第一章空间向量与立体几何单元复习测试卷(易)-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

人教版(人教版(2019)选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习(易)选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习(易)学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.点(3,2,1)关于 Oxy 平面的对称点为( )A. ( 3, 2, 1)B. ( 3,2,1)C. (3, 2,1)D. (3,2, 1)2.已知 = (1,0,1)， = ( 2, 1,1)， = (3,1,0)，则| + 2|等于()A. 3 10B. 2 10C. 10D. 53.对于空间向量 = (1,2，3)， = (,4，6).若/，则实数 = ()A. 2B. 1C. 1D. 24.三棱柱 111中，N 是1的中点，若 = ， = ，1= ，则 = ( )A. 12( + )B. 12( + + )C. + +12D. +12( + )5.已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 的值为()A. 2B. 122C. 142D. 3426.若向量 = (1,1), = (2, 1, 2)，且与夹角的余弦值为26，则等于()A. 2B. 2C. 2或 2D. 27.如果向量 = (2, 1,3)， = ( 1,4，2)， = (1, 1,)共面，则实数 m 的值是()A. 1B. 1C. 5D. 58.直三棱柱 111中， = 90，M，N 分别是11，11的中点， = = 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )A. 110B. 25C. 3010D. 22二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知点 P 是 所在的平面外一点，若AB = ( 2,1，4)，AP = (1, 2,1)，AC = (4,2，0)，则A. B. C. =53D. /10.设，是空间一个基底，则( )A. 若 ， ，则 B. 则，两两共面，但，不可能共面C. 对空间任一向量，总存在有序实数组(,)，使 = + + D. 则 + ， + ， + 一定能构成空间的一个基底11.对于任意非零向量 = (1,1,1)， = (2,2,2)，以下说法错误的有( )A. 若 ，则12+ 12+ 12= 0；B. 若/，则12=12=12C. cos =12+ 12+ 1221+ 21+ 2122+ 22+ 22；D. 若1= 1= 1= 1，则为单位向量12.在正方体 1111中，若点,分别为,11的中点，则( )A. 1 平面 EFGB. 1/平面 EFGC. 1 平面 EFGD. 1/平面 EFG三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知点 M 是三棱锥 的底面 ABC 的重心，若 = + + (、y、 )，则 + + 的值为_14.如图所示，在平行四边形中，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为_ 15.如图所示，在长方体 1111中， = 1= 1， = 3，点 E 是棱 AB的中点，点 E 到平面AC1的距离为_16.如图， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 平面 ABCD， 平面 ABCD， 且 = = 1， G 为线段 EC上的动点，则下列结论中正确的是 ；该几何体外接球的表面积为3；若 G 为 EC 中点，则/平面 AEF；2+ 2的最小值为 3四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图， 已知平行六面体ABCD 1111中， 底面ABCD是边长为1的正方形，1= 2,1AB = 1AD = 120.设AB = ,AD = ,1= ()求|1|；()求1 BD18.如图正方形 ACDE 所在平面与平面 ABC 垂直，M 是 CE 和 AD 的交点，且 , = . (1)求证： 平面 EBC；(2)求锐二面角 的大小19.如图，平面 平面 ABCD，ABCD 为正方形，是直角三角形，且 = = 2，E、F、G 分别是线段PA、PD、CD 的中点 (1) 求证：面 面 PAB；(2) 求点 A 到面 EFG 的距离20.如图所示，平面 平面 BCEF，且四边形 ABCD 为矩形，四边形 BCEF 为直角梯形，/， ， = = 4， = = 2 ()求证：/平面 CDE；()求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小；21.如图，在菱形 ABCD 中， = 2， = 60，沿对角线 BD 将折起，使 A，C 之间的距离为 6，若 P，Q 分别为线段 BD，CA 上的动点 (1)求线段 PQ 长度的最小值；(2)当线段 PQ 长度最小时，求直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值22.在四棱锥 中， 平面 ABCD，/， ， = ，: = 2: 2:1 (1)求证： (2)求二面角 的余弦值(3)设点 Q 为线段 PD 上一点，且直线 AQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为23，求:的值人教版(人教版(2019)选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习(易)选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习(易)学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.