全国通用2019届高考数学大一轮复习第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题学案.doc

1、=【;精品教育资源文库】=高考专题突破三 高考中的数列问题【考点自测】1(2017洛阳模拟)已知等差数列 an的公差和首项都不等于 0，且 a2， a4， a8成等比数列，则 等于( )a1 a5 a9a2 a3A2 B3 C5 D7答案 B解析 在等差数列 an中， a2， a4， a8成等比数列， a a2a8，( a13 d)2( a1 d)24(a17 d)， d2 a1d， d0， d a1， 3.故选 B.a1 a5 a9a2 a3 15a15a12(2018衡水调研)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn， a55， S515，则数列的前 100项和为( )1anan 1A. B

2、.100101 99101C. D.99100 101100答案 A解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d. a55， S515，Error!Error! an a1( n1) d n. ，1anan 1 1n?n 1? 1n 1n 1数列 的前 100项和为 1 .1anan 1 (1 12) (12 13) (1100 1101) 1101 1001013若 a， b是函数 f(x) x2 px q(p0， q0)的两个不同的零点，且 a， b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q的值等于( )A6 B7 C8 D9答案 D解析 由题意知 a

3、b p， ab q， p0， q0， a0， b0.在 a， b，2 这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有： a， b，2； b， a，2；2， a， b；2， b， a；成等比数列的情况有： a，2， b； b，2， a.Error! 或Error!解得Error!或Error!=【;精品教育资源文库】= p5， q4， p q9，故选 D.4(2017江西高安中学等九校联考)已知数列 an是等比数列，数列 bn是等差数列，若a1a6a113 ， b1 b6 b117，则 tan 的值是( )3b3 b91 a4a8A1 B.22C D22 3答案 D解析 an是等比数列， bn是等差数

4、列，且a1a6a113 ， b1 b6 b117， a ( )3,3b67， a6 ， b6 ，3 36 3 373tan tan tanb3 b91 a4a8 2b61 a26 2731 ?3?2tan tan tan .(73) ( 2 3) 3 35(2018保定模拟)已知数列 an的前 n项和为 Sn，对任意 nN *都有 Sn an ，若23 1310， nN *.(1)若 a2， a3， a2 a3成等差数列，求数列 an的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e22，求 e e e .y2a2n 21 2 2n解 (1)由已知， Sn1 qSn1，得 Sn2

5、qSn1 1，两式相减得 an2 qan1 ， n1.又由 S2 qS11 得 a2 qa1，故 an1 qan对所有 n1 都成立所以数列 an是首项为 1，公比为 q的等比数列，从而 an qn1 .由 a2， a3， a2 a3成等差数列，可得 2a3 a2 a2 a3，所以 a32 a2，故 q2.所以 an2 n1 (nN *)(2)由(1)可知， an qn1 ，所以双曲线 x2 1 的离心率 en .y2a2n 1 a2n 1 q2?n 1?由 e2 2，解得 q ，1 q2 3所以 e e e21 2 2n(11)(1 q2)1 q2(n1) n1 q2 q2(n1) n n

6、(3n1)q2n 1q2 1 12思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的跟踪训练 1 (2018沧州模拟)已知首项为 的等比数列 an不是递减数列，其前 n项和为32Sn(nN *)，且 S3 a3， S5 a5， S4 a4成等差数列=【;精品教育资源文库】=(

7、1)求数列 an的通项公式；(2)设 Tn Sn (nN *)，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值1Sn解 (1)设等比数列 an的公比为 q，因为 S3 a3， S5 a5， S4 a4成等差数列，所以 S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5，即 4a5 a3，于是 q2 .a5a3 14又 an不是递减数列且 a1 ，所以 q .32 12故等比数列 an的通项公式为 an n132 ( 12)(1) n1 .32n(2)由(1)得 Sn1 nError!( 12)当 n为奇数时， Sn随 n的增大而减小，所以 1Sn S2 .1Sn 1S2 34 43 712综上，对于 nN

8、*，总有 Sn .712 1Sn 56所以数列 Tn的最大项的值为 ，最小项的值为 .56 712题型二 数列的通项与求和例 2 (2018邢台模拟)已知等差数列 an的公差为 2，前 n项和为 Sn，且 S1， S2， S4成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn(1) n1 ，求数列 bn的前 n项和 Tn.4nanan 1解 (1)因为 S1 a1， S22 a1 22 a12，212=【;精品教育资源文库】=S44 a1 24 a112，432由题意得(2 a12) 2 a1(4a112)，解得 a11，所以 an2 n1.(2)bn(1) n14nanan 1(1) n

