全国通用2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用学案.doc

1、=【;精品教育资源文库】=5.4 平面向量的综合应用最新考纲 考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主 要 考 查 平 面 向 量 与 函 数 、 三 角 函 数 、 不 等 式 、数 列 、 解 析 几 何 等 综 合 性 问 题 ， 求 参 数 范 围 、 最值 等 问 题 是 考 查 的 热 点 ， 一 般 以 选 择 题 、 填 空 题的 形 式 出 现 ， 偶 尔 会 出 现 在 解 答 题 中 ， 属 于 中 档题 .1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示线平

2、行、点共线等问题 共线向量定理 a b?a b?x1y2 x2y10，其中 a( x1， y1)， b( x2， y2)， b0垂直问题 数量积的运算性质a b?ab0? x1x2 y1y20，其中 a( x1， y1)， b( x2， y2)，且a， b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos ( 为向量 a， b 的夹角)，ab|a|b|其中 a， b 为非零向量长度问题 数量积的定义|a| ，其中 a( x， y)，a2 x2 y2a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题 设 向 量 运 算 还 原 2向量在解析几何中的应

3、用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的=【;精品教育资源文库】=主体3平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W Fs| F|s|cos (为 F 与 s 的夹角)4向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题知识拓展1若 G 是

4、ABC 的重心，则 0.GA GB GC 2若 直 线 l 的 方 程 为 Ax By C 0， 则 向 量 (A， B)与 直 线 l 垂 直 ， 向 量 ( B， A)与 直 线 l 平行 题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 ，则 A， B， C 三点共线( )AB AC (2)在 ABC 中，若 0)，则其准线方程为 x .p2曲线 E 的方程可化为( x3) 2( y2) 216，则有 3 4，解得 p2，所以抛物线 M 的方程为 y24 x， F(1,0)设 A ，则 p2 (y204， y0) OA ， ，所以 y 4，解得 y02.所以点 A

5、(y204， y0) AF (1 y204， y0) OA AF y204(1 y204) 20的坐标为(1,2)或(1，2)题型一 向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点若 1，则AC BE AB_.答案 12解析 在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F，则 ， ，BE FD BE FD AD 12AB 又 ，AC AD AB ( )AC BE AD AB (AD 12AB ) 2 2AD 12AD AB AD AB 12AB | |2 | | |cos 60 | |2AD 12AD AB 12AB =【;精品教

6、育资源文库】=1 | | | |21.12 12AB 12AB | |0，又| |0，| | .(12 |AB |)AB AB AB 12(2)已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 ( )， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )OP OA AB AC A内心 B外心 C重心 D垂心答案 C解析 由 原 等 式 ， 得 ( )， 即 ( )， 根 据 平 行 四 边 形 法 则 ， 知 O P O A A B A C A P A B A C A B 是 ABC 的 中 线 AD(D 为 BC 的 中 点 )所 对 应 向 量 的

7、 2 倍 ， 所 以 点 P 的 轨 迹 必 过 ABC 的 重 心 A C A D 引申探究本例(2)中，若动点 P 满足 ， (0，)，则点 P 的轨迹一定通OP OA (AB |AB |AC |AC |)过 ABC 的_答案 内心解析 由条件，得 ，即 ，而 和 分别表OP OA (AB |AB |AC |AC |) AP (AB |AB |AC |AC |)AB |AB |AC |AC |示平行于 ， 的单位向量，故 平分 BAC，即 平分 BAC，所以点 P 的轨迹必AB AC AB |AB |AC |AC | AP 过 ABC 的内心思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标

8、法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适 当 选 取 一 组 基 底 ， 沟 通 向 量 之 间 的 联 系 ， 利 用 向 量 间 的 关 系 构 造 关 于 未 知 量 的 方 程 进 行 求解 跟踪训练 (1)在 ABC 中，已知向量 与 满足 0，且 ，AB AC (AB |AB |AC |AC |) BC AB |AB |AC |AC | 12则 ABC 为( )=【;精品教育资源文库】=A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形答案 A解析 ， 分别为平行于 ， 的

9、单位向量，由平行四边形法则可知 为AB |AB |AC |AC | AB AC AB |AB |AC |AC | BAC 的平分线因为 0，所以 BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB AC.(AB |AB |AC |AC |) BC 又 cos BAC ，所以 cos BAC ，又 0 BAC，故 BACAB |AB |AC |AC | |AB AB |AC AC | 12 12，所以 ABC 为等边三角形 3(2)(2017湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形 ABCD 中， AB1， AD2，点 E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， AD 边上的中点，则 等

10、于( )EF FG GH HE A. B32 32C. D34 34答案 A解析 取 HF 中点 O，则 2 2EF FG EF EH EO OH 1 2 ，(12) 34 2 2GH HE GH GF GO OH 1 2 ，(12) 34因此 ，故选 A.EF FG GH HE 32=【;精品教育资源文库】=题型二 向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量 ( k,12)， (4,5)， (10， k)，且 A， B， C 三点共线，当 k0 时，OA OB OC 若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_答案 2 x y30解析 (4 k，7)，AB OB OA (6， k5)

11、，且 ，BC OC OB AB BC (4 k)(k5)670，解得 k2 或 k11.由 k0 可知 k2，则过点(2，1)且斜率为2 的直线方程为 y12( x2)，即2x y30.(2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为_OP FP 答案 6解析 由题意，得 F(1,0)，设 P(x0， y0)，则有 1，解得 y 3 ，x204 y203 20 (1 x204)因为 ( x01， y0)， ( x0， y0)，FP OP 所以 x0(x01) y x x03 x03，对应的抛物线的对称轴方程为OP FP 20 2

12、0 (1 x204) x204x02，因为2 x02，故当 x02 时， 取得最大值 236.OP FP 224思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装” ，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 a b?ab0( a， b 为非零向量)， a b?a b(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，

13、直线 l： x ky10 与圆C： x2 y24 相交于 A， B 两点， ，若点 M 在圆 C 上，则实数 k_.OM OA OB 答案 0=【;精品教育资源文库】=解析 设 AB 的中点为 D，则有 2 ，OM OA OB OD | |2| | R2( R 为圆 C 的半径)，OM OD | |1.OD 由点到直线的距离公式，得 1 ，解得 k0.|0 0 1|k2 1(2)(2017安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点 A 在椭圆 1 上，点x225 y29P 满足 ( 1) ( R)( O 是坐标原点)，且 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影AP OA OA OP 长度的

14、最大值为_答案 15解析 因为 ( 1) ，所以 ，AP OA OP OA 即 O， A， P 三点共线，因为 72，OA OP 所以 | |272，OA OP OA 设 A(x， y)， OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的投影长度为| |cos OP | |x| 15，72|x|OA |2 72|x|x2 y2721625|x| 9|x|72216925当且仅当| x| 时取等号154题型三 向量的其他应用命题点 1 向量在不等式中的应用典例 已知 O 是坐标原点，点 A(1,2)，若点 M(x， y)为平面区域Error!上的一个动点，则 的取值范围是( )OA OM A1,0 B0,1C1,3 D1,4答案 D解析 作出点 M(x， y)满足