点(3,2,1)关于 Oxy 平面的对称点为( )A. ( 3, 2, 1)B. ( 3,2,1)C. (3, 2,1)D. (3,2, 1)【答案】：D【解析】：点(3,2，1)关于 xOy 平面的对称点为(3,2， 1)故选：D2.已知 = (1,0,1)， = ( 2, 1,1)， = (3,1,0)，则| + 2|等于()A. 3 10B. 2 10C. 10D. 5【答案】：A【解析】：因为 +2 = (9,3,0)，所以| + 2|=92+ 32+ 02= 3 10故选 A3.对于空间向量 = (1,2，3)， = (,4，6).若/，则实数 = ()A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】：D【解析】： /， 设 = ， 又空间向量 = (1,2，3)， = (,4，6)， 1 = ，2 = 4，3 = 6， 解得 =12，实数 = 2故选 D4.三棱柱 111中，N 是1的中点，若 = ， = ，1= ，则 = ( )A. 12( + )B. 12( + + )C. + +12D. +12( + )【答案】：B【解析】： = + = +121 = +12( + 1) = +12( + 1) = +12( + ) =12( + + )， 故选 B5.已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 的值为()A. 2B. 122C. 142D. 342【答案】：C【解析】：如图所示， =12， =12( + )， =14( + ) =14(2cos60 + 2cos60) =142故选 C 6.若向量 = (1,1), = (2, 1, 2)，且与夹角的余弦值为26，则等于()A. 2B. 2C. 2或 2D. 2【答案】：A【解析】： 向量 = (1,1), = (2, 1, 2)， 与夹角的余弦值为26， cos = | |=2 + 29=26， 解得 = 2( =2舍去)故选：A7.如果向量 = (2, 1,3)， = ( 1,4，2)， = (1, 1,)共面，则实数 m 的值是()A. 1B. 1C. 5D. 5【答案】：B【解析】： 向量 = (2, 1,3)， = ( 1,4，2)， = (1, 1,)共面， 存在 x，y，使得 = + ， (2, 1,3) = ( + ,4 ,2 + )， + = 24 = 12 + = 3，解得 =13， =73， = 1 实数 m 的值是 1故选：B8.直三棱柱 111中， = 90，M，N 分别是11，11的中点， = = 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )A. 110B. 25C. 3010D. 22【答案】：C【解析】：根据已知条件，分别以11，11，1所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 = 2，则：(2,0，2)，(1,0，0)，(0,2，2)，1(2,0，0)，1(0,2，0)，(1,1，0)； = (1, 1, 2), = ( 1,0, 2)； cos =365=3010； 与 AN 所成角的余弦值为3010故选 C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知点 P 是 所在的平面外一点，若AB = ( 2,1，4)，AP = (1, 2,1)，AC = (4,2，0)，则A. B. C. =53D. /【答案】：AC【解析】： = 2 2 + 4 = 0，故 ，故 A 正确； = = (3, 3, 3)， = 3 + 6 3 = 6 0，故 A BP，故 B 不正确 = = (6,1, 4)，则|=36 + 1 + 16 =53，故 C 正确； 162114，故 A/不正确，故选 AC 10.设，是空间一个基底，则( )A. 若 ， ，则 B. 则，两两共面，但，不可能共面C. 对空间任一向量，总存在有序实数组(,)，使 = + + D. 则 + ， + ， + 一定能构成空间的一个基底【答案】：BCD【解析】：由，是空间一个基底，知：在 A 中，若 ， ，则与不平行，但夹角不一定为90，故 A 错误；在 B 中，两两共面，但，不可能共面，故 B 正确；在 C 中，对空间任一向量，总存在有序实数组(,y，)，使 = + + ，故 C 正确；在 D 中， + ， + ， + 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确故选：BCD11.对于任意非零向量 = (1,1,1)， = (2,2,2)，以下说法错误的有( )A. 若 ，则12+ 12+ 12= 0；B. 若/，则12=12=12C. cos =12+ 12+ 1221+ 21+ 2122+ 22+ 22；D. 若1= 1= 1= 1，则为单位向量【答案】：BD【解析】：对于 A：若，则 = 0，即，故 A 正确；对于 B：如 = (0,0，1)， = (0,0，2)时，12=12=12不成立，故 B 错误；对于 C：由空间向量夹角公式得，故 C 正确；对于 D：若，则| =3，不是单位向量，故 D 错误，故选 BD12.