新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期期末综合测试卷（一）.rar

选择性必修一 期末综合测试（一）选择性必修一 期末综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1.若椭圆222134xyn和双曲线222116xyn有相同的焦点，则实数n的值是( )A.5B.3C.5D.92.直线43120 xy与x轴、y轴分别交于,A B两点，则BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为( )A.260 xyB.230 xyC.230 xyD.260 xy或230 xy3.在四棱柱1111ABCDABC D中，1A A 平面1,3ABCD AA ，底面是边长为 4 的菱形，且1111160 ,DABACBDO ACB DO E是1O A的中点，则点E到平面1O BC的距离为( )A.2B.1C.32D.34点1,2关于直线20 xy的对称点是（ ）A1,0B0,1C0, 1D2,15已知 A，B，C 是椭圆2222:1(0)xyabab上不同的三点，且原点 O 是ABC 的重心，若点 C 的坐标为3,22a b，直线 AB 的斜率为33，则椭圆的离心率为（ ）A13B2 23C23D736已知AB是O的定直径，过O上的动点P作切线与过点,A B的切线分别交于点MN、，连接,BM AN交于点T，则点T的轨迹是（ ）A圆B椭圆C抛物线的一段D线段7. 试在抛物线2y4x 上求一点P，使其到焦点F的距离与到A2,1的距离之和最小，则该点坐标为()A. 1,14B. 1,14C. 2, 2 2D. 2,2 28. 已知椭圆r：222210 xyabab的右焦点为1,0F， 且离心率为12， 三角形ABC的三个顶点都在椭圆r上，设它的三条边ABBCAC的中点分别为DEM，且三条边所在直线的斜率分别为1k2k3k， 且1k2k3k均不为 0.O为坐标原点， 若直线ODOEOM的斜率之和为 1.则123111kkk（ ）A. 43B. -3C. 1813D. 32二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9以下四个命题表述正确的是（ ）A直线34330m xymm R恒过定点3, 3B已知圆22:4C xy，点 P 为直线142xy上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点1,2C曲线22120C : xyx与曲线222480C : xyxym恰有三条公切线，则4m D圆224xy上存在 4 个点到直线:20l xy的距离都等于 110已知点P是双曲线22:1169xyE的右支上一点，12FF双曲线E的左、右焦点，12PFF的面积为 20，则下列说法正确的有( )A点P的横坐标为203B12PFF的周长为803C12FPF小于3D12PFF的内切圆半径为3211古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前 262公元前 190 年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(0k 且1k )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知0,0O，3,0A，圆C：22220yxrr上有且仅有一个点P满足2PAPO，则r的取值可以为A1B2C3D512、如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）A直线与直线始终是异而直线B存在点，使得C四面体的体积为定值D当时，平面平面三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13已知点3,0A，椭圆222:103xyCaa的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为_14早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知O为坐标原点，1, 3P ，若O，P的“长”分别为 1，r，且两圆相外切，则r _.15已知椭圆222210 xyabab的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是1F，2F， 且1F AB的面积为232， 点P为椭圆上的任意一点， 则1211PFPF的取值范围是_.16. 过抛物线2:2(0)C xpy p的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，若3 AFBF，O 为坐标原点，则OFAF_.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）1111ABCDABC D1DDM1BDAD1C MM1B MAEEMAC12D MMBEAC MAC17已知直线1l：220 xy；2l：40(mxynm，n 为常数)（1）若121l ，求 m 的值；（2）若12/ /1l，且它们的距离为5，求 m，n 的值18如图，四棱柱1111ABCDABC D中，侧棱1A A 底面ABCD，/ /ABDC，ABAD，1ADCD，12A AAB，E为1AA棱的中点. （1）证明11BCCE；（2）求二面角11BCEC的余弦值；（3）设点M在线段1C E上，且直线AM与平面11ADD A所成角的正弦值为26，求线段AM的长.19已知直线 l：210axa y （1）若直线 l 在 x 轴上截距和在 y 轴上截距相等，求 a 的值；（2）若直线 l 与圆22111225xy相切，求 a 的值20已知抛物线 C:24yx，焦点为F，点11,A x y在抛物C上，设10Dx ，其中10 x （I）求焦点F的坐标；（）试判断直线AD与抛物线C的位置关系，并加以证明21.