第一章 空间向量与立体几何 单元测试（一）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第一章 空间向量与立体几何 综合测试（一）第一章 空间向量与立体几何 综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：OCOBOAOP213161，则（ ） 。A、四点O、A、B、C必共面B、四点P、A、B、C必共面C、四点O、P、B、C必共面D、五点O、P、A、B、C必共面2设a、b是空间向量，则“|ba ”是“|baba”的（ ） 。A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3如图所示，空间四边形OABC中，aOA，bOB，cOC，点M在OA上，且MAOM2，N为BC中点，则MN（ ） 。A、cba213221B、cba212132C、cba322121D、cba2132324 （2020福建省南安第一中学高三月考 （文） ） 若正四棱柱1111ABCDABC D的体积为3，1AB ，则直线1AB与1CD所成的角为（ ）A30B45C60D905 （2020安徽合肥一中高二月考（理） ）直三棱柱111ABCABC，中，90BAC，2ABAC，12AA 则异面直线1AC与1CB所成角的余弦值为（ ）A33B33C36D366 （2020广东红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线 ABCD 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7 如图，E为正方体的棱1AA上一点， 且1113AEA A，F为棱AD上一点， 且190C EF，则:AF FD （ ）A2:7B2:6C1:3D2:58已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB ，12CC ，点E为1CC的中点，则异面直线1AC与BE所成的角等于（ ）A30B45C60D90二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9 （2021全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（ ）Aabab是a、b共线的充要条件B若/a brr，则存在唯一的实数，使ab=C对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若22OPOAOB OC ，则P、A、B、C四点共面D若, ,a b c 为空间的一个基底，则,ab bc ca 构成空间的另一个基底10 （2021江苏常州市）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）A1233PCPAPB B111333OPOAOBOC CQPQAQBOC D0OPOAOBOC 11已知向量)42(xa，)22(，yb ，若6|a，ba ，则 yx（ ） 。A、3B、2C、1D、212如图所示，正方体1111DCBAABCD 的棱长为1，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则（ ） 。A、直线DD1与直线AF垂直B、直线GA1与平面AEF平行C、平面AEF截正方体所得的截面面积为89D、点C和点G到平面AEF的距离相等三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2020湖南高三月考（理） ）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ABAD，/ABCD，2ADCDPD，1AB ，,E F分别为棱,PC PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为 2，则2()AFEF的最小值为_.14 （2020江苏启东中学高二期中）已知2, 1,2 ,1,3, 3 ,13,6,abc ，若向量, ,a b c 共面，则_15已知空间向量(1a ，n，2)，( 2b ，1，2)，若2ab与b垂直，则|a等于_.16 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 AB1， D 在棱 BB1上， 且 BD1， 则 AD 与平面 AA1C1C所成的角的正弦值为_，平面 ACD 与 ABC 所成二面角的余弦值为_四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17 （2021全国高二课时练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB ，2PA （）求证：AEPD；（）求证：平面PBD平面PAC18 （2021河南高二月考（理） ）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中/ /,3,2ADBC ADABBC，PA 平面ABCD，且3PA，点M在棱PD上，2DMMP，点N为BC中点.（1）证明：直线/MN平面PAB；（2）求二面角CPDN的正弦值.19 （12 分）如图所示，在长方体1111DCBAABCD 中，ADAA 1、ADCD2，N为CD中点，M为11CD中点。（1）求证：BD平面ANM；（2）若线段AN上存在点Q使得ANBQ ，求直线QC1与平面QBA11所成角的正弦值。20如图所示，在直四棱柱1111DCBAABCD 中，E为1AA上靠近点1A的三等分点。（1）若F为1BB的中点，试在11BA上找一点P，使/PF平面ECD1；（2）若四边形ABCD是正方形，且1BB与平面ECD1所成角的正弦值为73，求二面角DCDE1的余弦值。