第一章 空间向量与立体几何 解答题专项训练15题（A卷）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

空间向量与立体几何空间向量与立体几何 解答题专项训练 15 题（A 卷）解答题专项训练 15 题（A 卷）1. 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为棱 CC1的中点（1）证明：A1C平面 B1ED1；（2）求直线 B1D 与平面 B1ED1所成角的正弦值2.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，、分别是、的中点（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值PABCDPD ABCDABCD2PDDCEFABPBEFCDDBDEF3. 如图，四棱柱中，底面是菱形，对角面是矩形，且平面平面（1）证明：四棱柱是直四棱柱；（2）设，若，求二面角的余弦值4.在直线三棱柱111ABCABC中，190 ,1BACABACAA，延长11AC至点P，使111C PAC，连接AP交棱1CC于点D以1A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（1）写出1A、B、1B、C、D、P的坐标；（2）求异面直线1AB与1PB所成角的余弦值1111ABCDABC DABCD60ABC11AAC C11AAC C ABCD1111ABCDABC DACBDO1ABAA1DOBC5.如图，在三棱锥 P-ABC 中，ACBC，且，AC=BC=2，D，E 分别为 AB，PB 中点，PD平面ABC，PD=3.(1)求直线 CE 与直线 PA 夹角的余弦值；(2)求直线 PC 与平面 DEC 夹角的正弦值.6.如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为边长为3的正方形，6AP ，3PD ，平面APD 平面ABCD，E为AP的中点，F为CD的中点（）求证：/EF平面PBC；（）求二面角ABPC的余弦值7.在直三棱柱中，13AAABBC，2AC ，D是AC的中点.（1）求证：1/BC平面1ABD；（2）求直线1BC到平面1ABD的距离.8. 如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，是的中点，是线段上的点.（1）当是的中点时，求证：平面；（2）试确定点的位置，使二面角的大小为，并指出的长.PABCDABCDPA ABCD1PAAD2AB FPDEABEAB/AFPECEPECD45AE9.如图所示， 在四棱锥PABCD中， 底面四边形ABCD是正方形， 侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC 底面ABCD，E为PC的中点（1）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；（2）求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值10.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD =2，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将 ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，如图 2（）证明：CD平面 A1OC；（）若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值11. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB侧面 BB1C1C，BCBC1=2，CC12，AB3（1）求证：C1B平面 ABC；（2）若 E 是 BB1的中点，求二面角 AC1EC 的余弦值12. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，E，F 分别为 CC1，AA1的中点（）求证：D1F平面 BDE；（）求直线 D1E 与平面 BDE 所成角的正弦值；（）求直线 D1F 与平面 BDE 之间的距离13.如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC（1）求证：BF平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长14. 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形 ，60 ,90DABADP ，平面ADP 平面ABCD，点F为棱PD的中点（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF 平面PCE，并说明理由；（2）当二面角DFCB的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角15. 如图，在梯形中，矩形ABCD/AB CD2ADCDCB60ABC中，又有.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. ACFE2AE 2 2BF BCACFEBDBEF空间向量与立体几何空间向量与立体几何 解答题专项训练 15 题（A 卷）解答题专项训练 15 题（A 卷）1. 