已知椭圆222:9(0)Cxym m,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由22. 如图，椭圆2222:1(0)xyEabab经过点(0, 1)A，且离心率为22.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点,P Q（均异于点A） ，证明 ：直线AP与AQ的斜率之和为 2. 选择性必修一 期末综合测试（一）选择性必修一 期末综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1.若椭圆222134xyn和双曲线222116xyn有相同的焦点，则实数n的值是( )A.5B.3C.5D.91.B 由题意，可知椭圆222134xyn的半焦距2134cn，双曲线222116xyn的半焦距2216cn，所以223416nn，则实数3n ，故选 B.2.直线43120 xy与x轴、y轴分别交于,A B两点，则BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为( )A.260 xyB.230 xyC.230 xyD.260 xy或230 xy2.B 由直线43120 xy，令0 x ，得4y ，令0y ，得3x ，即0,4 ,3,0BA.由图可知BAO为锐角，BAO的平分线所在的直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值.设,P x y为BAO的平分线所在的直线上的任意一点，则点P到OA的距离为y，到 AB 的距 离 为22|4312|4312|543xyxy. 由 角 平 分 线 的 性 质 ， 得|4312|5xyy，43125xyy或43125xyy ，即260 xy或230 xy.由于斜率为负值，故BAO的平分线所在直线的方程为230 xy.3.在四棱柱1111ABCDABC D中，1A A 平面1,3ABCD AA ，底面是边长为 4 的菱形，且1111160 ,DABACBDO ACB DO E是1O A的中点，则点E到平面1O BC的距离为( )A.2B.1C.32D.33.C 易得1OO 平面ABCD，所以11,OOOA OOOB.又OAOB，所以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为底面ABCD是边长为 4 的菱形，60DAB，所以2 3,2OAOB，则12 3,0,0 ,0,2,0 ,2 3,0,0 ,0,0,3ABCO，所以11(0,2, 3),( 2 3,0, 3)O BOC uuu ruuu r.设平面1O BC的法向量为( , , )x y zn，则1100O BOCnnuuu ruuu r，所以2302 330yzxz，取2z ，则3,3xy ，则(3,3,2) n是平面1O BC的一个法向量.设点E到平面1O BC的距离为d.因为E是1O A的中点，所以1333,0,3,0,22EEO uuu r，则122233,0,(3,3,2)23|2(3)32EOd nnuuu r，所以点E到平面1O BC的距离为32.4点1,2关于直线20 xy的对称点是（ ）A1,0B0,1C0, 1D2,1【答案】B【分析】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.【详解】解：设点1,2A关于直线20 xy的对称点是,B a b，则有211122022baab，解得0a ，1b ，故点1,2关于直线20 xy的对称点是0,1.故选：B.【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点,A a b关于直线0AxByC的对称点,A m n，则有1022nbAmaBambnABC ；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.5已知 A，B，C 是椭圆2222:1(0)xyabab上不同的三点，且原点 O 是ABC 的重心，若点 C 的坐标为3,22a b，直线 AB 的斜率为33，则椭圆的离心率为（ ）A13B2 23C23D73【答案】B【分析】根据椭圆的第三定义22OCABbkka ，可求得, a b的关系，进而求得离心率；【详解】设AB的中点D，因为原点 O 是ABC 的重心，所以,C O D三点共线，所以ODOCkk，由于222231333OCABbbbbkkaaaa ，所以2 23e ，故选：B.6已知AB是O的定直径，过O上的动点P作切线与过点,A B的切线分别交于点MN、，连接,BM AN交于点T，则点T的轨迹是（ ）A圆B椭圆C抛物线的一段D线段【答案】B【分析】设圆的半径为 1，以圆心 O 为原点直径 AB 为 x 轴建立直角坐标系，设cos ,sinP，得到切线 MN 的方程cossin1xy，进而得到 M，N 的坐标，写出直线 AN，BM 的方程，两式相乘化简即可.【详解】设圆的半径为 1，以圆心 O 为原点直径 AB 为 x 轴建立直角坐标系：则1,0 ,1,0AB，圆的方程为221xy，设cos ,sinP，则切线 MN 的方程为cossin1xy，直线 AM 的方程为1x ，直线 BN 的方程为1x ，所以1cos1cos1,1,sinsinMN，则直线 AN 的方程为 1cos12sinyx，直线 BM 的方程为1cos12sinyx ，两式相乘得22221cos14sinyx ，即2241xy，当点 P 恰为 A 或 B 时，四边形 ABNM 变为线段 AB，不符合题意，所以轨迹不包括 A，B 两点，所以 T 的轨迹为椭圆，故选：B7. 