9、14n?2n 1?2n 1?(1) n1 .(12n 1 12n 1)当 n为偶数时，Tn (113) (13 15) ( 12n 3 12n 1) ( 12n 1 12n 1)1 .12n 1 2n2n 1当 n为奇数时， Tn (113) (13 15) ( 12n 3 12n 1) ( 12n 1 12n 1)1 .12n 1 2n 22n 1所以 TnError!(或 Tn )2n 1 ? 1?n 12n 1思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法

10、等跟踪训练 2 (2018大连模拟)已知数列 an的前 n项和为 Sn，且a1 ， an1 an(nN *)12 n 12n(1)证明：数列 是等比数列；ann(2)求数列 an的通项公式与前 n项和 Sn.(1)证明 a1 ， an1 an，12 n 12n当 nN *时， 0，ann又 ， (nN *)为常数，a11 12 an 1n 1 ann 12 是以 为首项， 为公比的等比数列ann 12 12=【;精品教育资源文库】=(2)解 由 是以 为首项， 为公比的等比数列，ann 12 12得 n1 ， an n n.ann 12 (12) (12) Sn1 2 23 3 n n，12

11、(12) (12) (12)Sn1 22 3( n1) n n n1 ，12 (12) (12) (12) (12)两式相减得 Sn 2 3 n n n1 n n1 ，12 12 (12) (12) (12) (12)12 (12)n 11 12 (12) Sn2 n1 n n(12) (12)2( n2) n.(12)综上， an n n， Sn2( n2) n.(12) (12)题型三 数列与其他知识的交汇命题点 1 数列与函数的交汇例 3 (2018长春模拟)设等差数列 an的公差为 d，点( an， bn)在函数 f(x)2 x的图象上(nN *)(1)若 a12，点( a8,4b7)

12、在函数 f(x)的图象上，求数列 an的前 n项和 Sn；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点( a2， b2)处的切线在 x轴上的截距为 2 ，求数列1ln 2的前 n项和 Tn.anbn解 (1)由已知，得 b7 a， b8 a4 b7，有 82a4 7a 2?，解得 d a8 a72，所以 Sn na1 d2 n n(n1) n23 n.n?n 1?2(2)f( x)2 xln 2， f( a2) 2ln 2，故函数 f(x)2 x在( a2， b2)处的切线方程为 y 2a 2ln 2(x a2)，它在 x轴上的截距为 a2 .1ln 2由题意，得 a2 2 ，1ln 2 1ln

13、 2=【;精品教育资源文库】=解得 a22，所以 d a2 a11.从而 an n， bn2 n， .anbn n2n所以 Tn ，12 222 323 n 12n 1 n2n2Tn .11 22 322 n2n 1两式相减，得2Tn Tn1 12 122 12n 1 n2n2 12n 1 n2n .2n 1 n 22n所以 Tn .2n 1 n 22n命题点 2 数列与不等式的交汇例 4 (2016天津)已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN *， bn是 an和 an1 的等比中项(1)设 cn b b ， nN *，求证：数列 cn是等差数列；2n 1 2n(2)

14、设 a1 d， Tn (1) kb ， nN *，求证： .2n k 1 2k n k 11Tk 12d2证明 (1)由题意得 b anan1 ，2ncn b b an1 an2 anan1 2 dan1 .2n 1 2n因此 cn1 cn2 d(an2 an1 )2 d2，所以 cn是等差数列(2)Tn( b b )( b b )( b b )21 2 23 24 22n 1 2n2 d(a2 a4 a2n)2 dn?a2 a2n?22 d2n(n1)所以 n k 11Tk 12d2n k 1 1k?k 1? 12d2n k 1(1k 1k 1) .12d2 (1 1n 1) 12d2命题点

15、 3 数列应用题=【;精品教育资源文库】=例 5 某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款 10万元，第一年便可获利 1万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1万元，第一年可获利 1万元，以后每年比前一年增加 5千元两种方案的使用期都是 10年，到期一次性归还本息若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？(参考数据：取 1.05101.629,1.3 1013.786,1.5 1057.665)解 甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为 1，公比为(130%)，所以 10年所获得的总利润为S101(130%)(130%) 2(130%) 9 42.62(万元)，1.310 10.3贷款到期时，需要偿还银行的本息是10(15%) 1016.29(万元)，故使用甲方案所获纯利润为 42.6216.2926.33(万元)乙方案中，每年的利润组