第三章圆锥曲线重难点复习学案-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

人教 A 版（2019） 选择性必修一 第 3 章 圆锥曲线重 难 点 复 习知识梳理知识梳理一、本节课思维导图一、本节课思维导图二、重点结论梳理二、重点结论梳理1、弦长公式、弦长公式| = + |-| =( + ) (+ )-2、焦点三角形、焦点三角形椭圆的焦点三角形：= ；如下图双曲线的焦点三角形：= ；3、圆锥曲线的切线问题、圆锥曲线的切线问题过椭圆上已知点的切线方程椭圆 += ( ) 上一点(0，0) 处的切线方程为 += 1过双曲线上已知点的切线方程双曲线22-22= 1( 0， 0)上一点(0，0)处的切线方程为：-= 1过抛物线上已知点的切线方程过抛物线2= 2( 0)上点(1，1)的切线方程是：1 = ( + 1)抛物线2= 2( 0)的斜率为的切线方程是： = +2( 0)4、点与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系点与椭圆的位置关系：(0，0)在椭圆内部 +1(0，0)在椭圆外部 + 1(0，0)在椭圆上 += 1点与双曲线的位置关系(0，0)在双曲线内部（与焦点共区域） - 1(0，0)在双曲线外部（与焦点不共区域） - 0)内部 20 0)外部 20 20；5、椭圆中斜率乘积为定值的问题、椭圆中斜率乘积为定值的问题（1）椭圆 22+22= 1( 0) 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为-22（2）设 A、B 是椭圆 22+22= 1( 0) 上关于原点对称的两点，点 P 为该椭圆上不同于 A、B 的任一点，若直线 PA、PB 的斜率分别为1，2，则12=-226、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。7、抛物线焦点弦的性质、抛物线焦点弦的性质如图，AB 为抛物线2= 2( 0)的焦点弦，(1，2)，(2，2)，焦点F2，0 ，准线： =-2，AC，BD，且 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点，R 为 MN 与抛物线的交点，则：（1）12=-2，12=24；（2）CFD=90，NFAB，ANBN；（3）| = 1- ，| = 1+ ，| = 1+ 2+ = |1-2|22= 22；（4）直角梯形 ABDC 的对角线交于原点 O，且= = 4 |1-2| = 22 ；（5）线段 MN 倍抛物线平分，即 R 为线段 MN 的中点；（6）| =12| =14|；（7）1|+1|=2（定值） ；（8）以 AB 为直径的圆必与准线相切；以 AF（或 BF）为直径的圆与 y 轴相切；以 CD 为直径的圆与 AB 相切于 F。典型例题典型例题题型题型 1 根据圆锥曲线的定义确定方程根据圆锥曲线的定义确定方程例例1 （2021年年1月苏州市期末阳光测试， 第月苏州市期末阳光测试， 第6题，题， 5分）分） 在平面直角坐标系xOy中， 设抛物线2= 2( 0)上的点 M 与焦点 F 的距离为 10，点 M 到 x 轴的距离为 2p，则 p 的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8例例 2 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 4 题，题，5 分）分）椭圆的两个焦点分别为1( 8，0)，2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是 20，则椭圆的标准方程为（ ）A. 236+2100= 1B. 2400+2336= 1C. 2100+236= 1D. 220+212= 1题型题型 2 根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数例例 3 （2020 年年 1 月苏州市阳光测试，第月苏州市阳光测试，第 3 题，题，5 分）分）双曲线29-216= 1离心率为（ ）A. 53B. 54C. 73D. 74题型题型 3 求解圆锥曲线的离心率求解圆锥曲线的离心率例例 4 （2021 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 17 题，题，10 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆22+22=1与双曲线22-22= 1的离心率分别为1，2，其中 0。（1）求21+ 22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于22，求1和2的取值范围。