在正方体 1111中，若点,分别为,11的中点，则( )A. 1 平面 EFGB. 1/平面 EFGC. 1 平面 EFGD. 1/平面 EFG【答案】：AB【解析】：以 D 为坐标原点，DA、DC、1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系如下： 设正方体 1111的边长为 2则(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，1(0,2,2)，1(0,0,2)，1(2,2,2)，因此1= (2,2,2)，1= (0, 2,2)，1= ( 2,2,2)又因为点,分别为,11的中点，所以(2,1,0)，(1,2,0)，(0,1,2)，因此 = ( 1,1,0)， = ( 2,0,2)设平面 EFG 的法向量为 = (,)，则 = 0 = 0，即 + = 02 + 2 = 0，令 = 1，则 = = 1，因此 = (1,1,1)是平面 EFG 的一个法向量因为1= (2,2,2) = 2，所以平面 EFG， 因此 A 正确；又因为1 = 2 1 + 2 1 = 0，所以1 ，而1平面 EFG，因此1/平面 EFG， 所以 B 正确；又因为1 ( 0)，1 = 2 0，所以平面 EFG 和1/平面 EFG 都不成立， 因此 C 与 D 都不正确故选 AB三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知点 M 是三棱锥 的底面 ABC 的重心，若 = + + (、y、 )，则 + + 的值为_【答案】： 13【解析】：如图，连结 PM， 是三棱锥 的底面 的重心， =13( + )， = + = +13 +13， = + + (、y、 )， = 1， = =13， + + = 13故答案： 13 14.如图所示，在平行四边形中，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为_ 【答案】：2 或 2【解析】： = 90， = 0同理 = 0 和 CD 成60角，= 60或120 = + + ，即2= ( + + )2，2= 3 + 2 1 1 cos 2= 2或 4， | = 2或 2， 故答案为 2 或 2 15.如图所示，在长方体 1111中， = 1= 1， = 3，点 E 是棱 AB 的中点，点 E 到平面AC1的距离为_【答案】31938【解析】：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系，(1,32,0)，(1,0，0)，(0,3，0)，1(0,0，1)， = ( 1,3，0)，1= ( 1,0，1)， = (0,32,0)，设平面1的法向量 = (,y，)，则 = + 3 = 0 1= + = 0,取 = 1，得 = (3,1，3)， 点 E 到面1的距离为 =| |=31938故答案为31938 16.如图， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 平面 ABCD， 平面 ABCD， 且 = = 1， G 为线段 EC上的动点，则下列结论中正确的是 ；该几何体外接球的表面积为3；若 G 为 EC 中点，则/平面 AEF；2+ 2的最小值为 3【答案】：【解析】：以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，可得(0,0，0)，(1,0，0)，(1,1，0)，(0,1，0)，(1,1，1)，(0,0，1)，即有 = (0,1， 1)， = (0,1，1)，由 = 0 + 1 1 = 0，可得 ，故正确；由球心在过正方形 ABCD 的中心的垂面上，即为矩形 BDEF 的对角线的交点，可得半径为 (22)2+ (12)2=32，即有该几何体外接球的表面积为4 34= 3，故正确；若 G 为 EC 中点，可得(12,1，12)， = ( 12,0，12)， = ( 1,0，1)， = (0,1，1)，设平面 AEF 的法向量为 = (,y，)，可得 + = 0，且 + = 0，可设 = 1，可得一个法向量为(1, 1,1)，由 = 12+12= 0，可得 ，则 /平面 AEF，故正确；设(0,t，1 )(0 1)， 2+ 2= 1 + 2+(1 )2+1 + (1 )2+(1 )2= 42 6 +5 = 4( 34)2+114，当 =34时，取得最小值114，故错误故答案为：zyx四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图， 已知平行六面体ABCD 1111中， 底面ABCD是边长为1的正方形，1= 2,1AB = 1AD = 120.设AB = ,AD = ,1= ()求|1|；()求1 BD【解析】：()1= + + 1= + + 1=+， = 0， 1= 1 2 ( 12) = 1， 1= 1 2 ( 12) = 1， |1|2= (+)2 =2+2+2 +2(+) = 1 + 1 + 4 + 2(0 1 1) = 2， 即有|1| =2； ()1 = 1 = = 1 ( 1) = 018.如图正方形 ACDE 所在平面与平面 ABC 垂直，M 是 CE 和 AD 的交点，且 , = . (1)求证： 平面 EBC；(2)求锐二面角 的大小【解析】(1)证明： 四边形 ACDE 是正方形， ， 平面 平面 ABC，平面平面 = ， 平面 ACDE， 平面 ABC， 以点 A 为原点，以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴，分别以 AC 和 AE 所在直线为 y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 ，设 = = = 2，则(0,0，0)，(2,2，0)，(0,2，0)，(0,0，2) 是正方形 ACDE 的对角线的交点， (0,1，1) = (0,1，1)， = (0,2，0) (0，0，2) = (0，2， 2)， = (2,2，0) (0，2，0) = (2，0，0)， = 0， = 0， ， 又 = ，EC， 平面 EBC， 平面 EBC； (2) 设平面 EAB 的法向量为 = (,y，)，则 且 ， = 0且 = 0. (0,0,2).(,) = 0,(2,2,0).(,) = 0, 即 = 0, + = 0.取 = 1， = 1. = (1, 1,0)，又 为平面 EBC 的一个法向量，且 = (0,1，1)， cos， =|= 12，设二面角 的平面角为，由图可知为锐角，则cos =12， = 60. 二面角 等于6019.