第一章立体几何与空间向量单元测试卷-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

高二（上）数学立体几何与空间向量模块卷高二（上）数学立体几何与空间向量模块卷试卷满分试卷满分 150 分分 考试时间考试时间 120 分钟分钟一选择题（共一选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1.已知(0O，0，0)，(3A，2，4)，(0B，5，1)，若23OCAB ，则C的坐标是（ ）A(2，143，10)3B( 2，143，10)3C(2，143，10)3D( 2，143，10)32.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，2AB ，1AF ，M在 EF上，且/ /AM平面 BDE ，则M点的坐标为（ ）A(1，1，1)B2(3，23，1)C2(2，22，1)D2(4，24，1)3.现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（ ）A3B32C52D54.在平行六面体1111ABCDABC D中，1AAc ， ABb ，ADa ，E是BC的中点，用a，b，c 表示1AE 为（ ）A12abcBabcC12abcD12abc5.已知空间四个点( 3A ， x，3)，( 2B ，1，4)，(0C，3，0)，(1D ，1，1)在同个平面内，则实数x （ ）A1B2C0D16.如图所示， 已知正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为 1， 则三棱锥11BABC的体积为（ ）A312B34C612D647.已知三棱柱111ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上，若3AB ，4AC ，ABAC，112AA ，则球O的半径为（ ）A3 172B2 10C132D3 108.设 x，yR，向量(xa，1，1)，(1b， y ，1)，(2c，4，2)，且ac，/ /bc，则|ab（ ）A2 2B 10C3D4二多选题（共二多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不选、错选得分不选、错选得 0 分，漏选得分，漏选得 2 分）分）9.已知v 为直线l的方向向量，1n，2n分别为平面，的法向量(，不重合） ， 那么下列选项中，正确的是（ ）A12/ / /nnB12nnC1/ / /lvnD1/ /lvn10. 已知l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题正确（ ）A若/ /，l，则/ /lB若m，/ /lm，则/ /lC若/ /lm，l，m，则D若l，/ /m，则lm11. 在长方体ABCDA B C D 中，2AB ，3AD ，1AA ，以 D 为原点，以DA ，DC，DD 分别为 x轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A( 3BD ，2，1)B异面直线 A D与 BD 所成角的余弦值为2 3535C平面AC D 的一个法向量为( 2，3，6)D二面角CA DD的余弦值为3712. 如图，在直三棱柱111ABCABC中，2BAC，11ABACAA ，已知G与E分别为11AB 和1CC 的中点， D 和 F 分别为线段AC和 AB 上的动点（不包括端点） ，若GDEF，则线段DF 的长度的平方可以取的值为（ ）A110B15C12D1三填空题（共三填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ）13. 工匠准备将一块棱长为 4 的正方体木头切削成一个球，则该球的表面积的最大值为_14. 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 底面ABCD是正方形， 且2PAAB，则直线PB与平面PAC所成角为_15. 在ABC中，ABAC，4BC ，沿中线 AD折起，使60BDC，连BC，所得四面体ABCD的体积为3 ，则此四面体内切球的表面积为_16. 如图，在正四棱锥PABCD中， PAAB，点M为PA的中点，RBDBN若MNAD，则实数_ （14 题） （16 题）四解答题（共四解答题（共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，其余每题分，其余每题 12 分，共分，共 70 分 ）分 ）17. 已知(xa，1，3)，(1b，2，1)，(1c，0，1)，/ /(2)cab（1）求实数 x的值；（2）若()()abab，求实数的值ABCDP 18. 如图，直三棱柱111ABCABC中，60CAB，1ACABAA，且 D ，E分别是BC，1CC 的中点（1）求证：1/ /CA平面1ADB ；（2）求证： BE 平面1ADB 19. 如图，在四棱锥PABCD中，2PDAD，PDDA，PDDC，底面ABCD为正方形，M，N分别为 AD， PD 的中点（1）求证：/ /PA平面MNC；（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值20. 如图， 在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，2ABAC，14AA ， 点 D 是BC的中点（1）求异面直线1AB 与1C D所成角的余弦值；（2）求平面1ADC与平面1ABA所成锐二面角的余弦值21. 如图，平行四边形ABCD的边 AD所在的直线与菱形 ABEF 所在的平面垂直，且GBGE， AEAF（1）求证：平面ACG 平面ADF；（2） 若2AF ， _， 求二面角CAGF的余弦值 从2BCAB， BCAG这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题22. 