变式训练变式训练（2020 年年 1 月无锡市期末，第月无锡市期末，第 11题，题，5 分）分）已知椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF，则该离心率e的取值范围是（ ）A. 21,1B. 2,12C. 0,21D. 20,2题型题型 4 圆锥曲线中的面积问题圆锥曲线中的面积问题例例 5 （2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 10 题，题，5 分，多选）分，多选）已知离心率为2的双曲线C：22-22= 1( 0， 0)的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点。若的面积为 2，则实数的值为（ ）A. 2B. 22C. 4D. 8变式训练变式训练（2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 16 题，题，5 分）分）已知一簇双曲线：2-2 =12+ ( *，且 2020)，设直线 = 2与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，。记的面积为，则1+ 2+ + 2020= 。题型题型 5 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系例例 6 （2021 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2-24= 1与直线 = + ( 2， )有唯一的公共点， 则动点( ，)与定点(0，2)的距离可能为（ ）A. 2B. 6C. 22D. 3变式训练变式训练（2020 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 20题，题，10 分）分）已知抛物线24xy，过点4,2P作斜率为k的直线l与抛物线交于不同的两点M，N。（1）求k的取值范围；（2）若OMN为直角三角形，且OMON，求k的值。题型题型 6 弦长问题弦长问题例例 7 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末， 第月常州溧阳市期末， 第 19题，题， 12 分）分） 若椭圆1C：22110 xym与双曲线2C：221yxb有相同的焦点，且椭圆1C与双曲线2C交于点10,3Py。（1）求,m b的值；（2）过椭圆1C的右焦点F且斜率为22的直线l与椭圆1C交于A，B两点，求AB的长度。题型题型 7 定点、定值问题定点、定值问题例例 8 （2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 21题，题，12 分）分）已知椭圆2222:10 xyCabab离心率为32，的左、右焦点分别为1F，2F，焦距为6。（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为14的直线分别与椭圆交于,M N点.试问直线MN是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由。题型题型 8 线段最值问题线段最值问题例例 9 （2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 16题，题，5 分）分）点P为椭圆2212516xy上一点，M、N分别是圆2234xy和2231xy上的动点，则PMPN的取值范围是 。题型题型 9 多条圆锥曲线间的综合问题多条圆锥曲线间的综合问题例例 10 （2020 年年 1 月无锡市期末，第月无锡市期末，第 22题，题，12 分）分）已知椭圆1C：22221xyab(0ab)，F为左焦点，A为上顶点，(2,0)B为右顶点，若 7| = 2|，抛物线2C顶点在坐标原点，焦点为F。（1）求1C的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C和2C交点分别是 P，Q 和 M，N，使得=12？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。题型题型 10 圆锥曲线与数列的综合问题圆锥曲线与数列的综合问题例例 11 （2020 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 22题，题，12 分）分）如图，已知椭圆222210 xyabab，左、的右焦点分别1F，2F，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点。（1）若1 221PF FPAFPBFSSS。 求椭圆的离心率e； 求直线1PF的斜率。（2）若2PAFS，1 2PF FS，1PBFS成等差数列，且130FBO，求直线1PF的斜率的取值范围。变式训练变式训练（2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 5题，题，5 分）分）椭圆222210 xyabab的左、右顶点分别是A，B，左右焦点分别是1F，2F，若1AF，12FF，1FB成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A. 14B. 55C. 12D. 52为课堂练习1、 （、 （2019 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 10题，题，5 分）分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、F 分别是椭圆222210 xyabab的右顶点和右焦点，点 B、C 分别是椭圆的上、下顶点。