试在抛物线2y4x 上求一点P，使其到焦点F的距离与到A2,1的距离之和最小，则该点坐标为()A. 1,14B. 1,14C. 2, 2 2D. 2,2 2【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为( 1,0)F ，准线方程为:1l x 过点 P 作PMl于点M，由定义可得| |PMPF所以| |PAPFPAPM，由图形可得，当, ,P A M三点共线时，|PAPM最小，此时PAl故点P的纵坐标为 1，所以横坐标14x 即点 P 的坐标为1(,1)4选 A8. 已知椭圆r：222210 xyabab的右焦点为1,0F， 且离心率为12， 三角形ABC的三个顶点都在椭圆r上，设它的三条边ABBCAC的中点分别为DEM，且三条边所在直线的斜率分别为1k2k3k， 且1k2k3k均不为 0.O为坐标原点， 若直线ODOEOM的斜率之和为 1.则123111kkk（ ）A. 43B. -3C. 1813D. 32【答案】A【解析】 因为椭圆的右焦点为1,0F， 且离心率为12， 所以11,2cca， 解得 22,3ab，所以椭圆方程为：22143xy，设 112233,A x yB xyC xy，则222212121,14343yxyx，两式相减得：1212121243 yyxxyyxx，即143ODABkk ，同理1414,33OMOEACBCkkkk ，又直线ODOEOM的斜率之和为 1，所以1231114433ODOMOEkkkkkk ，故选：A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9以下四个命题表述正确的是（ ）A直线34330m xymm R恒过定点3, 3B已知圆22:4C xy，点 P 为直线142xy上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点1,2C曲线22120C : xyx与曲线222480C : xyxym恰有三条公切线，则4m D圆224xy上存在 4 个点到直线:20l xy的距离都等于 1【答案】BC【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出直线恒过定点()3,3，判断A错误；求出直线方程()2402ym xy，判断直线AB经过定点(1,2)，B正确；根据两圆外切，三条公切线，可得C正确；根据圆心(0,0)到直线1:20 xy的距离等于 1，判断D错误.【详解】对于A，直线方程可化为(3)3430m xxy，令30 x，则3430 xy，3x ，3y ，所以直线恒过定点()3,3，A错误；对于B，设点P的坐标为( , )m n，所以，142mn，以OP为直径的圆的方程为220 xymxny，两圆的方程作差得直线AB的方程为：4mxny+=，消去n得，()2402ym xy，令02yx ，240y ，解得1x ，2y ，故直线AB经过定点(1,2)，B正确；对于C，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线22120C : xyx化为标准式得，22(1)1xy曲线222480C : xyxym化为标准式得，22(2)(4)200 xym所以，圆心距为 5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即1205m，解得4m ，C正确；对于D，因为圆心(0,0)到直线1:20 xy的距离等于 1，所以直线与圆相交，而圆的半径为 2，故到直线距离为 1 的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:20 xy的距离等于 1，D错误；故选：BC【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题10已知点P是双曲线22:1169xyE的右支上一点，12FF双曲线E的左、右焦点，12PFF的面积为 20，则下列说法正确的有( )A点P的横坐标为203B12PFF的周长为803C12FPF小于3D12PFF的内切圆半径为32【答案】ABCD【分析】在焦点三角形中利用1 21 2211222tan2PPF FPF FbSc yr C 三种表达形式， 可判定ACD选项正确， 由两点间的距离公式表示2PF， 利用双曲线的定义表示1PF， 从而表示12PFF的周长，即可判定 B 选项正确.【详解】因为双曲线22:1169xyE，所以1695c 又因为1 2112102022PPFPFSc yy，所以4Py将其代入22:1169xyE得2241169x，即203x ，所以选项 A 正确；所以 P 的坐标为20, 43，由对称性可知22220135433PF,由双曲线定义可知1213372833PFPFa所以1 212133721038033PF FCPFPFc，所以选项 B 正确；因为1 22920tantan22PF FbS，所以93tantan22036，即26，所以123FPF，所以选项 C 正确；因为1 21 2180122320PF FPF FSr Cr ，所以32r ，所以选项 D 正确.故选：ABCD11古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前 262公元前 190 年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(0k 且1k )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知0,0O，3,0A，圆C：22220yxrr上有且仅有一个点P满足2PAPO，则r的取值可以为A1B2C3D5【答案】.AD 【详解】设,P x y，由2PAPO，得2222344xyxy，整理得2214xy，又点P是圆C：22220yxrr上有且仅有的一点，所以两圆相切 圆2214xy的圆心坐标为（1，0） ，半径为 2，圆 C：22220yxrr的圆心坐标为（2，0） ，半径为 r，两圆的圆心距为 3，当两圆外切时，r+23，得 r1，当两圆内切时，|r2|3，得 r5故选 AD12、如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）A直线与直线始终是异而直线B存在点，使得C四面体的体积为定值D当时，平面平面【答案】.BCD 【详解】对于 A 选项，连接交与，当点在点时，直线与直线相交，故 A 选项不正确；对于 C.