4坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 .( )0， 2(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 .( )0， 2)题组二 教材改编2.P11 例 1如图所示，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB45

4、， CAB105后，就可以计算出 A， B 两点的距离为_ m.=【;精品教育资源文库】=答案 50 2解析 由正弦定理得 ，ABsin ACB ACsin B又 B30， AB 50 (m)ACsin ACBsin B502212 23P13 例 3如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米答案 a22解析 由题图可得 PAQ 30， BAQ 15， PAB 中， PAB 15，又 PBC 60， BPA 30，(90 ) (90 ) ， PB a，asin 30 PBsin 15 6 22

5、 PQ PC CQ PBsin asin asin 60 asin 15 a.6 22 22题组三 易错自纠4在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60， C 点的俯角是 70，则 BAC 等于( )A10 B50C120 D130答案 D5.如图所示， D， C， B 三点在地面的同一条直线上， DC a，从 C， D 两点测得 A 点的仰角分=【;精品教育资源文库】=别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB_.答案 a32解析 由已知得 DAC30， ADC 为等腰三角形， AD a，所以在 Rt ADB 中，3AB AD a.12 326在一次抗洪抢险中，某

6、救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案 60 20 3解析 如图， AOB60，由余弦定理知 OC220 220 2800cos 1201 200，故OC20 ， COy303060.3题型一 求距离、高度问题1(2018吉林长春检测)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.

7、答案 10 3解析 如图，OM AOtan 4530(m)，ON AOtan 30 303310 (m)，3在 MON 中，由余弦定理得，MN 900 300 23010332=【;精品教育资源文库】= 10 (m)300 3=【;精品教育资源文库】=2.(2017郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD_.答案 hcos sin sin? ?解析 由已知得， BCA90 ， ABC90 ， BAC ， CAD .在 ABC 中，由正弦定理得 ，ACsin ABC BCsin

8、BAC即 ，ACsin?90 ? BCsin? ? AC .BCcos sin? ? hcos sin? ?在 Rt ACD 中， CD ACsin CAD ACsin .hcos sin sin? ?故山高 CD 为 .hcos sin sin? ?3(2018日照模拟)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60的方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15的方向上，这时船与灯塔的距离为_ km.答案 30 2解析 如图，由题意知， BAC30， ACB105， B45， AC60，由正弦定理得 ，BCsin 30 ACsi

9、n 45 BC30 (km)2思维升华 求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解=【;精品教育资源文库】=(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理题型二 求角度问题典例 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_答案 2114解析 在 ABC

10、中， AB40， AC20， BAC120，由余弦定理得BC2 AB2 AC22 ABACcos 1202 800，得 BC20 .7由正弦定理，得 ，ABsin ACB BCsin BAC即 sin ACB sin BAC .ABBC 217由 BAC120，知 ACB 为锐角，则 cos ACB .277由 ACB30，得 cos cos( ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30 .2114思维升华 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题

11、转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C的北偏东 40的方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60的方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的_的方向上=【;精品教育资源文库】=答案 北偏西 10解析 由已知 ACB180406080，又 AC BC， A ABC50，605010，灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10的方向上题型三 三角形与三角函数的综合问题典例 (2018石家庄模拟)在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，(2 a c)cos

12、B bcos C0.(1)求角 B 的大小；(2)设函数 f(x)2sin xcos xcos B cos 2x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大32值时 x 的值解 (1)因为(2 a c)cos B bcos C0，所以 2acos B ccos B bcos C0，由正弦定理得 2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0，即 2sin Acos Bsin( C B)0，又 C B A，所以 sin(C B)sin A.所以 sin A(2cos B1)0.在 ABC 中，sin A0，所以 cos B ，又 B(0，)，所以 B .12 3(2)因为

13、B ， 3所以 f(x) sin 2x cos 2xsin ，12 32 (2x 3)令 2x 2 k (kZ)，得 x k (kZ)， 3 2 512即当 x k (kZ)时， f(x)取得最大值 1.512思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题跟踪训练 设 f(x)sin xcos xcos 2 .(x 4)=【;精品教育资源文库】=(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f 0， a1，求 ABC 面积的(A2)最大值解 (1)由题意知 f(x) sin 2x2 1 cos(2x 2)2 sin 2 x .sin 2x2 1 sin 2x2 12由 2 k2 x 2 k， kZ, 2 2可得 k x k， kZ； 4 4由 2 k2 x 2 k， kZ, 2 32可得 k x k， kZ. 4 34所以 f(x)的单调递增区间是 4 k ， 4 k (kZ)；单调递减区间是 (kZ) 4 k ， 34 k (2)由 f sin A 0，得 sin A ，(A2) 12 12由题意知 A 为锐角，所以 cos A .32由余弦定理 a2 b2 c2