若 ABCF，则该椭圆离心率为 。2、 （、 （2020 年年 1 月无锡市期末， 第月无锡市期末， 第 19题，题， 12 分）分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线C上的动点,0M x yx 到点2,0F的距离减去M到直线1x 的距离等于 1。（1）求曲线C的方程；（2）若直线 2yk x与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补。课后巩固练习一、选择题一、选择题1、 （、 （2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 3 题，题，5 分）分）经过点(2，4)的抛物线的标准方程为（ ）A. 2= 8B. 2= C. 2= 8或2= D. 无法确定2、 （、 （2020 年年 1 月无锡市期末，第月无锡市期末，第 3题，题，5 分）分）已知椭圆C：22221(0)xyabab，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A. 2213632xyB. 22198xy+=C. 22195xyD. 2211612xy3、 （、 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 12题，题，5 分）分）已知方程22mxnymn和0mxnyp（其中0mn 且,m nR，0p ） ，它们所表示曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D. 4、 （、 （2021 年年 1 月苏州中学期末，第月苏州中学期末，第 8题，题，5 分）分）在直角坐标系 xoy 中，双曲线C:221169xy的右支上有一点 P，该点的横坐标为5，1F、2F是 C 的左右焦点，则12PFF的周长为（ ）A. 452B. 18C. 814D. 3525、 （、 （2021 年年 1 月苏州中学期末，第月苏州中学期末，第 9题，题，5 分，多选）分，多选）下列说法正确的是（ ）A. :37pm；:q方程22173xymm的曲线是椭圆，p 是 q 的必要不充分条件B. “1xy ”是“lglg0 xy的充要条件C. 过点( 1,1)P 且与抛物线24yx有且只有一个交点的直线有 3 条D. 命题“xR ，cos1x”否定是“xR ，cos1x ”的的二、填空题二、填空题6、 （、 （2019 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 2 题，题，5 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2= 8的焦点坐标为 。7、 （、 （2020年年 1月无锡市期末， 第月无锡市期末， 第15题，题， 5分）分） 已知双曲线22221xyab的离心率为2， 焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 。8、 （、 （2019 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 4 题，题，5 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，方程22-+2-1= 1表示的曲线是双曲线，则实数 k 的取值范围是 。9、 （、 （2021 年年 1 月苏州市期末阳光测试， 第月苏州市期末阳光测试， 第 16 题，题， 5 分）分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆C：22-22=1( 0， 0)的焦距为46，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 OAOB，过 O 作 ODAB 于点 D，点 D 的坐标为（2，1） ，则椭圆 C 的方程为 。三、解答题三、解答题10、 （、 （2019 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 15 题，题，10 分）分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知等腰梯形ABCD，ABDC，AD=BC=4，AB=8，DC=6。以 A，B 为焦点的双曲线22-22= 1( 0， 0)过 C，D 两点。（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程。11、 （、 （2021 年年 1 月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第 20题，题，12 分）分）过双曲线2214yx 的右支上的一点P 作一直线l与两渐近线交于AB、两点，其中P是 AB 的中点。