如图，平面 平面 ABCD，ABCD 为正方形，是直角三角形，且 = = 2，E、F、G 分别是线段PA、PD、CD 的中点 (1) 求证：面 面 PAB；(2) 求点 A 到面 EFG 的距离【解析】解法一解法一 (1)证明： 为正方形，是直角三角形，且 = = 2， ， 又 = ， 面 PAB 、F 分别是线段 PA、PD 的中点， /， 面 PAB又 面 EFG， 面 面 PAB (2)解： 取 AB 中点 H，连接 GH，HE，则/， 、F、G、H 四点共面，过点 A 作 于 T， 面 面 PAB， 平面 EFGH， 就是点 A 到平面 EFG 的距离在RtAEH中， = = 1， = =1 12=22，故点 A 到平面 EFG 的距离为22解法二解法二： ： 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则(0,0，0)，(2,0，0)，(2,2，0)，(0,2，0)，(0,0，2)，(0,0，1)，(0,1，1)，(1,2，0) (1)证明： = (0,1，0)， = (0,0，2)， = (2,0，0)， = 0 0 + 1 0 + 0 2 = 0， = 0 2 + 1 0 + 0 0 = 0， ， 又 、 面 PAB，且 = ， 平面 PAB又 面 EFG， 平面 平面 PAB (2) 设平面 EFC 的法向量 = (,y，)， 则 = (,) (0,1,0) = 0 = (,) (1,2, - 1) = 0 = 0 + 2 - = 0令 = 0，得 = (1,0，1)又 = (0,0，1)， 点 A 到平面 EFG 的距离 = | = |12| =22 20.如图所示，平面 平面 BCEF，且四边形 ABCD 为矩形，四边形 BCEF 为直角梯形，/， ， = = 4， = = 2 ()求证：/平面 CDE；()求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小；【解析】()证明： 四边形 BCEF 为直角梯形，四边形 ABCD 为矩形， ， ， 又 平面 平面 BCEF，且平面 平面 = ， 平面 BCEF 以 C 为原点，CB 所在直线为 x 轴，CE 所在直线为 y 轴，CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0，4)，(2,0，0)，(0,0，0)，(0,0，4)，(0,4，0)，(2,2，0)，则 = (0,2， - 4)， = (2,0，0) ， ， = ，CD、 平面 CDE， 平面 CDE， 为平面 CDE 的一个法向量又 = 0 2 + 2 0 + ( - 4) 0 = 0，且平面 CDE /平面 CDE()设平面 ADE 的一个法向量为 = (,y，)，则 = ( - 2,0，0)， = (0,4， - 4)， = -2 = 0 = 4 - 4 = 0, 令 = 1，可取得 = (0,1，1)， 平面 BCEF， 平面 BCEF 一个法向量为 = (0,0，4)，设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为，则 =44 2=22，因此，平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为421.如图，在菱形 ABCD 中， = 2， = 60，沿对角线 BD 将折起，使 A，C 之间的距离为 6，若 P，Q 分别为线段 BD，CA 上的动点 (1)求线段 PQ 长度的最小值；(2)当线段 PQ 长度最小时，求直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值【解析】：取 BD 中点 E，连接 AE，CE，则 ， ， = =3因为 =6，所以2+ 2= 2，所以 为直角三角形，所以 ， = ， 平面 BCD， 平面 BCD，所以 平面 BCD以 EB，EC，EA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则(1,0，0)，(0, 3,0)，(0,0， 3).(1)设(,0，0)， = = (0, 3, 3)，则 = + = ( ,3,0) +(0, 3, 3)= ( , 3 3, 3)， |=2+ (33)2+ 32=2+ 62 6 + 3 =2+ 6 122+32，当 = 0， =12时，PQ 长度最小值为62. (2)由(1)知 = (0,32,32)，设平面 ACD 的一个法向量为 = (,)由 ， ，( 1,0，0)，即 = (1,0, 3)， = (1, 3,0)，得(,)(1,0,3) = 0(,)(1,3,0) = 0, 化简得 +3 = 0 +3 = 0,令 =3，则 = 1， = 1， 即 = ( 3, 1, 1)设 PQ 与平面 ACD 所成角为，则 = |cos，| =|3625|=105故直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值为10522.在四棱锥 中， 平面 ABCD，/， ， = ，: = 2: 2:1 (1)求证： (2)求二面角 的余弦值(3)设点 Q 为线段 PD 上一点，且直线 AQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为23，求:的值【解析】(1)证明：分别以 AB、AD、AP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(1,2,0)， = ( 2,2,0)， = (1,2, 2)所以 = 0，所以 ； (2) = (1,2,0)， = (0,0,2)，平面 PAC 的法向量为 = (2, 1,0)，平面 DPC 的法向量为 = (0, 2, 1)，所以二面角 的余弦值为23； (3) 由 = + = + ， 0,1， = (0,0,2) + (0,2, 2) = (0,2,2 2)，设为直线 AQ 与平面 PAC 所成角，即23 22+ (2 2)2=23 ，整理得32= 62 8 +4， 解得 =23 或 = 2(舍)， 所以=23