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形， 侧面 PAD 底面ABCD，E， F分别为PA， BD中点，2PAPDAD（1）求证：/ /EF平面PBC；（2）求二面角EDFA的余弦值；（3）在棱PC上是否存在一点G，使GF 平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由高二（上）数学高二（上）数学_立体几何与空间向量模块卷立体几何与空间向量模块卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题一选择题1 设点C坐标为(x，y，) z，则(OCx，y，) z又( 3AB ，7，5)，23OCAB 2x ，143y ，103z 则C的坐标是( 2，143，10)3故选：B2 设AC， BD交于点O，连结OE正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，2AB ，1AF M在 EF 上，且/ /AM平面BDE/ /AMOE，又/ /AOEM，OAME是平行四边形M是 EF 的中点(0E，0，1)，( 2, 2,1)F22(,1)22M故选：C3由题意知，圆锥的高h和底面直径2r都为 2则圆锥的母线长225lhr所以圆锥的侧面积5Srl 故选：D 4 如图示结合图象得11111222AEA AAEABBC ccbaabc故选：A 5 空间四个点( 3A ，x，3)，( 2B ，1，4)，(0C，3，0)，(1D，1，1)在同个平面内，(1AB ，1x ，1)，(2BC ， 4，4)，(1CD ，2，1)， 且CDaABbBC (1，2，1)(a，aax ，)(2ab，4b，4 )(2bab，4baax，4 )ab214241abbaaxab 解得1a ，0b ，1x 故选：A 6正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为 1三棱锥11BABC的体积等于11AB BC的体积，也等于111ABBC的体积取11BC的中点 D ，则由正三棱柱的性质可知，1AD 面11BBC132AD三棱锥11BABC的体积11331 1=32212 V故选：A 7 因为三棱柱111ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上若3AB ，4AC ，ABAC，112AA 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面11B BCC，经过球的球心，球的直径是其对角线的长因为3AB ，4AC ，5BC ，22151213BC 所以球的半径为132故选：C8设x，yR，向量(xa，1，1)，(1b，y，1)，(2c，4，2)且ac，/ /bc242011242xy，解得1x ，2y (1ab，1，1)(1，2，1)(2，1，2)|4143 ab故选：C二多选题二多选题9v为直线l的方向向量，1n，2n分别为平面，的法向量(，不重合）则12/ / /nn，12nn，1/ /lnv，1/ /lvn或l因此AB正确故选：AB10 若/ /，则与无公共点，又l，则l与无公共点，可得/ /l，故A 正确若m，/ /lm，则/ /l或l，故B错误若/ /lm，m，则l，又l，所以，故C正确若l，l或/ /l，又/ /m，所以l与m平行、相交或异面，故D 错误故选：AC11 对于A ，(3B，2，0)，(0D，0，1)，( 3BD ，2，1)，故A 正确对于B，(3A，0，1)，(0D，0，0)，( 3A D ，0，1)，( 3BD ，2，1)设异面直线 A D与 BD 所成角为则异面直线 A D与 BD 所成角的余弦值为|84 35cos35|1014 A D BDA DBD，故B错误对于C，(0C，2，1)，(3DA ，0，1)，(0DC ，2，1)设平面AC D 的一个法向量为( xn，y，) zABCDx yzABCD则3020 DAxzDCyznn，取6z ，得平面AC D 的一个法向量为( 2，3，6)，故C正确对于D ，平面AC D 的一个法向量为( 2 n，3，6)平面A D D 的一个法向量为(0m，1，0)二面角CA DD的余弦值为|3|cos,|7m nm nmn，又因为二面角为锐角，故D 正确故选：ACD12 以A为原点， AB 为x轴，AC为y轴，1AA为 z 轴，建立空间直角坐标系则(0A，0，0)，(0E，1，1)2，1(2G，0，1)设AFx，ADy，则(F x，0，0)，(0D，y，0)1(2GD ，y，1)，(EFx ，1，1)2GDEF，210GD EFxy ，12xy 2222221(12 )5()55DFxyyyy01x，1(0, )2y 当25y 时，线段DF长度的最小值是55又0y 时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故0y 不能取线段DF的长度的平方的取值范围是15，1)故选：BC三填空题三填空题13 由题意可知可切削的最大的球为该正方体的内切球此时该球的半径2R ，表面积2416SR 故答案为：1614 连接AC交 BD于点O因为PA 平面ABCD，底面ABCD是正方形所以BDAC，BDPA，因此BD 平面PAC故BO 平面PAC连接OP，则BPO即是直线PB与平面PAC所成角又因2PAAB，所以2 2PB ，2BO 所以1sin2BOBPOPB，所以6BPO故答案为：615 可知2BDCD，AD 面BCD四面体ABCD的体积11(22sin60 )332ABCDVAD ，得3AD ，13AB 所以四面体ABCD的表面积为2111(23)2232163 3222SAB 设内切球的半径为R，由1(23)33ABCDVS RR，得32 3323R 内切球的表面积为2412(74 3)R故答案为：12(74 3)16 连接AC，交 BD于O以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为 z 轴，建立空间直角坐标系设2PAAB，则( 