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为棱 CC1的中点（1）证明：A1C平面 B1ED1；（2）求直线 B1D 与平面 B1ED1所成角的正弦值【解题思路】 （1） 连接 A1C1与 B1D1相交于 O1， 连接 EO1， 证明 EO1A1C， 推出 A1C平面B1ED1（2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面 B1ED1的法向量，利用空间向量的数量积求解 B1D 与面 B1ED1所成角的正弦值即可【解答过程】 （1）证明：连接 A1C1与 B1D1相交于 O1，连接 EO1，由于 E，O1分别是 CC1，A1C1的中点，则 EO1A1C，因为 EO1平面 B1D1E，A1C平面 B1D1E，所以 A1C平面 B1ED1（2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 AB1，AA12，则 B1（1，1，2） ，D（0，0，0） ，E（0，1，1） ，D1（0，0，2） ，1= (1，1，2)，11= (1，1，0)，1 = (0，1， 1)，设 = (，)是面 B1ED1的法向量 11= 0 1 = 0 + = 0 = 0，令 x1，则 y1，z1，即 = (1， 1， 1)，设 B1D 与面 B1ED1所成角为 = |1，| =|1|1| |=26 3=23，B1D 与面 B1ED1所成角的正弦值为232.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，、分别是、的中点（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）.【解析】以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图） PABCDPD ABCDABCD2PDDCEFABPBEFCDDBDEF3sin6DADCDPxyz则，0，0， ，0， ，,（1）证明：，0， ，（2）设平面的法向量为，由，可得取则，设与平面所成角为，则3. 如图，四棱柱中，底面是菱形，对角面是矩形，且平面平面(0D0)(2A0)(2B20)(0C20)(2E10)(0P2)(1F11)( 1,0,0),(0,1,0)EFDC (1,1,1),( 2, 2,0)DFBD ( 1EF DC 1) (010)0EFDCEFCDDEF(nxy) z00n DFn DE020 xyzxy1x 2y 1z (1n21)23cos,62 26BD nBD nBD n DBDEF3sin61111ABCDABC DABCD60ABC11AAC C11AAC C ABCD（1）证明：四棱柱是直四棱柱；（2）设，若，求二面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）.【解析】（1）如图，平面平面，且平面平面因对角面是矩形，所以，由面面垂直的性质定理得平面，故四棱柱是直四棱柱1111ABCDABC DACBDO1ABAA1DOBC2 571911AAC C ABCD11AAC C ABCDAC11AAC C1AAAC1AA ABCD1111ABCDABC D（2）由四边形是菱形，设，底面，从而，两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系不妨设，因为，所以，又，于是，易知，是平面的一个法向量设是平面的一个法向量，则即取，则，所以设二面角的平面角为，易知是锐角，于是故二面角的余弦值为4.在直线三棱柱111ABCABC中，190 ,1BACABACAA，延长11AC至点P，使111C PAC，连接AP交棱1CC于点D以1A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（1）写出1A、B、1B、C、D、P的坐标；（2）求异面直线1AB与1PB所成角的余弦值ABCDACBD11111ACB DO1OO ABCDOBOC1OOOOBOC1OOxyz2ABt60CBA3OBtOCt1ABAA13 ,0,2Btt10, ,2Ctt10,1,0n11BDD B2, ,nx y z 11OBC21210,0,nOBnOC 32020 xzyz3z 2x 2 3y 22,2 3,3n 11DOBC1212122 32 57coscos,1919nnn nnn 11COBD2 5719【答案】 （1 ）1110,0,0 ,1,0,1 ,1,0,0 ,0,1,1 ,0,1,0,2,02ABBCDP； （2 ）1010【解析】 （1）1110,0,0 ,1,0,1 ,1,0,0 ,0,1,1 ,0,1,0,2,02ABBCDP （2）111,0,1 ,1, 2,0ABPB，异面直线1AB与1PB所成角的余弦值为1010.5.如图，在三棱锥 P-ABC 中，ACBC，且，AC=BC=2，D，E 分别为 AB，PB 中点，PD平面ABC，PD=3.(1)求直线 CE 与直线 PA 夹角的余弦值；(2)求直线 PC 与平面 DEC 夹角的正弦值.【答案】(1)20919；(2)3 211.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知 C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(12，32，32)，P(1，1，3)，1 3 31, 1, 3 ,2 2 2PACE 设直线 CE 与直线 PA 夹角为，则222222139222cos1331( 1)( 3)222PA CEPA CE 整理得209cos19；直线 CE 与直线 PA 夹角的余弦值20919；(2)设直线 PC 与平面 DEC 夹角为0，设平面 DEC 的法向量为( , , )mx y z，因为1,1,0CD ，1 3 3,2 2 2CE 所以有01330222xyxyz取1x ，解得1y ，23z ，即面 DEC 的一个法向量为2(1, 1, )3m ，1,1,3CP ，02222221 123 2sin112113113CP mCPm .直线 PC 与平面 DEC 夹角的正弦值为3 211.6.