（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当0,2P x，求直线l的方程；（3）求证：OAOB是一个定值。12、 （、 （2021 年年 1 月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第 20 题，题，12 分）分）已知点是椭圆C：22-22= 1( 0， 0)的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，当直线过的下顶点时，的斜率为3，当直线垂直于的长轴时， 的面积为32。（1）求椭圆C的标准方程；（2）当2MFFN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足,PMPFPN成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上。13、 （、 （2021 年年 1 月苏州中学期末，第月苏州中学期末，第 22题，题，12 分）分）抛物线M:28yx焦点为F，过焦点 F 的直线（与的x轴不垂直）交抛物线M 于点 A，B，A 关于 x轴的对称点为1A。（1）求证:直线1AB过定点，并求出这个定点；（2）若1AB的垂直平分线交抛物线于 C，D，四边形1ACBD外接圆圆心 N 的横坐标为19，求直线AB 和圆N 的方程。人教 A 版（2019） 选择性必修一 第 3 章 圆锥曲线重 难 点 复 习知识梳理知识梳理一、本节课思维导图一、本节课思维导图二、重点结论梳理二、重点结论梳理1、弦长公式、弦长公式| = + |-| =( + ) (+ )-2、焦点三角形、焦点三角形椭圆的焦点三角形：= ；如下图双曲线的焦点三角形：= ；3、圆锥曲线的切线问题、圆锥曲线的切线问题过椭圆上已知点的切线方程椭圆 += ( ) 上一点(0，0) 处的切线方程为 += 1过双曲线上已知点的切线方程双曲线22-22= 1( 0， 0)上一点(0，0)处的切线方程为：-= 1过抛物线上已知点的切线方程过抛物线2= 2( 0)上点(1，1)的切线方程是：1 = ( + 1)抛物线2= 2( 0)的斜率为的切线方程是： = +2( 0)4、点与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系点与椭圆的位置关系：(0，0)在椭圆内部 +1(0，0)在椭圆外部 + 1(0，0)在椭圆上 += 1点与双曲线的位置关系(0，0)在双曲线内部（与焦点共区域） - 1(0，0)在双曲线外部（与焦点不共区域） - 0)内部 20 0)外部 20 20；5、椭圆中斜率乘积为定值的问题、椭圆中斜率乘积为定值的问题（1）椭圆 22+22= 1( 0) 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为-22（2）设 A、B 是椭圆 22+22= 1( 0) 上关于原点对称的两点，点 P 为该椭圆上不同于 A、B 的任一点，若直线 PA、PB 的斜率分别为1，2，则12=-226、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。7、抛物线焦点弦的性质、抛物线焦点弦的性质如图，AB 为抛物线2= 2( 0)的焦点弦，(1，2)，(2，2)，焦点F2，0 ，准线： =-2，AC，BD，且 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点，R 为 MN 与抛物线的交点，则：（1）12=-2，12=24；（2）CFD=90，NFAB，ANBN；（3）| = 1- ，| = 1+ ，| = 1+ 2+ = |1-2|22= 22；（4）直角梯形 ABDC 的对角线交于原点 O，且= = 4 |1-2| = 22 ；（5）线段 MN 倍抛物线平分，即 R 为线段 MN 的中点；（6）| =12| =14|；（7）1|+1|=2（定值） ；（8）以 AB 为直径的圆必与准线相切；以 AF（或 BF）为直径的圆与 y 轴相切；以 CD 为直径的圆与 AB 相切于 F。典型例题典型例题题型题型 1 根据圆锥曲线的定义确定方程根据圆锥曲线的定义确定方程例例1 （2021年年1月苏州市期末阳光测试， 第月苏州市期末阳光测试， 第6题，题， 5分）分） 在平面直角坐标系xOy中， 设抛物线2= 2( 0)上的点 M 与焦点 F 的距离为 10，点 M 到 x 轴的距离为 2p，则 p 的值为（ C ）A. 1B. 2C. 4D. 8【解析】可令点【解析】可令点 M（x，y） ，根据题意可知 ：） ，根据题意可知 ： += | = ，所以，所以 M（-， ） ，又因为） ，又因为 M 点在抛物线上，所以代入点在抛物线上，所以代入 M 点的坐标得：点的坐标得： = 例例 2 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 4 题，题，5 分）分）椭圆的两个焦点分别为1( 8，0)，2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是 20，则椭圆的标准方程为（ C ）A. 236+2100= 1B. 2400+2336= 1C. 2100+236= 1D. 220+212= 1【解析】由题意可知：【解析】由题意可知： = ，则根据椭圆的定义得：，则根据椭圆的定义得： = ，即，即 = ， = ，椭圆方程即得。