第10讲 直线和双曲线的位置关系 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 10 讲 直线和双曲线的位置关系玩转典例题型一直线与圆的位置关系的判断 例 1（2020福建高二期末（理） ）若直线ykx2与双曲线22xy6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A1515,33B150,3C15,03D15, 13例 2 （2020四川资阳）直线 l：kxy2k0 与双曲线 x2y22 仅有一个公共点，则实数 k 的值为A1 或 1B1C1D1，1，0玩转跟踪 1 （2020天水市第一中学高二月考（理） ）直线l：1ykx与双曲线C：222xy的右支交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A66()22，B( 1 1) ，C6(1)2，D66(1)(1)22，2.（2020江西东湖.南昌十中高二月考）若直线l过点(3,0)与双曲线224936xy只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A1 条B2 条C3 条D4 条题型二弦长问题例 3（2020全国高三课时练习）过双曲线22136xy的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B两点，O 为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB 的面积玩转跟踪 1 （2020全国）已知直线 ykx1 与双曲线2214yx 交于 A，B 两点，且|AB|82，则实数 k 的值为()A7B3或413C3D4132.2.（2020宾县第二中学高二期末）已知曲线22:1C xy及直线:1l ykx（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A B、两点，O是坐标原点，且AOB的面积为2，求实数k的值题型三 题型三 点差法例 4例 4（1） （2020黑龙江南岗）已知双曲线C：222210,0 xyabab，斜率为 2 的直线与双曲线C相交于点A、B，且弦AB中点坐标为1,1，则双曲线C的离心率为（ ）A2B3C2D3（2） （2020河南南阳.高二）直线l经过4,2P且与双曲线2212xy交于M，N两点，如果点P是线段MN的中点，那么直线l的方程为（ ）A20 xyB60 xyC2320 xyD不存在（3） （2020黑龙江大庆四中高二月考（理） ）已知双曲线2212xy与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于,M N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为1k，直线OP的斜率为2k，则1 2k k A12B12C2D2玩转跟踪1 （2020青海西宁） 已知倾斜角为4的直线与双曲线 C：22221xyab（0a ，0b ） 相交于 A， B 两点，(4,2)M是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）A6B3C32D622 （2020湖北武汉）已知,A B分别为双曲线22:13yx实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点F作直线PQ交双曲线于,P Q两点（点,P Q异于,A B） ，则直线,AP BQ的斜率之比:APBQkk（ ）A13B3C23D323 （2020会泽县第一中学校高二月考（理） ）点(8 1)P， 平分双曲线2244xy 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_题型四 题型四 双曲线大题例 5例 5已知双曲线 C 的一个焦点为(5，0)，且过点 Q(25，2)如图，F1，F2分别为双曲线 C 的左、右焦点， 动点 P(x0， y0)(y01)在双曲线 C 的右支上， 且F1PF2的平分线与 x 轴， y 轴分别交于 M(m,0)(5m5)，N 两点，设过点 F1，N 的直线 l 与双曲线 C 交于 D，E 两点(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)求F2DE 面积的最大值玩转跟踪1.（2020安徽省高二期中（理） ）已知双曲线C：(a0，b0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上（1）求双曲线C的标准方程；（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程玩转练习1 （2020安徽黄山）已知双曲线的左焦点为1F，过1F的直线l交双曲线左支于A、B 两点，则 l斜率的取值范围为（ ）ABCD2 （2020定远县民族学校高二月考（理） ）直线与双曲线22:2C xy交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）ABCD3 （2020新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为23，则此双曲线的方程是_.4 （2020平罗中学高二月考（理） ）点是曲线 C：的弦AB的中点.则直线AB的方程为（ ）ABCD5 （2020安徽定远二中高二月考（理） ）已知椭圆，倾斜角为的直线 l 与椭圆分别相交于 A.B两点，点 P 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，则直线 OP 的斜率为（ ）ABCD6 （2020银川三沙源上游学校高三二模（理） ）已知直线l:与双曲线C:22221xyab(0a ，0b )交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）AB2CD7 （2020萍乡市湘东中学高二期中）直线恒过定点A，若点A是双曲线的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）ABCD8 （2020甘肃兰州）过点作一直线AB与双曲线相交于A、B两点，若P为AB中点，则( )AB2 3CD9 （2020会泽县第一中学校高二月考（理） ）已知双曲线的实轴长为2 3，一个焦点的坐标为.