21 （2020天津一中高三月考）菱形ABCD中，120ABCEA 平面ABCD，/ /EAFD，22EAADFD，（1）证明：直线/ /FC平面EAB；（2）求二面角EFCA的正弦值；（3）线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为28？若存在，求EMMC；若不存在，说明理由.22 （2020广西高二期末（理） ）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为直角梯形，/ /,ABCD BCCD BCCF，33ABBCCD（1）求BE与平面EAC所成角的正弦值；（2）线段ED或其延长线上是否存在点P，使平面EAC 平面PBC？证明你的结论 第一章 空间向量与立体几何 综合测试（一）第一章 空间向量与立体几何 综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：OCOBOAOP213161，则（ ） 。A、四点O、A、B、C必共面B、四点P、A、B、C必共面C、四点O、P、B、C必共面D、五点O、P、A、B、C必共面【答案】B【解析】由OCOBOAOP213161得：1213161，可得四点P、A、B、C必共面，故选 B。2设a、b是空间向量，则“|ba ”是“|baba”的（ ） 。A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取0 ba，则0| ba，0|ba，0|2|aba，|baba，故由|ba 推不出|baba，由|baba，得22|baba，整理得0ba，ba ，不一定能得出|ba ，故由|baba推不出|ba ，故“|ba ”是“|baba”的既不充分也不必要条件，故选 D。3如图所示，空间四边形OABC中，aOA，bOB，cOC，点M在OA上，且MAOM2，N为BC中点，则MN（ ） 。A、cba213221B、cba212132C、cba322121D、cba213232【答案】B【解析】cbaacbOAOCOBOMONMN21213232)(2132)(21， 故选 B。4 （2020福建省南安第一中学高三月考 （文） ） 若正四棱柱1111ABCDABC D的体积为3，1AB ，则直线1AB与1CD所成的角为（ ）A30B45C60D90【答案】C【解析】正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为3，AB1，AA13，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（1，0，0） ，B1（1，1，3） ，C（0，1，0） ，D1（0，0，3） ，1AB （0，1，3） ，1CD （0，1，3） ，设直线 AB1与 CD1所成的角为 ，则 cos111121244AB CDABCD ，又09060，直线 AB1与 CD1所成的角为 60故选 C5 （2020安徽合肥一中高二月考（理） ）直三棱柱111ABCABC，中，90BAC，2ABAC，12AA 则异面直线1AC与1CB所成角的余弦值为（ ）A33B33C36D36【答案】D【解析】由题意可知，1,AB AC AA 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则0,0,0A，112,0,2 ,2,0,0 ,0,2,2CCB112,0,2 ,2,2,2ACCB 111111243cos,662 2AC CBAC CBAC CB 异面直线1AC与1CB所成角的余弦值为36故选：D6 （2020广东红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线 ABCD 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线的定义，可知若AB 与CD 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若 ABCD，则AB 与CD 共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB 与CD 共线是直线 ABCD 的必要不充分条件，故选 B7 如图，E为正方体的棱1AA上一点， 且1113AEA A，F为棱AD上一点， 且190C EF，则:AF FD （ ）A2:7B2:6C1:3D2:5【答案】A【详解】如下图，以D为坐标原点，射线DA，DC，1DD的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2a，则42 ,0,3Eaa，1(0,2 ,2 )Caa，( ,0,0)F x，122 , 2 ,3C Eaaa ，42 ,0,3EFxaa ，190C EF，1C EEF ，即10C E EF ，282 (2 )09a xaa，解得149xa，149FDa，144299AFaaa，:2:7AF FD 故选：A8已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB ，12CC ，点E为1CC的中点，则异面直线1AC与BE所成的角等于（ ）A30B45C60D90【答案】A【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A，1 (0,1,2)C，(1,1,0)B，(0,1,1)E，1( 1,1,2)AC ，( 1,0,1)BE ，设1AC与BE所成角为，则1133cos262|ACBEACBE ，30异面直线1AC与BE所成的角为30故选：A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9 （2021全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（ ）Aabab是a、b共线的充要条件B若/a brr，则存在唯一的实数，使ab=C对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若22OPOAOB OC ，则P、A、B、C四点共面D若, ,a b c 为空间的一个基底，则,ab bc ca 构成空间的另一个基底【答案】ABC【解析】对于 A 选项，充分性：若abab，则a、b方向相反，且ab，充分性成立；必要性：若a、b共线且方向相同，则abab，即必要性不成立，所以，abab是a、b共线的充分不必要条件，A 选项错误；对于 B 选项，若0b，0a rr，则/a brr，但不存在实数，使得ab=，B 选项错误；对于 C 选项，对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若P、A、B、C四点共面，可设APxAByAC ，其中x、yR，则OPOAx OBOAy OCOA ，可得1OPxy OAxOByOC ，由于22OPOAOB OC ，2 2 11 1 ，此时，P、A、B、C四点不共面，C 选项错误；对于 D 选项，假设ab、bcrr、ca共面，可设abm bcn canambmn c，由于, ,a b c 为空间的一个基底，可得110mnmn，该方程组无解，假设不成立，所以，,ab bc ca 构成空间的另一个基底，D 选项正确.故选：ABC.10 （2021江苏常州市）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）A1233PCPAPB B111333OPOAOBOC CQPQAQBOC D0OPOAOBOC 【答案】AB【解析】对于 A，由1233PCPAPB ，12133，所以点P与A，B，C三点共面.对于 B，由111333OPOAOBOC ，1111333，所以点P与A，B，C三点共面.对于 C，由OPOAOBOC ，1 1 131 ，所以点P与A，B，C三点不共面.对于 D，由0OPOAOBOCuu u ruuruu u ruuu rr，得OPOAOBOC uu u ruuruu u ruuu r，而1 1 13 1 ，所以点P与A，B，C三点不共面.故选：AB11已知向量)42(xa，)22(，yb ，若6|a，ba ，则 yx（ ） 。A、3B、2C、1D、2【答案】AC【解析】6164|2xa，4x，又ba ，0244xyba，当4x时1y，则3 yx，当4x时3y，则1 yx，故选 AC。12如图所示，正方体1111DCBAABCD 的棱长为1，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则（ ） 。A、直线DD1与直线AF垂直B、直线GA1与平面AEF平行C、平面AEF截正方体所得的截面面积为89D、点C和点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】如图，以D点为坐标原点，DA、DC、1DD为x，y，z轴建系，则)000(，D、)001 (，A、)010(，C、) 101 (1，A、) 100(1，D、)0121(，E、)2110(，F，)2111 ( ，G，则) 100(1，DD、)2111(，AF，则211 AFDD，直线DD1与直线AF不垂直，A 错，则)2110(1，GA，)0121(，AE，)2111(，AF，设平面AEF的法向量为)(zyxn，则02102100zyxyxnAFnAE，令2x，则1y，2z，则)212(，n，01nGA，直线GA1与平面AEF平行，B 对，或取11CB的中点M，连接MA1、GM，则AEMA/1、EFGM /，易证平面/1MGA平面AEF，直线GA1与平面AEF平行，B 对，如图，连接1AD、FD1，易知四边形1AEFD为平面AEF截正方体所得的截面，且FD1、DC、AE共点于H，51 AHHD，21AD，23)22()5(22121HADS，则894311HADAEFDSS四边形，C 对，)011(，AC，点C到平面AEF的距离31|1nnACd，)2110(，AG，点G到平面AEF的距离32|2nnAGd，则21dd ，D 对，故选 BC。三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2020湖南高三月考（理） ）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ABAD，/ABCD，2ADCDPD，1AB ，,E F分别为棱,PC PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为 2，则2()AFEF的最小值为_.【答案】144 23【解析】取 CD 的中点 H，连接 BH，EH.依题意可得，BHCD.因为PD 平面 ABCD，所以PDBH，从而BH 平面 ABCD，所以 BE 与平面 PCD 所成角为BEH，且2tan2BHBEHEHEH，则1EH ，则 E 为 PC 的中点. 在Rt PAB中，2 2cos3APAPBPB.因为3PB ，2 2PC，5BC ，所以2cos2BPC，所以4BPC.将PBC翻折至与平面 PAB 共面，如图所示，则图中22 2142coscos42336APCAPB，当 F 为 AE 与 PB 的交点时，AFEF取得最小值，此时，222242144 2()(2 2)( 2)2 2 2263AFEFAE .