1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示课件-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二.pptx

1、 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系1.空间中点、直线和平面的向量表示引入引入 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题，我们发现建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键，本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题。 思考1 如何用向量表示空间中的一个点的位置向量。称为点我们把向量来表示可以用向量就任意一点作为基点，那么空间中点在空间中，我们取一定POPOPPO.Po1.点的位置向量新知新知思考2:我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何向量表示直线 l

2、？ 2、空间直线的向量表示式空间直线的向量表示式, aABlla上取的方向向量，在直线是直线如图，O空间中的任意一点进一步，如图，取定上的动点是直线设lPABtAPa tAPtlP即，使得存在实数上在直线点，由向量共线的条件可知,，使得存在实数在直线点a tOAOPtlP直线的向量的表达式。式和式都称为空间代入上式，得将ABtOAOPaAB新知新知3、空间平面的向量表达式空间平面的向量表达式思考3：一个定点和两个定方向，能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？,baA，它们的方向向量为设两条直线相交于点，可以确定平面与向量这样点baA,为平面内任意一点P，使得（存在唯一的有序实数

3、对可知，由平面向量的基本定理byaxAPyx),O意一点进一步，取定空间内任APOAOPyxP，使存在实数内位于平面点,的向量表达式。面我们把此式称为空间平即ABCACyABxOAOP,新知新知思考4：进一步地，一个定点和一个定方向，能否确定一个平面。如果能确定，如何用向量表示这个平面？新知新知4、平面的法向量法向量。的为平面，我们称向量的方向向量取直线法向量：直线aall,0 APaPaAaA示为集合平面完全确定，可以表为法向量的，且以向量，那么过点和一个向量注：给定一个点练习练习1、判断下列命题是否正确(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量。（ ）(2)若v是直线l的方向向量，则

4、v(R)也是直线l的方向向量。 （ ）(3)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。 ( )2、若点A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是_.(2,4,6) xyz例例1已知长方体已知长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为为AB中点中点.以以D为原点，为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示空间直角轴建立如图所示空间直角坐标系，坐标系，（1）求平面）求平面BCC1B1的一个法向量的一个法向量（2）求平面）求平面MCA1的一个法向量的一个法

5、向量A1D1C1B1ACBOM例题例题解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量xyz例例1已知长方体已知长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为为AB中点中点.以以D为原点，为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示空间直角轴建立如图所示空间直角坐标系，坐标系，（1）求平面）求平面BCC1B1的一个法向量的一个法向量（2）求平面）求平面MCA1的一个法向量的一个法向量A1D1C1B1ACBOM例题例题 122121,0,-2,2MA,3,2,0-MC2MAn

6、MCnMCAzyxn则的法向量是平面设是平面的一个法向量于是，则取所以3 , 3 , 2, 3, 23320220232122nyxzzyzxzyMAnyxMCn归纳求平面法向量的步骤：设出平面的法向量为n=(x，y，z)找平面内的两个不共线的向量的坐标依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组解方程组，赋值，取其中的一个解，即得法向量，归纳归纳练习练习解：以解：以D为原点为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系标系( (如图所示如图所示) )小结小结1、空间中点、直线和平面的向量表示 点点+位置向量 线点+方向向量 平面点+法向量2、归纳求平面法向量的步骤：设出平面的法向量为n=(x，y，z)找平面内的两个不共线的向量的坐标依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组解方程组，赋值，取其中的一个解，即得法向量，作业作业课本P29 练习 3