选项，连接，交于 ，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故 C 选项正确；以为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则，E1111ABCDABC D1DDM1BDAD1C MM1B MAEEMAC12D MMBEAC MAC1AC1BDOMOAD1C MACBD1O11/EOBD1BDAECEMACD20,0,0D10,0,2D， ，对于 B 选项， 存在点，使得，则， 所 以，得，故当满足时，故 B 选项正确；对于 D 选项，当满足时， ，故平面的法向量可求得为：，故平面的法向量可求得为：，所以，即平面平面，故 D 选项正确.三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13已知点3,0A，椭圆222:103xyCaa的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为_【答案】4【分析】由线段AF的中点恰好在椭圆C上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.【详解】由线段AF的中点恰好在椭圆C上，即为右顶点，可得2332aa，解得2a ，所以椭圆C的长轴长为 4故答案为：4.14早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知O为坐标原点，1, 3P ，若O，P的“长”分别为 1，r，且两圆相外切，则r _.【答案】1【分析】根据圆的定义，求得22:1O xye，222:(1)(3)Pxyr，根据两圆的位置关系，即可求解.2,0,0A0,2,0C0,0,1E2,2,0B12,2,2BM1B MAE2,0,1AE 1110,0, 22, 2,22 , 2 ,22B MB BBD 0,114220AE B M 13M12D MMB1B MAEM12D MMB4 4 2,3 3 3M2,0,1AE 2,2,0AC AEC1,1,2n 2 4 2,3 3 3AM 2,2,0AC MAC1,1, 1m 0m n EAC MAC【详解】由题意，O为坐标原点，1, 3P ，根据圆的定义，可得22:1O xye，222:(1)(3)Pxyr，因为两圆相外切，可得1POr，即221( 1)( 3)2r ，解得1r .故答案为：1.15已知椭圆222210 xyabab的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是1F，2F， 且1F AB的面积为232， 点P为椭圆上的任意一点， 则1211PFPF的取值范围是_.【答案】1,4【解析】由已知得22b ，故1b ，1F AB的面积为232，12322ac b，23ac，又2221acacacb，2a ，3c ，12121211PFPFPFPFPF PF211112444aPFPFPFPF，又12323PF，211144PFPF ，121114PFPF.即1211PFPF的取值范围为1,4.故答案为1,416. 过抛物线2:2(0)C xpy p的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，若3 AFBF，O 为坐标原点，则OFAF_.【答案】34【解析】过 A 作 AE准线，过 B 作 BG准线，过 A 作 ADBG 交 BG 于点 D，交 y 轴于点 C设|AF|x，则|BF|3x，F（0，2p） ，准线：y2p，根据抛物线性质得 ： |AE|AF|x，|BG|BF|3x，|AB|x+3x4x，|BD|3xx2x，|FC|px，由图可知：AFFCABBD，即42xpxxx，解得 x23p，则OFAF43223pp故答案为：34四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17已知直线1l：220 xy；2l：40(mxynm，n 为常数)（1）若121l ，求 m 的值；（2）若12/ /1l，且它们的距离为5，求 m，n 的值17.解： （1）直线1l：220 xy；2l：40mxyn，若121l ，则214m ，求得2m （2）若12/ /1l，则4212mn，求得8m ，8n ，故直线1l：8480 xy；2l：840 xyn再根据它们的距离为8564 16n，12n，或28n 综上可得，8m ，12n 或2818如图，四棱柱1111ABCDABC D中，侧棱1A A 底面ABCD，/ /ABDC，ABAD，1ADCD，12A AAB，E为1AA棱的中点. （1）证明11BCCE；（2）求二面角11BCEC的余弦值；（3）设点M在线段1C E上，且直线AM与平面11ADD A所成角的正弦值为26，求线段AM的长.【答案】【答案】 （1）见证明； （2）2 77； （3）2【分析】（）以点A为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出向量11BC，CE ，计算两向量的数量积即可证明垂直（）利用向量的坐标，分别求出平面1CB E的法向量，平面1C CE的法向量，即可计算二面角的余弦值（III）设1, ,01EMEC ，写出AM ，求平面11ADD A的一个法向量，利用线面角公式写出直线AM与平面11ADD A所成角的正弦值且为26，可解出，即可求解线段AM的长.