故答案为：144 23.14 （2020江苏启东中学高二期中）已知2, 1,2 ,1,3, 3 ,13,6,abc ，若向量, ,a b c 共面，则_【答案】3【解析】试题分析：由于abc、 、三个向量共面，所以存在实数mn、，使得=c manb，即有13=26323mnmnmn ，解得953mn.15已知空间向量(1a ，n，2)，( 2b ，1，2)，若2ab与b垂直，则|a等于_.【答案】3 52【详解】解：(1a ，n，2)，( 2b ，1，2)，2(4ab，21n，2)，2ab与b垂直，(2)0ab b ，82140n ，解得，52n ，(1a ，52，2)22253 512( )22a故答案为：3 52.16 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 AB1， D 在棱 BB1上， 且 BD1， 则 AD 与平面 AA1C1C所成的角的正弦值为_，平面 ACD 与 ABC 所成二面角的余弦值为_【答案】64 217 【详解】取 AC 中点 E，连接 BE，则 BEAC，如图所示，建立空间直角坐标系 B-xyz，则 A3 1(,0)22，D(0，0，1)，C31(,0)22，DC31(, 1)22，DA 3 1(, 1)22设平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)，.0,.0,DC nDAn 310,22310,22xyzxyz令 x23，z3，y0，n(23，0，3)，又BD 为平面 ABC 的法向量，BD (0，0，1)，cosnBD 23(2 3)9217平面 ACD 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为217平面 ABC平面 AA1C1C，平面 ABC平面 AA1C1CAC，BEAC，BE平面 AA1C1C，BE 3(,0,0)2为平面 AA1C1C 的一个法向量，又AD31(,1)22，cos,AD BE 64，设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 sin |cos,AD BE |64故答案为：64；217.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17 （2021全国高二课时练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB ，2PA （）求证：AEPD；（）求证：平面PBD平面PAC【答案】 （）证明见解析； （）证明见解析.【解析】证明：以A为原点，,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P（）因为E是PC的中点，所以E的坐标为1,1,1，所以(1,1,1)AE ，又因为0,2, 2PD ，所以1 0 1 2 1 ( 2)0AE PD ，所以AEPD ，即有AEPD；（）因为底面ABCD是正方形，所以BDAC，因为PA 底面ABCD，BD 平面ABCD，所以BDAP，因为ACPAA，所以BD 平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为2,2,0BD ，设平面PBD的一个法向量为( , , )nx y z，(2,0, 2)PB ，(0,2, 2)PD uuu r，由220220n PBxzn PDyz ，取1z ，1x ，1y ，所以平面PBD的一个法向量为(1,1,1)n ，因为1 ( 2) 1 20 00n BD ，所以nBD ，所以平面PBD平面PAC.18 （2021河南高二月考（理） ）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中/ /,3,2ADBC ADABBC，PA 平面ABCD，且3PA，点M在棱PD上，2DMMP，点N为BC中点.（1）证明：直线/MN平面PAB；（2）求二面角CPDN的正弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）69.【解析】如图，以A为原点，分别以,AB AD AP 方向为, x y，z 轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得0,0,0A，2,0,0 ,2,2,0 ,0,3,0 ,0,0,3 ,0,1,2BCDPM，2,1,0N（1）显然，0,3,0AD 是平面ABP的一个法向量，2,0, 2MN ，故0MN AD ，即MNAD .又因为MN 平面PAB，故直线MN/平面PAB.（2）设平面PCD的一个法向量为, ,nx y z，由2, 1,0 ,0, 3,3DCDP ，有0,0,n DCn DP 即20,330,xyyz不妨取2z ，可得1,2,2n .由已知可得2,2,0 ,0, 3,3NDDP .同理可求平面PDN的一个法向量为1,1,1m .所以，1225 3cos,933m nm nm n ，因此225 36sin,1 cos,199m nm n .所以，二面角CPDN的正弦值为69.19 （12 分）如图所示，在长方体1111DCBAABCD 中，ADAA 1、ADCD2，N为CD中点，M为11CD中点。（1）求证：BD平面ANM；（2）若线段AN上存在点Q使得ANBQ ，求直线QC1与平面QBA11所成角的正弦值。