如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为边长为3的正方形，6AP ，3PD ，平面APD 平面ABCD，E为AP的中点，F为CD的中点（）求证：/EF平面PBC；（）求二面角ABPC的余弦值【答案】 （）证明见解析； （）6611.【解析】 （）证明：如图，取BP的中点G，连EG，CG，AEEP，BG= PG，/EG AB且2EGAB/AB CD，2CFCD，/EG CF且EGCF，四边形CFEG为平行四边形，得/EF CGCG 平面PBC，EF 平面PBC，/EF平面PBC（）如图，过点P作OPAD，垂足为O，在APD中，2229APPDAD，可得APPD，6323APPDOPAD，22622AOAPOP，22321DODPOPOPAD，平面APD 平面ABCD，平面APD 平面ABCDAD，PO 平面ABCD如图，以点O为原点，与向量DC同向方向为x轴，向量ODuuu r方向为y轴，向量OP 方向为z轴，建立空间直角坐标系点O的坐标为(0,0,0)，点D的坐标为(0,1,0)，点C的坐标为(3,1,0)，点A的坐标为(0, 2,0)，点B的坐标为(3, 2,0)，点P的坐标为(0,0, 2)设平面PAB的法向量为( , , )mx y z，(0,2, 2)AP ，(3,0,0)AB ，22030m APyzm ABx ，取0 x ，1y ，2z ，可得(0,1,2)m ，设平面PBC的法向量为, ,na b c，(0,3,0)BC ，( 3,2, 2)BP ，303220n BCbn BPabc ，取2a ，0b ，3c ，可得( 2,0,3)n ，有3 2m n ，3m ，11n ，3 266cos,1133m n ，故二面角ABPC的余弦值为66117.在直三棱柱中，13AAABBC，2AC ，D是AC的中点.（1）求证：1/BC平面1ABD；（2）求直线1BC到平面1ABD的距离.【答案】 （1）证明见解析； （2）3 1010.【解析】 （1）证明：连接1AB交1AB于点E，连接DE，则点E为1AB中点，又D是AC的中点，所以1/DE BC，因为DE 平面1ABD，1BC 平面1ABD，所以1/BC平面1ABD；（2）解：因为1/BC平面1ABD，所以1BC到平面1ABD的距离就等于点1B到平面1ABD的距离.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则10,2 2,3B，0,2 2,0B，11,0,3A ，10,2 2,3DB ，0,2 2,0DB ，11,0,3DA .设平面1ABD的法向量为, ,nx y z，所以1nDBnDA ，即100n DBn DA ，即2 2030yxz ，令1z ，则3,0,1n .所求距离为13 1010n DBdn .8. 如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，是的中点，是线段上的点.（1）当是的中点时，求证：平面；（2）试确定点的位置，使二面角的大小为，并指出的长.【答案】 （1）证明见解析； （2）点的位置见解析，.【解析】（1）如图，取的中点，连接、.PABCDABCDPA ABCD1PAAD2AB FPDEABEAB/AFPECEPECD45AEE54AE PCOOEOF、分别为、的中点，则且，四边形是矩形，为的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（2）平面，且四边形为矩形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设，其中，设平面的法向量为，由，得，令，则，OFPCPD/OF DC12OFDCABCDEAB/AE CD12AECD/AE OFAEOFAEOF/AF OEOE PECAF PEC/AFPECPA ABCDABCDAABADAPxyzAxyz0,0,1P2,1,0C0,1,0DDEC0,0,1AP ,0,0Et02t PEC, ,nx y z2,1,0ECt ,0,1EPt 00n ECn EP 200t xytxz1x 2yt zt1,2,ntt由，解得，即.9.如图所示， 在四棱锥PABCD中， 底面四边形ABCD是正方形， 侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC 底面ABCD，E为PC的中点（1）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；（2）求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值【答案】 （1）64； （2）64.【分析】取CD的中点O，连接PO，证明出PO 平面ABCD，然后以点O为坐标原点，OC、OP所在的直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系.（1）写出PA 、DE的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA与DE所成角的余弦值 ；（2）求得平面ABCD的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP与平面ABCD所成角的正弦值【详解】取DC的中点O，连接PO，PDC为正三角形，O为DC的中点，则PODC又平面PDC 平面ABCD，平面PDC 平面ABCDDC，PO 平面PDC，PO平面ABCD以点O为坐标原点，OC、OP所在的直线分别为y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz，则30,0,2Pa、,02aA a、0,02aC、0,02aD.2222cos452112AP ntAPntt 54t 54AE （1）设异面直线PA与DE所成的角为，E为PC的中点，30,44aEa，330,44DEaa，3,22aPAaa ，23333024244aaPA DEaaaa ，2PAa ，32DEa，2364coscos,4322aPA DEPA DEPADEaa ，因此，异面直线PA与DE所成角的余弦值为64；（2）设直线AP与平面ABCD所成的角为，易知平面ABCD的一个法向量为0,0,1n ，362cos,421aPA nPA naPA n .