2022届成都七 高三文科数学上期半期考试试卷及答案.pdf

1、文科数学(第 1 1 页,共 4 4页)成都七中成都七中 2021202120222022 学年度（上）高三年级半期考试学年度（上）高三年级半期考试数数 学学 试试 卷卷（文科）（文科）(试卷总分:150 分,考试时间:120 分钟)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集 U=0,1,2,3,4,5,6,集合 A=1,2,4,B=1,3,5,则 A(UB)=()A.0,6B.1,4C.2,4D.3,52.复数i2i 34z(其中i为虚数单位)的虚部为()A.-2B.-1C.1D.23.青少年视力被社会普遍关

2、注,为了解他们的视力状况,经统计得到图中右下角 12 名青少年的视力测量值ai(i=1,2,3,12)(五分记录法)的茎叶图,其中茎表示个位数,叶表示十分位数.如果执行右图所示的算法程序,那么输出的结果是()A.4B.5C.6D.74.抛物线 y2=2px(p0)上的一点 P(-9,12)到其焦点 F的距离|PF|等于()A.17B.15C.13D.115.奥运会跳水比赛中共有 7名评委给出某选手原始评分,在评定该选手的成绩时,去掉其中一个最高分和一个最低分,得到 5 个有效评分,则与 7 个原始评分(不全相同)相比,一定会变小的数字特征是()A.众数B.方差C.中位数D.平均数6.已知一个几

3、何体的三视图如右,则它的表面积为()A.3B.4C.5D.67.设平面向量 a,b 的夹角为 120,且|a|=1,|b|=2,则 a(2a+b)=()A.1B.2C.3D.4文科数学(第 3 3 页,共 4 4页)三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个题目考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)某企业有甲、乙两条生产线,其产量之比为 4:1.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本,其部分统计数据如右表(单位:件),且每件产品都有各自生产线的标记.（1）请将 22 列联表补充完

4、整,并根据独立性检验估计:大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?（2）从样本的所有二等品中随机抽取 2 件,求至少有 1 件为甲生产线产品的概率.18.(12 分)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,D 是 BC 的中点.（1）求证:平面 ADC1平面 BCC1B1;（2）已知 AA1=2AB,求异面直线 A1B 与 DC1所成角的大小.19.(12 分)已知 nN*,数列an的首项 a1=1,且满足下列条件之一:nnnaa2121;nnanna) 1(21.(只能从中选择一个作为已知)（1）求an的通项公式;（2）若an的前 n 项和 Snb0)的短轴长为32,左顶点A到右焦点

5、F的距离为 3.（1）求椭圆 C 的方程及离心率;（2）设直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M,N(不同于 A),且直线 AM 和 AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数,求证:l 经过定点.21.(12 分)已知函数 f(x)=ex-ksinx,其中 k 为常数.（1）当 k=1 时,判断 f(x)在区间(0,+)内的单调性;（2）若对任意 x(0,),都有 f(x)1,求 k 的取值范围.(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,伯努利双纽线 C1

6、(如图)的普通方程为(x2+y2)2=2(x2-y2),曲线 C2的参数方程为sincosryrx(其中)2, 0(r,为参数).（1）以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求 C1和 C2的极坐标方程;（2） 设 C1与 C2交于 A,B,C,D 四点,当 r 变化时,求凸四边形 ABCD 的最大面积.23.选修 4-5:不等式选讲(10 分)设 M 为不等式|x+1|+4|3x-1|的解集.（1）求集合 M 的最大元素 m;（2）若 a,bM 且 a+b=m,求3121ba的最小值.高三(上)半期考试数学(文科)参考答案（第 1 1页,共 4 4页）成都七中 20212022

7、 学年度（上）半期考试高三数学试题参考答案及评分意见(文科)一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)CABCBBADADCD二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)13、xN,2xx2；14、x+2y-3=0；15、31；16、-2 (2 分); (-,0)2,+) (3 分).三、解答题: (共 70 分)17、解:（1）由题意,补充完整的 22 列联表如下.(3 分,每两空给 1 分)于是556. 59501040545273385022K.(5 分)因为 5.556(5.024,6.635),所以大约有 98%的把握认为产品的等级差异与生产线有关.(6 分)(注:位于区间97

8、.5%,99%)内均可给分)（2）设样本中甲生产线上的二等品为 m,n,乙生产线上的二等品为 a,b,c.从中随机抽取 2 件,有 mn,ma,mb,mc,na,nb,nc,ab,ac,bc 共 10 种可能情形.(8 分)其中至少有 1 件为甲生产线上的二等品有 mn,ma,mb,mc,na,nb,nc 共 7 种可能情形.(10 分)故从样本的二等品中随机抽取 2 件,至少有 1 件为甲生产线产品的概率为 0.7.(12 分)18、（1）证明:由已知,ABC 为正三角形,(1 分)又 D 是 BC 的中点,所以 BCAD.(2 分)因为 ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以 CC1底面 A