，椭圆方程即得。题型题型 2 根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数例例 3 （2020 年年 1 月苏州市阳光测试，第月苏州市阳光测试，第 3 题，题，5 分）分）双曲线29-216= 1离心率为（ A ）A. 53B. 54C. 73D. 74题型题型 3 求解圆锥曲线的离心率求解圆锥曲线的离心率例例 4 （2021 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 17 题，题，10 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆22+22=1与双曲线22-22= 1的离心率分别为1，2，其中 0。（1）求21+ 22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于22，求1和2的取值范围。解： （解： （1）由题意知：）由题意知：=-，=+ + = （代入计算过程略）（代入计算过程略）（2）双曲线的渐近线方程为：）双曲线的渐近线方程为： = 双曲线渐近线的斜率小于双曲线渐近线的斜率小于 0 =-， =+ ，变式训练变式训练（2020 年年 1 月无锡市期末，第月无锡市期末，第 11题，题，5 分）分）已知椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF，则该离心率e的取值范围是（ A ）A. 21,1B. 2,12C. 0,21D. 20,2【解析】依题意，必须满足：【解析】依题意，必须满足：+ = + = + 又又 - + - + + 不等号两端同时除以不等号两端同时除以得：得：- + + 解得：解得： -又又 - 0， 0)的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点。若的面积为 2，则实数的值为（ A ）A. 2B. 22C. 4D. 8【解析】以【解析】以 OF 为直径的圆与双曲线为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线的一条渐近线- =相交于相交于 O，A 两点两点 FA OA，则，则| =+ = | =-= AOF 的面积为的面积为 2 = 又又 双曲线的离心率双曲线的离心率 = 可得：可得：+ = 即：即： = = 变式训练变式训练（2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 16 题，题，5 分）分）已知一簇双曲线：2-2 =12+ ( *，且 2020)，设直线 = 2与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分 别为，。 记的面积为， 则1+ 2+ + 2020= 5052021。【解析】双曲线的渐近线方程为：【解析】双曲线的渐近线方程为： = 可令可令 = ，则：，则：= -+ 设设(，)，可得：，可得：| =|-| =|+| =12|代入数据得：代入数据得：=- + 可得：可得：+ + + =-+-+ +-=题型题型 5 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系例例 6 （2021 年年 1 月苏州市期末阳光测试， 第月苏州市期末阳光测试， 第 11 题，题， 5 分， 多选）分， 多选） 在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线2-24= 1与直线 = + ( 2， )有唯一的公共点， 则动点( ，)与定点(0，2)的距离可能为（ BCD ）A. 2B. 6C. 22D. 3【解析】联立双曲线和直线方程可得：【解析】联立双曲线和直线方程可得：-(+ ) = 有唯一公共点有唯一公共点 = + -(+ ) = 整理得：整理得：= + | =+ (-)整理的：整理的：| =(-)+ 变式训练变式训练（2020 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 20题，题，10 分）分）已知抛物线24xy，过点4,2P作斜率为k的直线l与抛物线交于不同的两点M，N。（1）求k的取值范围；（2）若OMN为直角三角形，且OMON，求k的值。