全国通用2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2空间几何体的表面积与体积学.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.2 空间几何体的表面积与体积 最新考纲 考情考向分析 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 . 本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想 . 1多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 所有侧面的面积之和 ，表面积是侧面积与底面面积之和 2圆柱、圆 锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积

2、公式 S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 ( r1 r2)l 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V Sh 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V 13Sh 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h =【 ;精品教育资源文库 】 = 球 S 4 R2 V 43 R3 知识拓展 1与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差 (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 2几个与球有关的切、接

3、常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2R a； 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2R a2 b2 c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和 ( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积 ( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方 ( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和

4、或差 ( ) (5)长方体既有外接球又有内切球 ( ) (6)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 S.( ) 题组 二 教材改编 2 P27T1已知圆锥的表面积等于 12 cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 ( ) A 1 cm B 2 cm C 3 cm D.32 cm 答案 B 解析 S 表 r2 rl r2 r2 r 3 r2 12 ， r2 4， r 2. 3 P28A 组 T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 147 解析

5、设长方体的相邻三条棱长分别为 a， b， c，它截 出棱锥的体积 V1 13 12 12a 12b 12c 148abc，剩下的几何体的体积 V2 abc 148abc 4748abc，所以 V1 V2 147. 题组三 易错自纠 4 (2017 西安一中月考 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A 3 B 4 C 2 4 D 3 4 答案 D 解析 由几何体的 三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示 表面积为 22 2 121 2 12 4 3. 5 (2016 全国 ) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A 12 B. 323

6、 C 8 D 4 答案 A 解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线 2 3即为球的直径，所以球的表面积为 4 R2 (2R)2 12 ，故选 A. 6 (2018 大连调研 )如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩 余部分与挖去部分的体积之比为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 11 解析 由三视图可知半球的半径为 2，圆锥底面圆的半径为 2，高为 2，所以 V 圆锥 132 3 83 ， V 半球 12 432 3 163 ，所以 V 剩余 V 半球 V 圆锥 83 ，故剩余部分与挖去部分的体积之比为 11. 题型一 求空间几何体的表面积 1 (2016 全国

7、) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 283 ，则它的表面积是 ( ) A 17 B 18 C 20 D 28 答案 A 解析 由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球 (被过球心 O 且互相垂直的三个平面 )切掉左上角的 18后得到的组合体，其表面积是球面面积的 78和三个 14圆面积之和 由 43 R3 18 43 R3 283 ， 得球的半径 R 2. 则得 S 7842 2 3 142 2 17 ，故选 A. 2 (2017 黑龙江哈师大附中一模 )已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为=【 ;精品教育资源文库

8、】 = ( ) A.73 B.172 C 13 D.17 3 102 答案 C 解析 由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则 CC平面 ABC，上、下底均为等腰直角三角形， AC BC， AC BC 1， A C B C C C 2， AB 2， A B 2 2. 棱台的上底面面积为 1211 12，下底面面积为 1222 2，梯形ACC A 的面积为 12(1 2)2 3，梯形 BCC B 的面积为 12(1 2)2 3，过 A 作AD A C 于点 D，过 D 作 DE A B ，则 AD CC 2， DE 为 A B C 斜边高的 12， DE 22 ， AE AD2 DE2

9、32， 梯形 ABB A 的面积为 12( 2 2 2) 32 92， 几何体的表面积 S 12 2 3 3 92 13，故选 C. 思维升华 空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 (2)多面体的表面积是各 个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型二 求空间几何体的体积 命题点 1 以三视图为背景的几何体的体积 典例 (2017 浙江 )某几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的体积 (单位： cm3)

10、是( ) A. 2 1 B. 2 3 C.32 1 D.32 3 答案 A 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的 圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体， 该几何体体积为 V 13 121 23 13 12 2 23 2 1. 命题点 2 求简单几何体的体积 典例 (2018 广州调研 )已知 E， F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AA1， CC1的中点，则四棱锥 C1 B1EDF 的体积为 _ 答 案 16a3 解析 方法一 如图所示，连接 A1C1， B1D1交于点 O1，连接 B1

11、D， EF，过点 O1作 O1H B1D 于点 H. 因为 EF A1C1，且 A1C1?平面 B1EDF， EF?平面 B1EDF， 所以 A1C1 平面 B1EDF. 所以 C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离 易知平面 B1D1D 平面 B1EDF， 又平面 B1D1D 平面 B1EDF B1D， 所以 O1H 平面 B1EDF， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 O1H 等于四棱锥 C1 B1EDF 的高 因为 B1O1H B1DD1， 所以 O1H B1O1 DD1B1D 66 a. 所以11C BEDFV? 131BEDFS四 边 形 O1H

12、 13 12 EF B1D O1H 13 12 2a 3a 66 a 16a3. 方法二 连接 EF， B1D. 设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1， D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1 h2 B1D1 2a. 由题意得，1 1 1 1 1C B E D F B C E F D C E FV V V? ? ?四 棱 锥 三 棱 锥 三 棱 锥 131CEFS?( h1 h2) 16a3. 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常

13、用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 跟踪训练 (1)(2017 新乡二模 )已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.323 B.163 C.83 D.43 答案 C 解析 该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示， =【 ;精品教育资源文库 】 = V V 柱 V 锥 12(1 1)12 13 12(1 1)12 83，故选 C. (2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE， BCF 均为正三角形， EF AB， EF

14、 2，则该多面体的体积为 ( ) A. 23 B. 33 C.43 D.32 答案 A 解析 如图，分别过点 A， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G， H，连接DG， CH， 容易求得 EG HF 12， AG GD BH HC 32 ， 取 AD 的中点 O，连接 GO，易得 GO 22 ， S AGD S BHC 12 22 1 24 ， 多面体的体积 V V 三棱锥 E ADG V 三棱锥 F BCH V 三棱柱 AGD BHC 2V 三棱锥 E ADG V 三棱柱 AGD BHC 13 24 122 24 1 23 .故选 A. 题型三 与球有关的切、接问题 典例 (2016 全国 ) 在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC， AB 6， BC 8， AA1 3，则 V