9、BC.(3 分)又AD底面ABC,所以CC1AD.(4分)又BCCC1=C,所以AD平面BCC1B1.(5分)因为 AD平面 ADC1,所以平面 ADC1平面 BCC1B1.(6 分)（2）解:取 B1C1的中点 F,连结 A1F,BF.(7 分)因为 BD 与 FC1平行且相等,所以四边形 BDC1F 为平行四边形.(8 分)故 DC1BF,于是异面直线 A1B 与 DC1所成的角为A1BF(或其补角).(9 分)设AB=2,则A1B=32,A1F=3,BF=3.(10分)由勾股定理逆定理,知A1FB 为直角,易得A1BF=30.(11 分)故异面直线 A1B 与 DC1所成角的大小为 30

10、.(12 分)(注:也可连结 A1C 交 AC1于点 E,则 A1BDE,于是C1DE 为所求)产品件数一等品二等品总计甲生产线383824040乙生产线73 31010总计45455 550高三(上)半期考试数学(文科)参考答案（第 3 3页,共 4 4页）故可设 l 的方程为 x=ty+m(m-2),代入 3x2+4y2=12,并整理得(3t2+4)y2+6mty+3(m2-4)=0.(6分)设 M(ty1+m,y1),N(ty2+m,y2),则436221tmtyy,43)4( 32221tmyy.()(7 分)因为 A(-2,0),由21ANAMkk,得21)2)(2(2121mtym

11、tyyy.(8 分)整理得(t2+2)y1y2+(m+2)t(y1+y2)+(m+2)2=0.(9 分)将(*)式代入,得 3(m2-4)(t2+2)-6m(m+2)t2+(m+2)2(3t2+4)=0.因为 m-2,化简得 3(m-2)(t2+2)-6mt2+(m+2)(3t2+4)=0.(10 分)化简得 3(m-2)+2(m+2)2=0,解得52m(此时0 恒成立).(11 分)所以直线 l 经过定点 P) 0 ,52(.(12 分)21、解：（1）当 k=1 时,求导得xxfxcose)(.(1 分)因为 x0,所以xxfcos1)(0.(2 分)故 f(x)在区间(0,+)内单调递增

12、.(3 分)（2） 当 k1 时,因为 x(0,),所以 sinx0.(4 分)于是 ksinxsinx,所以 f(x)ex-sinx.(5 分)由（1）知,ex-sinx1,于是 f(x)1,满足题意.(6 分)当k1时,易知( )ecosxfxkx在区间(0,)内单调递增.(7分)又因为(0)10fk ,()e0fk,(8 分)所以存在唯一的(0,),使得( )0f.(9 分)且当 0 x时,( )0fx,即 f(x)在区间(0,)内单调递减.(10 分)于是f()1 得,)0(sin1exxkx.(4 分)设函数)0(sin1e)(xxxgx,则xxxxxgx2sincos)cos(si

13、ne)(.(5分)设函数h(x)=ex(sinx-cosx)+cosx(0 x0.(6分)因为 x(0,),所以 ex1,sinx0,故)(xh0.(7 分)于是函数 h(x)在区间(0,)内单调递增.(8 分)于是 h(x)h(0)=0,即0)( xg.(9 分)故 g(x)在区间(0,)内单调递增.(10 分)又1coselim)(lim00 xxgxxx,于是 h(x)1.(11分)故所求实数k的取值范围是(-,1.(12分)22、解：（1）由(x2+y2)2=2(x2-y2),得4=2(2cos2-2sin2).(1 分)于是2=2(cos2-sin2),所以 C1的极坐标方程为2=2

14、cos2.(2 分)高三(上)半期考试数学(文科)参考答案（第 4 4页,共 4 4页）由sincosryrx,消去参数,得 x2+y2=r2.(3 分)由 x2+y2=2得,曲线 C2的极坐标方程为)20(rr.(4 分)（2）易知曲线 C1与 C2关于 x 轴和 y 轴对称,所以四边形 ABCD 为矩形.(5 分)所以凸四边形 ABCD 的面积AOBOASSOABsin242.(6 分)设 A(r,),B(r,-),则2,2cos22AOBOA.(7 分)于是4sin22sin2cos4S2.(8 分)故凸四边形 ABCD 的最大面积为 2(当且仅当8时取得).(9 分)此时)2, 0(2

15、4cos24r.(10 分)23、解：（1）当 x-1,此时无解;(1 分)当-1x31时,原不等式化为(x+1)+4-(3x-1),得 x-1,故-1x31;(2 分)当x31时,原不等式化为(x+1)+43x-1,得x3,故310,b+20.(6 分)由柯西不等式,得)3121)(3()2(baba4.(8 分)又 a+b=3,所以3121ba21,即3121ba的最小值为21.(9 分)(当且仅当a+2=b+3=4即a=2,b=1时取得).(10分)或解:由a,bM,所以a+21,b+32.(6分)所以32232)3121)(3()2(baabbaba2+2=4.(8 分)又 a+b=3,所以3121ba21,即3121ba的最小值为21.(9 分)(当且仅当a+2=b+3=4即a=2,b=1时取得).(10分)