因此，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为64.10.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD =2，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将 ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，如图 2（）证明：CD平面 A1OC；（）若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值【解题思路】 （）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD平面 A1OC；（）若平面 A1BE平面 BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面 A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值【解答过程】证明： （）在图 1 中，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，BAD =2，BEAC，即在图 2 中，BEOA1，BEOC，则 BE平面 A1OC；CDBE，CD平面 A1OC；（）若平面 A1BE平面 BCDE，由（）知 BEOA1，BEOC，A1OC 为二面角 A1BEC 的平面角，A1OC =2，如图，建立空间坐标系，A1BA1EBCED1BCEDB（22，0，0） ，E（ 22，0，0） ，A1（0，0，22） ，C（0，22，0） ， = （ 22，22，0） ，1 = （0，22， 22） ， = = ( 2，0，0) 设平面 A1BC 的法向量为 = （x，y，z） ，平面 A1CD 的法向量为 = （a，b，c） ，则 = 0 1 = 0得 + = 0 = 0，令 x1，则 y1，z1，即 = （1，1，1） ，由 1 = 0 = 0得 = 0 = 0，取 = （0，1，1） ，则 cos， = |=23 2=63，平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为6311. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB侧面 BB1C1C，BCBC1=2，CC12，AB3（1）求证：C1B平面 ABC；（2）若 E 是 BB1的中点，求二面角 AC1EC 的余弦值【解题思路】 （1）利用 AB平面 BB1C1C，可得 ABBC1，再利用勾股定理证明 BCBC1，由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面 AC1E 的法向量，由向量的夹角公式求解即可【解答过程】 （1）证明：因为 AB平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，则 ABBC1，又 = 1=2，1= 2，则2+21= 21，所以 BCBC1，又 ABBCB，AB，BC平面 ABC，故 BC1平面 ABC；（2）解：以 B 为坐标原点，分别以，1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0，0，0)，(2，0，0)，(0，3，0)，1(0，0，2)，1( 2，0，2)，( 22，0，22)，所以1= (0， 3，2)， = ( 22， 3，22)，设1= (，)为平面 AC1E 的法向量，则 1= 0 = 0，即3 +2 = 022 3 +22 = 0，令 z3，则1= ( 3，2，3)，因为 AB平面 BB1C1C，所以在方向上取平面 CC1E 的法向量2= (0，1，0)，所以|1，2| =|12|1|2|=220=1010，故二面角 AC1EC 的余弦值为101012. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，E，F 分别为 CC1，AA1的中点（）求证：D1F平面 BDE；（）求直线 D1E 与平面 BDE 所成角的正弦值；（）求直线 D1F 与平面 BDE 之间的距离【解题思路】 （）推导出 D1FBE，由此能证明 D1F平面 BDE；（）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 D1E 与平面 BDE 所成角的正弦值（）由 D1F平面 BDE，1= （0，0，2） ，平面 DBE 的法向量 = （1，1，1） ，利用向量法能求出直线 D1F 与平面 BDE 之间的距离【解答过程】解 ： （）求证在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，E，F 分别为 CC1，AA1的中点D1FBE，D1F平面 BDE，BE平面 BDE，D1F平面 BDE；（）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 D1（0，0，2） ，F（1，0，1） ，B（1，1，0） ，D（0，0，0） ，E（0，1，1） ，1 = （0，1，1） ， = （1，1，0） ， = （0，1，1） ，设平面 DBE 的法向量 = （x，y，z） ，则 = + = 0 = + = 0，取 x1，得 = （1，1，1） ，设直线 D1E 与平面 BDE 所成角为 ，则 sin =|1 |1| |=22 3=63直线 D1E 与平面 BDE 所成角的正弦值为63（）D1F平面 BDE，1= （0，0，2） ，平面 DBE 的法向量 = （1，1，1） ，直线 D1F 与平面 BDE 之间的距离为：d =|1|=23=2 3313.