解： （解： （1）根据题意，可令直线方程为：）根据题意，可令直线方程为：- = (-)与抛物线联立可得：与抛物线联立可得：- + - = 直线与抛物线交于不同点直线与抛物线交于不同点 M，N = -(-) 整理得：整理得：- + 解得：解得： + 的取值范围：的取值范围：-，- ( +， + )（2）设）设(，)，(，) O，M，N 能构成三角形能构成三角形 O，M，N 三点不共线三点不共线 直线直线不经过原点不经过原点 - 即：即： 12由（由（1）可得：）可得：= - = - + OM ON = + = - = 解得：解得： =12（舍掉）或（舍掉）或 =-12（符合题意）（符合题意）综上所述：综上所述： =-12题型题型 6 弦长问题弦长问题例例 7 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末， 第月常州溧阳市期末， 第 19题，题， 12 分）分） 若椭圆1C：22110 xym与双曲线2C：221yxb有相同的焦点，且椭圆1C与双曲线2C交于点10,3Py。（1）求,m b的值；（2）过椭圆1C的右焦点F且斜率为22的直线l与椭圆1C交于A，B两点，求AB的长度。解： （解： （1）由题意：椭圆与双曲线有相同的焦点，且两条曲线相交于点）由题意：椭圆与双曲线有相同的焦点，且两条曲线相交于点， - = + += -= 整理，得整理，得 = ， = （2）由（）由（1）可知：椭圆的方程为：）可知：椭圆的方程为：+ = 右焦点为右焦点为(，) 直线的方程为：直线的方程为： =(-)设设(，)，(，)联立直线和椭圆的方程得：联立直线和椭圆的方程得：- + = 则：则：+ = ，= | = + (+ )-整理，得：整理，得：| =题型题型 7 定点、定值问题定点、定值问题例例 8 （2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 21题，题，12 分）分）已知椭圆2222:10 xyCabab离心率为32，的左、右焦点分别为1F，2F，焦距为6。（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为14的直线分别与椭圆交于,M N点.试问直线MN是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由。【思路分析】 （【思路分析】 （1）由条件）由条件 c=3 和离心率得到和离心率得到 a 的值，从而可以求出椭圆的方程；的值，从而可以求出椭圆的方程；（2）设出直线）设出直线AM 的方程与椭圆联立，得到的方程与椭圆联立，得到 M 的坐标，同理可以得到的坐标，同理可以得到 N 的坐标，写出的坐标，写出 MN 的方程即可。的方程即可。解： （解： （1 ） 椭圆的离心率椭圆的离心率 =，焦距为，焦距为8 = ， = = -= 椭圆方程为：椭圆方程为：+= （2）可令左顶点）可令左顶点-， 直线直线 AM、AN 的斜率存在，且不为的斜率存在，且不为 0 可设直线可设直线 AM： = ( + )与椭圆方程联立，得：与椭圆方程联立，得： = ( + )+= 整理得：整理得：( + )+ + - = 设设(，)，则，则-=- + 解得：解得：=- + = + 可得可得 M 的坐标为：的坐标为：- + ， + 设直线设直线 AN 的斜率为的斜率为，则把点则把点 M 坐标中的坐标中的 k 替换为替换为-，得：，得：- + ， - + 当当 M、N 的横坐标不相等时，的横坐标不相等时，即直线即直线 MN 的斜率存在时，的斜率存在时，=- 直线直线 MN 的方程为：的方程为：- + =- + 整理，得：整理，得： =- 直线直线 MN 恒过定点（恒过定点（0，0） 当当 M、 N 的横坐标相等时， 即 ：的横坐标相等时， 即 ：=此时，此时，M、N 的横坐标为的横坐标为 0，直线直线 MN 也恒过定点（也恒过定点（0，0）综上：直线综上：直线 MN 恒过定点（恒过定点（0 ，0）题型题型 8 线段最值问题线段最值问题例例 9 （2020 年年 1 月常州市期末，第月常州市期末，第 16题，题，5 分）分）点P为椭圆2212516xy上一点，M、N分别是圆2234xy和2231xy上的动点，则PMPN的取值范围是 。【解析】依据题意，椭圆的焦点分别是两圆的圆心（如图）【解析】依据题意，椭圆的焦点分别是两圆的圆心（如图） | + | |，| + | | | + | + | + | | + | = = | + | - = 又又 | |+|，| | + | | + | |+| + | + | = + + = 综上：综上： | + | 题型题型 9 多条圆锥曲线间的综合问题多条圆锥曲线间的综合问题例例 10 （2020 年年 1 月无锡市期末，第月无锡市期末，第 22题，题，12 分）分）已知椭圆1C：22221xyab(0ab)，F为左焦点，A为上顶点，(2,0)B为右顶点，若 7| = 2|，抛物线2C顶点在坐标原点，焦点为F。的（1）求1C标准方程；（2）是否存在过F 点直线，与1C和2C交点分别是 P，Q 和 M，N，使得=12？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。解： （解： （1）依题意可知：）依题意可知：| = |，即，即 = + ，由右顶点为由右顶点为( ,)得得 = ，解得解得= ，所以所以的标准方程为的标准方程为+= 1。