全国通用2019届高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例11.3变量间的相关关系统计案例学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.3 变量间的相关关系、统计案例 最新考纲 考情考向分析 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用 4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用 . 回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等 . 1两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从 左下角 到 右上角 的区域，对于两个变量的

2、这种相关关系，我们将它称为正相关 (2)负相关 在散点图中，点散布在从 左上角 到 右下角 的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关 (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近 ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 2回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的 距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法 (2)回归方程 方程 y bx a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn，yn)的回归方程，其中 a， b是待定参数 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? b n

3、i 1 ?xi x ?yi y ?ni 1 ?xi x ?2ni 1xiyi n x yni 1x2i n x2，a y bx .3回归分析 (1)定义：对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常用方法 (2)样本点的中心 对于一组具有 线性相关关系的数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)，其中 ( x ， y )称为样本点的中心 (3)相关系数 当 r0 时，表明两个变量 正相关 ； 当 rR22； x， y 之间不能建立线性回归方程 答案 解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此 x， y 是负相关关系，故 正确；由散点图知用 y 21e

4、cxc 拟合比用 y bx a拟合效果要好，则 R21R22，故 正确 ； x， y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故 错误 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关 (2)相关系数： r0 时，正相关； r0 时，正相关； b0 时，负相关 题型二 线性回归分析 典例 (2016 全国 ) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿 吨 )的折线图 注：年份代码 1 7 分别对应年份 2008 2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y

5、与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程 (系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： =【 ;精品教育资源文库 】 = 参考数据： ?i 17yi 9.32， ?i 17tiyi 40.17, ?i 17?yi y ?2 0.55， 72.646. 参考公式：相关系 数 r?i 1n?ti t ?yi y ?i 1n?ti t ?2?i 1n?yi y ?2， 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b?i 1n?ti t ?yi y ?i 1n?ti t ?2， a y bt . 解 (1)由折线图

6、中数据和附注中参考数据得 t 4， ?i 17(ti t )2 28, ?i 17?yi y ?2 0.55. ?i 17(ti t )(yi y ) ?i 17tiyi t ?i 17yi 40.17 49.32 2.89， 所以 r 2.890.5522.646 0.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 (2)由 y 9.327 1.331 及 (1)得 b?i 17?ti t ?yi y ?i 17?ti t ?2 2.8928 0.103 ， a y bt 1.331 0.10340

7、.92. 所以 y 关于 t 的回归方程为 y 0.92 0.10t. 将 2016 年对应的 t 9 代入回归方程得 =【 ;精品教育资源文库 】 = y 0.92 0.109 1.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程 利用公式，求出回归系数 b， a. 待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数 (2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值 (3)利用 回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数 b. (4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当

8、|r|越趋近于 1 时，两变量的线性相关性越强 跟踪训练 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元 )对年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元 )的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i 1,2， ? ， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 x y w ?i 18(xi x )2 ?i 18(wiw )2 ?i 18(xix )( yiy ) ?i 18(wiw )( yi y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi xi， w 18?i 18wi. (1)根据散点图判

9、断， y a bx 与 y c d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由 ) (2)根据 (1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x， y 的关系为 z 0.2y x.根据 (2)的结果回答下列问题： =【 ;精品教育资源文库 】 = 年宣传费 x 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对 于一组数据 (u1， v1)， (u2， v2)， ? ， (un， vn)，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ?i

10、 1n?ui u ?vi v ?i 1n?ui u ?2， v u . 解 (1)由散点图可以判断， y c d x适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的回归方程类型 (2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 d?i 18?wi w ? ?yi y ?i 18?wi w ?2 108.81.6 68， c y dw 563 686.8 100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y 100.6 68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 y 100.6 68 x. (3) 由 (2)知，当 x 49 时， 年销售量 y 的预报值 y 100.6 68 49 576.

11、6， 年利润 z 的预报值 z 576.60.2 49 66.32. 根据 (2)的结果知，年利润 z 的预报值 z 0.2(100.6 68 x) x x 13.6 x 20.12. 所以当 x 13.62 6.8，即 x 46.24 时， z取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 题型三 独立性检验 典例 (2017 全国 ) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量 (单位： kg)，其频率分布直方图如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事

12、件 “ 旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg” ，估计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 50 kg 箱产量 50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图 ，求新养殖法箱产量的中位数的估计值 (精确到 0.01) 附： P(K2 k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2 n?ad bc?2?a b?c d?a c?b d?. 解 (1)记 B 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于 50 kg” ， C 表示事件 “ 新养殖法的箱产量不低于 50 kg” 由题意知， P(A) P(BC) P(B)P(C)