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为 2 的直线l交双曲线C交于,A B两点，且，求直线l的方程.10 （2020甘南藏族自治州合作第一中学高二期末） 过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线l，交双曲线于 A、B 两点，（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求|AB|.11 （2020四川省绵阳南山中学高二期中（理） ）已知双曲线 C：22221xyab的一条渐近线方程为，点( 3,0)是双曲线的一个顶点.（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线的右焦点2F作倾斜角为 30的直线 l，且与双曲线交于 A，B 两点求 AB 的长.12 （2020盘县红果镇育才学校高三月考）已知双曲线 C 的离心率为3，且过3,0点，过双曲线 C 的右焦点2F，做倾斜角为3的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，1F为左焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求AOB的面积.第 10 讲 直线和双曲线的位置关系玩转典例题型一直线与圆的位置关系的判断 例 1（2020福建高二期末（理） ）若直线ykx2与双曲线22xy6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A1515,33B150,3C15,03D15, 13【答案】D【解析】把 ykx2 代入 x2y26，得 x2(kx2)26，化简得(1k2)x24kx100，由题意知2121210000kxxxx ，即22221640 104011001kkkkk，解得153k1.答案：D.例 2 （2020四川资阳）直线 l：kxy2k0 与双曲线 x2y22 仅有一个公共点，则实数 k 的值为A1 或 1B1C1D1，1，0【答案】A【解析】 因为直线 l： kxy2k0 过定点(2,0),而直线 l： kxy2k0 与双曲线 x2y22 仅有一个公共点，所以直线 l：kxy2k0 与双曲线渐近线平行，即实数 k 的值为1 或 1，选 A.玩转跟踪 1 （2020天水市第一中学高二月考（理） ）直线l：1ykx与双曲线C：222xy的右支交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A66()22，B( 1 1) ，C6(1)2，D66(1)(1)22，【答案】C【解析】 由2221xyykx 可得，221230kxkx ， 因为直线:1l ykx与双曲线22:2C xy交于不同的两点，所以， 2222412 10201301kkkkk解得612k ，所以斜率k的取值范围是612，故选 C. 2.（2020江西东湖.南昌十中高二月考）若直线l过点(3,0)与双曲线224936xy只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A1 条B2 条C3 条D4 条【答案】C【解析】当直线斜率存在时，设直线 L：y=k（x-3） ，代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0要使 L 与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，4-9k2=0，或=0（不成立） ，解得 k=23当直线斜率不存在时，直线为 x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，故这样的直线有 3 条，故选 C题型二弦长问题例 3（2020全国高三课时练习）过双曲线22136xy的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B两点，O 为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB 的面积【答案】 （1）1635； （2）1235.【解析】(1)由双曲线的方程得36ab，223cab，F1(3，0)，F2(3，0)直线 AB 的方程为3(3)3yx设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由223(3)3136yxxy消去 y 得 5x26x270.1265xx ，12275xx .22212123462716144333555ABxxx x(2)直线 AB 的方程变形为333 30 xy.原点 O 到直线 AB 的距离为22| 3 3 |32( 3)( 3)d .1116312|3322525AOBSAB dV.玩转跟踪 1 （2020全国）已知直线 ykx1 与双曲线2214yx 交于 A，B 两点，且|AB|82，则实数 k 的值为()A7B3或413C3D413【答案】B【解析】由直线与双曲线交于,A B两点，得2k ，将1ykx代入2214yx 得22(4)250kxkx，则2244(4) 50kk ，即25k .设11( ,)A x y，22(,)B xy，则12224kxxk，12254x xk .,或.故选 B.2.2.（2020宾县第二中学高二期末）已知曲线22:1C xy及直线:1l ykx（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A B、两点，O是坐标原点，且AOB的面积为2，求实数k的值【答案】 （1）； （2）或【解析】 （1）由消去，得l与C左支交于两个不同的交点且k的取值范围为（2）设，由（1）得又l过点，即或题型三 题型三 点差法例 4例 4（1） （2020黑龙江南岗）已知双曲线C：222210,0 xyabab，斜率为 2 的直线与双曲线C相交于点A、B，且弦AB中点坐标为1,1，则双曲线C的离心率为（ ）A2B3C2D3（2） （2020河南南阳.