2A，0，0)，(0D，2，0)(0P，0，2) ，2(2M，0，2)2，(0B，2，0)(0BD ，2 2，0)，设(0N，b，0)则(0BN ，2b ，0)BDBN ，2 2(2)b22 2b(0N，22 2，0)，2(2MN ，22 2，2)2，(2,2AD ，0)MNAD，2410 MN AD解得实数4故答案为：4四解答题四解答题17 （1）(xa，1，3)，(1b，2，1)2(21xab，0，5)(1c，0，1)，/ /(2)cab可设(2)tcab，(0)t (1，0，1)( (21)tx，0，5 ) t(21)151txt，解得152tx实数x的值为 2（2）(1ab，3，4)，(21ab，2，31)()() abab() ()213(2)4(31)0 abab解得91718 （1）如图，连接1AB，交1AB于O，连接OD则O为1AB的中点，因为 D 为BC的中点所以OD为1ABC的中位线，所以1/ /ACOD又OD 平面1AB D，1AC 平面1AB D所以1/ /AC平面1AB D（2）因为60CAB，1ACABAAD 为BC的中点，所以ADBC因为111ABCABC为直棱柱，所以1BB 平面ABC，AD 平面ABC所以1ADB B所以AD 平面11BCC B因为 BE 平面11BCC B所以BEAD因为1B BDBCE，1BB DCBE ，1190BB DBDB 所以190CBEBDB ，即1BEB D因为1ADB DD所以 BE 平面1ADB19 （1）证明：M，N分别为AD， PD的中点/ /PAMN又PA平面MNC/ /PA平面MNC（2）如图建立空间直角坐标系，设2AD 则(2B，2，0)，(0C，2，0)，(0P，0，4)，(1M，0，0)，(0N，0，2)(2,2, 4)PB ，(0,2, 2)NC ，( 1,0,2)MN 设平面MNC的法向量为( , , )x y zn，则20220 MNxzNCyznn，可取(2,1,1)n设直线PB与平面MNC所成角为，则1sin|cos,|6PB n20 （1）在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，2ABAC，14AA ， 点 D 是BC的中点以A为原点， AB 为x轴，AC为y轴，1AA为 z 轴，建立空间直角坐标系1(0A，0，4)，(2B，0，0)，1(0C，2，4)，(1D，1，0)1(2AB ，0，4)，1(1C D ，1，4)设异面直线1AB与1C D所成角为则异面直线1AB与1C D所成角的余弦值为1111|183 10cos10| |2018AB C DABC D （2）(1AD ，1，0)，1(0AC ，2，4)设平面1ADC的法向量(xn，y，) z则10240ADxyACyz nn，取2x ，得(2n，2，1)平面1ABA的法向量(0m，1，0)设平面1ADC与平面1ABA的夹角为则平面1ADC与平面1ABA的夹角的余弦值为：|2cos| |3m nmn21 （1）证明：AEAF，AEABEBABE是等边三角形A1B1C1ABCDx yzGBGE，G为 BE 中点，故AGBE，AGAFAD 平面ABEF，ADAGAFADA，AG平面ADFAG 平面ACG，平面ACG 平面ADF（2）选解：由（1）知AG 平面ADF/ /BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF/ /BC平面ADF/ /BEAF，AF平面ADF，BE平面ADF/ /BE平面ADF又BCBEB平面/ /BCE平面ADF，AG平面BCECG 平面BCE，GE 平面BCEAGCG，AGGECGE是二面角CAGF的平面角22 2BCAB，1BG 3CG，1cos3CGB，1cos3CGE 二面角CAGF的余弦值为13选解：由（1）得AG 平面ADF/ /BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF/ /BC平面ADF/ /BEAF，AF平面ADF，BE平面ADF/ /BE平面ADF又BCBEB平面/ /BCE平面ADFAG平面BCECG 平面BCE，GE 平面BCE，AGCG，AGGECGE即为二面角CAGF的平面角3BCAG，1BG ，2CG1cos2CGE ，二面角CAGF的余弦值为1222 （1）作 AB 的中点H，连接EH，FH在PAB中，E，H为中点/ /EHPBEH 平面PBC， PB 平面PBC/ /EH平面PBC同理可证明/ /FH平面PBCEH 平面EFH，FH 平面EFH，EHFHH平面/ /EFH平面PBCEF 平面EFH/ /EF平面PBC（2）作EI垂直AD于 I ，作IJDBJ，连接EJ，做AD中点O，连接OPPAPDOPADEIAD/ /EIOPE为中点1322EIOP 侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，EIADEI底面ABCDEIDB IJDB，EIIJIBD平面EIJEJDBEJI为二面角EDFA的平面角 ADBJID，90DJIDAB DJIADBDIJIDBAB，3222 2JI32 2JI229315842 2EJJIEI32 2152 215cos5JIEJIEJ即二面角EDFA的余弦值为155（3）不存在假设存在，连接AC， BD，交于点 F ， EF 为平面EDF和平面PAC的交线以O为原点，OA，OF，OP分别为 xyz 轴建立空间直角坐标系则(1A，0，0)，(1B，2，0)，( 1C ，2，0)，( 1D ，0，0)，(0P，0，3)1(2E，0，3)2，(0F，1，0)，设1(G x，1y，1)z，则1(FGx，11y，1)z(1DF，1，0)，3(2DE，0，3)2设平面EFD的一个法向量是0(xn，0y，0)z0000033022DFxyDExznn即00003 yxzx，令01x ，则(1n，1，3)因为GF 面EDFFGn1x，11y ，13z GC，PC 共线，( 1PC ，2，3)1(1CGx，12y ，1)z11112123xyz113123，无解故在棱PC上不存在一点G，故在棱PC上不存在一点G，使GF 平面EDF