如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC（1）求证：BF平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长【答案】 （1）见证明； （2）49（3）87【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系（1）利用直线 BF 的方向向量和平面 ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；（2）分别求得直线 CE 的方向向量和平面 BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；（3） 首先确定两个半平面的法向量， 然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 CF 长度的方程，解方程可得 CF 的长度【解析】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以,AB AD AE 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得0,0,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCDE设0CFh h，则1,2,Fh（1）依题意，1,0,0AB 是平面 ADE 的法向量，又0,2,BFh ，可得0BF AB ，又因为直线BF 平面ADE，所以BF平面ADE （2）依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE ，设, ,nx y z为平面 BDE 的法向量，则00n BDn BE ，即020 xyxz ，不妨令 z=1，可得2,2,1n r，因此有4cos,9|CE nCE nCEn 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49（3）设, ,mx y z为平面 BDF 的法向量，则00m BDm BF ，即020 xyyhz 不妨令 y=1，可得21,1,mh由题意，有2241cos,343 2m nhm nmnh ，解得87h 经检验，符合题意所以，线段CF的长为8714. 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形 ，60 ,90DABADP ，平面ADP 平面ABCD，点F为棱PD的中点（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF 平面PCE，并说明理由；（2）当二面角DFCB的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角【答案】 （1）见解析（2）60【解析】 （1）在棱AB上存在点E，使得/ /AF平面PCE，点E为棱AB的中点理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，/ /FQDC且12FQCD，/ /AECD且12AECD，故/ /AEFQ且AEFQ所以，四边形AEQF为平行四边形所以，/ /AFEQ，又EQ 平面PEC，AF 平面PEC，所以，/ /AF平面PEC（2）由题意知ABD为正三角形，所以EDAB，亦即EDCD，又90ADP，所以PDAD，且平面ADP 平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD，所以PD 平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FDa，则由题意知0,0,0D，0,0,Fa，0,2,0C，3,1,0B，0,2,FCa ，3, 1,0CB ，设平面FBC的法向量为, ,mx y z，则由00m FCm CB 得2030yazxy，令1x ，则3y ，2 3za，所以取2 31, 3,ma，显然可取平面DFC的法向量1,0,0n ，由题意：221cos,4121 3m na ，所以3a 由于PD 平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt PBD中，tan3PDPBDaBD，从而60PBD，所以直线PB与平面ABCD所成的角为6015. 如图，在梯形中，矩形中，又有.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）.【解析】证明： （1）在梯形中，四边形是等腰梯形，ABCD/AB CD2ADCDCB60ABCACFE2AE 2 2BF BCACFEBDBEF64ABCD/AB CD2ADCDCB60ABCABCD120ADC 30DCADAC 120DCB90ACBDCBDCA ACBC又矩形中，又有，又平面， （2）以 C 为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系：，.所以，设平面的法向量为，所以，令，则， ，直线与平面所成角的正弦值是 ACFE2CFAE2 2BF 2CB CBCFACCFCBCACFECAxCBy0,0,0C0,2,0B0,0,2F3, 1,0D2 3,0,2E2 3,0,0EF 0, 2,2BF BEF, ,nx y z00n EFn BF 2 30220n EFxn BFyz 1y 0 x 1z 0,1,1n r3, 3,0BD 6cos,|4BD nBD nBDn BDBEF64