高二）直线l经过4,2P且与双曲线2212xy交于M，N两点，如果点P是线段MN的中点，那么直线l的方程为（ ）A20 xyB60 xyC2320 xyD不存在（3） （2020黑龙江大庆四中高二月考（理） ）已知双曲线2212xy与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于,M N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为1k，直线OP的斜率为2k，则1 2k k A12B12C2D2【答案】 （1）B（2）A（3）A【解析】 （1）设11( ,)A x y、22(,)B xy，则，所以，所以，又弦AB中点坐标为1,1，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.（2）当斜率不存在时，显然不符合题意；当斜率存在时，设，因为点P是线段MN的中点，所以，代入双曲线方程得，两式相减得，则，又直线过点 P，所以直线方程为，联立，得到，经检验，方程有解，所以直线满足题意.故选：A（3）设直线 l 的方程为，代入双曲线方程2212xy得到，得到设，则则，故，故选 A玩转跟踪1 （2020青海西宁） 已知倾斜角为4的直线与双曲线 C：22221xyab（0a ，0b ） 相交于 A， B 两点，(4,2)M是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）A6B3C32D62【答案】D【解析】因为倾斜角为4的直线与双曲线 C：22221xyab（0a ，0b ）相交于 A，B 两点，所以直线的斜率，设，则由得则因为(4,2)M是弦AB的中点，因为直线的斜率为 1,即,所以，则，故选：D2 （2020湖北武汉）已知,A B分别为双曲线22:13yx实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点F作直线PQ交双曲线于,P Q两点（点,P Q异于,A B） ，则直线,AP BQ的斜率之比:APBQkk（ ）A13B3C23D32【答案】B【解析】由已知得双曲线，故，设直线，且，由消去整理得，两式相比得，将代入得：上式故故选：B3 （2020会泽县第一中学校高二月考（理） ）点(8 1)P， 平分双曲线2244xy 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_【答案】【解析】设弦的两端点分别为的中点是 把代入双曲线 得 ， 这条弦所在的直线方程是 故答案为题型四 题型四 双曲线大题例 5例 5已知双曲线 C 的一个焦点为(5，0)，且过点 Q(25，2)如图，F1，F2分别为双曲线 C 的左、右焦点， 动点 P(x0， y0)(y01)在双曲线 C 的右支上， 且F1PF2的平分线与 x 轴， y 轴分别交于 M(m,0)(5m5)，N 两点，设过点 F1，N 的直线 l 与双曲线 C 交于 D，E 两点(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)求F2DE 面积的最大值解：(1)双曲线的左、右焦点分别为 F1(5，0)，F2(5，0)，双曲线过点 Q(25，2)，2a|QF1|QF2|25522022552202|4，解得 a2，则 b1，双曲线 C 的标准方程为x24y21.(2)由 F1(5，0)，F2(5，0)，得直线 PF1方程为 yy00 x05(x5)，直线 PF2方程为 yy00 x05(x5)，即直线 PF1方程为 y0 x(x05)y5y00，直线 PF2方程为 y0 x(x05)y5y00.由点 M(m,0)在F1PF2的平分线上，得|y0m5y0|y2 0 x052|y0m5y0|y2 0 x052.由5m5，y01，以及 y2 014x2 01，解得 x022.y2 0(x05)254x2 025x04(52x02)2，y2 0(x05)254x2 025x04(52x02)2m552x025m52x02，解得 m4x0，即 M(4x0，0).直线 PM 的方程为 yy00 x04x0(x4x0)，令 x0，得 y4y0 x2 041y0，故点 N(0，1y0)，k10(1y0)5015y0.直线 l 的方程为 y15y0(x5)由Error!Error!消去 x 得(5y2 04)y210y0y10，100y2 04(5y2 04)80y2 0160，设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，则 y1y210y05y2 04，y1y215y2 04，|y1y2|y1y224y1y245y2 01|5y2 04|.y01，y1y210y05y2 040，y1y215y2 040，y10，y20.F2DE 的面积 SS F1EF2S F1DF212|F1F2|y1y2|122545y2 015y2 04，设 5y2 04t，t1，则F2DE 的面积 S45t5t45 5t21t45 5(1t110)2120，当 t1，即 P 为(22，1)时，F2DE 的面积取得最大值，最大值为 430.玩转跟踪1.（2020安徽省高二期中（理） ）已知双曲线C：(a0，b0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上（1）求双曲线C的标准方程；（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程【答案】 （1）； （2）【解析】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，由双曲线定义，即，所以，所以所求双曲线的标准方程为（2）设，因为A，B在双曲线上，所以，得，所以，故弦AB所在直线的方程为，即玩转练习1 （2020安徽黄山）已知双曲线的左焦点为1F，过1F的直线l交双曲线左支于A、B 两点，则 l斜率的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线的渐近线为，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线l斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率； 当直线l斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选 B.2 （2020定远县民族学校高二月考（理） ）直线与双曲线22:2C xy交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】由双曲线22:2C xy与直线联立可 ，因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 可得 ，斜率k的取值范围是，故选 C.3 （2020新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为23，则此双曲线的方程是_.