【解析】 （1）在长方体1111DCBAABCD 中，以D为原点如图建系，设4AD， 则)004(，A、)0244(，B、)0240(，C、)000(，D、)404(1，A、)4244(1，B、)4240(1，C、)400(1，D、)0220(，N、)4220(，M， )0244(， BD，)4224(，AM、)0224(，AN，0AMBD、0ANBD，AMBD 、ANBD ，又AANAM，ANAM、平面ANM，BD平面ANM； （2）设)(000zyxQ，设ANAQ，则)0224()4(000，zyx，440 x、220y，00z，)02244(，Q，又ANBQ ，0 ANBQ， )024224(，BQ，)0224(，AN，022)2422()4()4(，解得32，)032434(，Q， 故)432834(1，QC、)432438(1，QA、)432838(1，QB，设平面QBA11的法向量为)(zyxn，则0011QBnQAn，即04328380432438zyxzyx，则0y，令3x，解得2z，则)203(，n， 设直线QC1与平面QBA11所成角的平面角为，则26263|cos|sin111nQCnQCnQC ，即直线QC1与平面QBA11所成角的正弦值为26263。 20如图所示，在直四棱柱1111DCBAABCD 中，E为1AA上靠近点1A的三等分点。（1）若F为1BB的中点，试在11BA上找一点P，使/PF平面ECD1；（2）若四边形ABCD是正方形，且1BB与平面ECD1所成角的正弦值为73，求二面角DCDE1的余弦值。【解析】 （1）当点P为11BA的中点时/PF平面ECD1，证明如下： 连接BA1，P、F分别为11BA、BB1的中点，BAPF1/，在直四棱柱1111DCBAABCD 中，11/CDBA，1/CDPF，PF平面ECD1，1CD平面ECD1，/PF平面ECD1 （2）以D为坐标原点，DA、DC、1DD的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系xyzD ，如图所示，设正方形ABCD的边长为1，hAA 1，则)010(，C、)00(1hD，、)3201 (hE， 则)10(1hCD， 、)301 (1hED，设)(zyxm，为平面ECD1的法向量，则0011EDmCDm，即030zhxhzy，令1z，则3hx 、hy ，即) 13(，hhm ， 1BB与平面ECD1所成角的正弦值为73，且)00(1hBB，7319|cos|22111hhhhBBmBBmBBm，解得2h，) 1232(，m， 又平面CDD1的一个法向量为)001 (，n，721149432|cosnmnmnm， 设二面角DCDE1的平面角为，经观察为锐角，则72|cos|cosnm，。21 （2020天津一中高三月考）菱形ABCD中，120ABCEA 平面ABCD，/ /EAFD，22EAADFD，（1）证明：直线/ /FC平面EAB；（2）求二面角EFCA的正弦值；（3）线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为28？若存在，求EMMC；若不存在，说明理由.【答案】 （1）证明见解析（2）104（3）存在，13EMMC【解析】建立以D为原点，分别以DA ，DT（T为BC中点） ，DF的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图） ，则(2,0,0)A，(1, 3,0)B，( 1, 3,0)C ，(0,0,0)D，(2,0,2)E，(0,0,1)F.（1）证明：(0,0, 2)EA ，( 1,3,0)AB ，设( , , )nx y z为平面EAB的法向量，则00n EAn AB ，即2030zxy ，可得( 3,1,0)n ，又( 1, 3, 1)FC ，可得0n FC ，又因为直线FC平面EAB，所以直线/FC平面EAB；（2）( 2,0, 1)EF ，( 1, 3, 1)FC ，(2,0, 1)FA ，设1( , , )nx y z为平面EFC的法向量，则1100n EFn FC ，即2030 xzxyz ，可得1( 3, 3,6)n ，设2( , , )nx y z 为平面FCA的法向量，则2200nFAnFC ，即2030 xzxyz ，可得2(1, 3,2)n ，所以1212126cos,4|n nn nnn ，2121210sin,1 cos,4n nn n 所以二面角EFCA的正弦值为104；（3）设( 3 , 3 , 2 )EMEC ，则(23 , 3 ,22 )M，则( 1,3,0)BD ，(23 , 3 ,22 )DM ，设3( , , )nx y z 为平面BDM的法向量，则3300nBDnDM ，即30(23 )3(22 )0 xyxyz ，可得32 333, 1,1n ，由( 1, 3, 2)EB ，得322 332 3221cos,82 332 2 41EB n ，解得14或78（舍） ，所以13EMMC.22 （2020广西高二期末（理） ）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为直角梯形，/ /,ABCD BCCD BCCF，33ABBCCD（1）求BE与平面EAC所成角的正弦值；（2）线段ED或其延长线上是否存在点P，使平面EAC 平面PBC？证明你的结论【答案】 （1）3311； （2）见解析【解析】 （1）以C为坐标原点、CD方向为x轴、BC方向为y轴、CF方向为z轴建立空间直角坐标系，则点C的坐标为0,0,0、点B的坐标为0,1,0、点D的坐标为1,0,0、点A的坐标为3,1,0，点F的坐标为0,0,1，点E的坐标为1,0,1，由1, 1,1BE ，3,1,0CA ，1,0,1CE ，设平面AEC的法向量为, ,nx y z由300CA nxyCE nxz ，取1,3,1xyz ，则1, 3, 1n 故BE与平面EAC所成角的正弦值33311311BE nBE n （2）证明：设点P的坐标为1,0,h，则0,1,0BC ，1,0,CPh 设平面BCP的法向量为, ,mx y z由00BC myCP mxhz ，取,0,1xh yz ，则,0, 1mh，若平面EAC 平面PBC，则10m nh ，解得：1h，故点P在ED的延长线上，且EDDP