（2）依题意可知）依题意可知的方程为的方程为=-，假设存在符合题意的直线假设存在符合题意的直线设直线方程为设直线方程为 = -，(,),(,),(,),(,)，联立方程组联立方程组 = -+ = 得得(+ )- = 由韦达定理得：由韦达定理得：+ = + ，=-+ |-| = + + 联立方程组联立方程组 = -=- 得得+ - = ，由韦达定理得由韦达定理得+ =-，=-， |-| = + ，若若=12，则，则|-| =12|-|，即，即 + + = + 解得解得 = ，所以存在符合题意的直线方程：所以存在符合题意的直线方程： + + = 或或- + = 。题型题型 10 圆锥曲线与数列的综合问题圆锥曲线与数列的综合问题例例 11 （2020 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 22题，题，12 分）分）如图，已知椭圆222210 xyabab，左、右焦点分别为1F，2F，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点。（1）若1 221PF FPAFPBFSSS。的的 求椭圆的离心率e； 求直线1PF的斜率。（2）若2PAFS，1 2PF FS，1PBFS成等差数列，且130FBO，求直线1PF的斜率的取值范围。解： （解： （1 ） ） = ，所以，所以| =|， - = ，即，即 = ，所以，所以 =。设设的直线方程为的直线方程为 = ( + )， = ， |-| + =| + ， |-| = | |，则，则- = ， 在第一象限，在第一象限， ，即：，即： = ，又又 = ， = ，即：，即： =。（2）设）设= ，则，则=- ， 在第一象限，所以在第一象限，所以 ，=-+ + =- ， 所 以， 所 以 =- ，因为因为，成等差数列， 所以成等差数列， 所以=- +- ，所以所以 = - + -，所以，所以( -) = ，所以，所以 = -。所以所以 -， 所以， 所以 ， 又由已知， 又由已知 ，所以，所以 ，因为因为 = ，所以，所以 ，因为因为=- + =- + =- + =-( -)，令令 = -，所以，所以 = + ，=- + =- =-，因为因为 ，所以，所以 ，所以所以 ，所以，所以 ，所以，所以 0， 0)的焦距为46，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 OAOB，过 O 作 ODAB 于点 D，点 D 的坐标为（2，1） ，则椭圆 C 的方程为 。【答案】【答案】+= 三、解答题三、解答题10、 （、 （2019 年年 1 月苏州期末阳光测试，第月苏州期末阳光测试，第 15 题，题，10 分）分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知等腰梯形ABCD，ABDC，AD=BC=4，AB=8，DC=6。以 A，B 为焦点的双曲线22-22= 1( 0， 0)过 C，D 两点。（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程。【答案】 （【答案】 （1）-= （2）离心率）离心率 = ；渐近线方程：；渐近线方程： = 11、 （、 （2021 年年 1 月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第 20题，题，12 分）分）过双曲线2214yx 的右支上的一点P 作一直线l与两渐近线交于AB、两点，其中P是 AB 的中点。（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当0,2P x，求直线l的方程；（3）求证：OAOB是一个定值。【答案】 （【答案】 （1） = （2） = -（3）定值）定值=5，证明略，证明略12、 （、 （2021 年年 1 月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第 20 题，题，12 分）分）已知点是椭圆C：22-22= 1( 0， 0)的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，当直线过的下顶点时，的斜率为3，当直线垂直于的长轴时， 的面积为32。（1）求椭圆C的标准方程；（2）当2MFFN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足,PMPFPN成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上。【答案】 （【答案】 （1）+= （2） - = （3）定直线为：）定直线为： =5213、 （、 （2021 年年 1 月苏州中学期末，第月苏州中学期末，第 22题，题，12 分）分）抛物线M:28yx焦点为F，过焦点 F 的直线（与的x轴不垂直）交抛物线M 于点 A，B，A 关于 x轴的对称点为1A。（1）求证:直线1AB过定点，并求出这个定点；（2）若1AB的垂直平分线交抛物线于 C，D，四边形1ACBD外接圆圆心 N 的横坐标为19，求直线AB 和圆N 的方程。【答案】 （【答案】 （1）定点（）定点（-2,0） ，证明略） ，证明略（2）直线）直线AB： - = 圆圆N：(-)+ ( )=