【详解】（I）以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得0,0,0A，0,0,2B，1,0,1C，10,2,2B，11,2,1C，0,1,0E.则111,0, 1BC，1,1, 1CE ，而 111,0, 11,1, 10BC CE .所以11BCCE.（II）10,1,2EB ，10,2,0CC ，设平面1CB E的法向量为111,mx y z，则100m CEm EB ，即11111020 xyzyz，取3,2, 1m .设平面1C CE的法向量为222,nxyz，则100n CEn CC ，即2222020 xyzy，取1,0, 1n .42 7cos,7142m nm nm n ，所以二面角11BCEC的余弦值为2 77.（III）0,1,0AE ，11,1,1EC ，设1, ,01EMEC ，有,1,AMAEEM .取0,0,2AB 为平面11ADD A的一个法向量，设为直线AM与平面11ADD A所成的角，则sincos,AM ABAM ABAMAB 2222232112.于是226321，解得13.所以2221412333AMAM .所以线段AM的长为2.19已知直线 l：210axa y （1）若直线 l 在 x 轴上截距和在 y 轴上截距相等，求 a 的值；（2）若直线 l 与圆22111225xy相切，求 a 的值【答案】 （1）1； （2）4 或2【分析】（1）分别令0 x ，0y ，得到截距，解方程即可;（2）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.【详解】（1）易知直线 l 的截距不能为 0，令0 x ，12ya ，令0y ，1xa ；则1112aaa 故 a 的值为 1（2）圆心1 1,2 2到直线 l 的距离22112112252aadaa2412445aa22804aaa或2a 故 a 的值为 4 或2.20已知抛物线 C:24yx，焦点为F，点11,A x y在抛物C上，设10Dx ，其中10 x （I）求焦点F的坐标；（）试判断直线AD与抛物线C的位置关系，并加以证明【答案】 （）(1,0)； （）相切，证明见解析.【分析】（）求出p的值，可得焦点F的坐标；（）分别求出直线AD的斜率与抛物线 C：24yx上过点11,A x y的切线的斜率，可得其相等，可证明直线AD与抛物线 C 相切.【详解】解： （）由抛物线 C：24yx，可得：24p ，2p ，可得焦点F的坐标为(1,0)；（）直线AD与抛物线 C 相切，证明如下：由点11,A x y及点1,0Dx，可得1111022ADyykxx，又24yx，可得2 yx，可得111122ADxxkxx ，同时由抛物线 C：24yx，2 yx，xyx ，所以过11,A x y的切线的斜率为：11xx，所以直线AD与抛物线 C 相切.21.已知椭圆222:9(0)Cxym m,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由【答案】 （）详见解析； （）能，47或47【解析】(1)设直线: l ykxb(0,0)kb，11( ,)A x y，22(,)B xy，(,)MMM xy由2229ykxbxym得2222(9)20kxkbxbm，12229Mxxkbxk ，299MMbykxbk直线OM的斜率9MOMMykxk ，即9OMkk 即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值9（2）四边形OAPB能为平行四边形直线l过点(,)3mm，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k ，3k 由 ()得OM的方程为9yxk 设点P的横坐标为Px由2229,9,yxkxym 得，即将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmk kxk四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx239kmk2(3)23(9)mk kk解得147k ，247k 0,3iikk，1i ，2，当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形22. 如图，椭圆2222:1(0)xyEabab经过点(0, 1)A，且离心率为22.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点,P Q（均异于点A） ，证明 ：直线AP与AQ的斜率之和为 2.【答案】 （1）2212xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由22ca，结合222abc即得解；（2）设直线PQ的方程为(1)1(2)yk xk，与椭圆联立，设11,P x y，22,Q xy，用点坐标表示APAQkk，韦达定理代入即得解.【详解】 （1）由题设知22ca，1b ，结合222abc，解得2a .所以椭圆的方程为2212xy.（2）由题设知，直线PQ的方程为(1)1(2)yk xk，代入2212xy，得22124 (1)2 (2)0kxk kxk k.由已知 ，设11,P x y，22,Q xy，120 x x ，则1224 (1)12k kxxk，1222 (2)12k kx xk，从而直线,AP AQ的斜率之和121212121122APAQyykxkkxkkkxxxx121212112(2)2(2)xxkkkkxxx x4 (1)2(2)22(1)22 (2)k kkkkkk k.所以直线APAQ、斜率之和为定值 2.