【答案】【解析】设点、，由题意可得，直线MN的斜率为，则，两式相减得，所以，由于双曲线的一个焦点为，则，因此，该双曲线的标准方程为.故答案为：.4 （2020平罗中学高二月考（理） ）点是曲线 C：的弦AB的中点.则直线AB的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，点是曲线C：的弦AB的中点，.把,A B的坐标代入曲线C的方程，可得，两式相减得，即，即直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.故选：A.5 （2020安徽定远二中高二月考（理） ）已知椭圆，倾斜角为的直线 l 与椭圆分别相交于 A.B两点，点 P 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，则直线 OP 的斜率为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，整理得，又因为，则，所以，又因为点 P 为线段 AB 的中点，则，所以，即，所以，即直线 OP 的斜率为，故选：B.6 （2020银川三沙源上游学校高三二模（理） ）已知直线l:与双曲线C:22221xyab(0a ，0b )交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）AB2CD【答案】D【解析】设，因为是弦AB的中点，根据中点坐标公式得.直线l:的斜率为 ，故.因为,A B两点在双曲线上，所以，两式相减并化简得，所以，所以.故选：D7 （2020萍乡市湘东中学高二期中）直线恒过定点A，若点A是双曲线的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】，得，所以定点A为，设这条弦与双曲线的两交点分别为，则有，两式相减得，得，为弦的中点，所以弦的斜率存在，弦所在直线斜率，利用点斜式可得弦所在的直线方程为在双曲线内部且斜率不等于（渐近线斜率） ，所求的直线与双曲线有两个交点.故选：D.8 （2020甘肃兰州）过点作一直线AB与双曲线相交于A、B两点，若P为AB中点，则( )AB2 3CD【答案】D【解析】易知直线 AB 不与 y 轴平行，设其方程为 y2k（x4）代入双曲线 C：，整理得（12k2）x2+8k（2k1）x32k2+32k100设此方程两实根为，则又 P（4，2）为 AB 的中点，所以8，解得 k1当 k1 时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0，所求直线 AB 的方程为 y2x4 化成一般式为 xy208，10|AB|4故选 D9 （2020会泽县第一中学校高二月考（理） ）已知双曲线的实轴长为2 3，一个焦点的坐标为.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为 2 的直线l交双曲线C交于,A B两点，且，求直线l的方程.【答案】 （1）； （2）或.【解析】 （1）根据待定系数法求双曲线方程，知道，； （2）设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.试题解析： （1）由，得3a ，又，双曲线C的方程为.（2）设直线l的方程为，由，得，得，弦长，解得，直线l的方程为或.10 （2020甘南藏族自治州合作第一中学高二期末） 过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线l，交双曲线于 A、B 两点，（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求|AB|.【答案】 （1），（2）|AB=82|【解析】 （1）因为双曲线方程为,所以,则,所以,渐近线方程为（2）由（1）,右焦点为,则设直线l为,代入双曲线中,化简可得,所以,所以11 （2020四川省绵阳南山中学高二期中（理） ）已知双曲线 C：22221xyab的一条渐近线方程为，点( 3,0)是双曲线的一个顶点.（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线的右焦点2F作倾斜角为 30的直线 l，且与双曲线交于 A，B 两点求 AB 的长.【答案】 （1）22136xy（2）【解析】 （1）因为双曲线 C 的一条渐近线方程为，所以，即.又点( 3,0)是双曲线的一个顶点，3a ，得，双曲线的方程为22136xy（2）由（1）知，双曲线22136xy的右焦点为，经过双曲线的右焦点2F且倾斜角为 30的直线 l 的方程为3(3)3yx，联立直线与双曲线方程，消 y 得，设11,A x y，22,B xy，则1265xx ，所以2162716 3|143555AB .12 （2020盘县红果镇育才学校高三月考）已知双曲线 C 的离心率为3，且过3,0点，过双曲线 C 的右焦点2F，做倾斜角为3的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，1F为左焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求AOB的面积.【答案】 （1）22136xy； （2）36AOBS.【解析】 （1）过( 3,0)点，所以3a ，3cea，所以3c ，又222abc，所以6b ，所以双曲线的方程为22136xy.（2）结合题意可得直线 AB 的方程为3(3)yx，设11,A x y，22,B xy，联立方程223(3)136yxxy，消去 y，得218330 xx.1218xx，1233xx，22121212|12416 3ABkxxxxx x，直线 AB 的方程变形为33 30 xy.原点 O 到直线 AB 的距离为22| 3 3 |3 32( 3)1d，113 3|16 336222AOBSAB d.